江苏省扬州市邗江区蒋王中学2022年高一数学第一学期期末含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．已知是锐角三角形，，，则
A. B.
C. D.与的大小不能确定
2．已知函数是定义在在上的奇函数，且当时，，则函数的零点个数为（ ）个
A.2 B.3
C.6 D.7
3．《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为
A. B.
C. D.
4．函数的零点所在的大致区间是
A. B.
C. D.
5．定义运算，若函数，则的值域是（）
A. B.
C. D.
6．已知实数，且，则的最小值是（ ）
A.6 B.
C. D.
7．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8．已知sinα + cosα = ，则sin的值为（）
A.- B.
C.- D.
9．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：：I(t) = ert（其中r为指数增长率）描述累计感染病例数I(t)随时间t（单位：天）的变化规律.有学者基于已有数据估计出累计感染病例数增加1倍需要的时间约为2天，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，指数增长率r的值约为（）（参考数值：ln2»0.69）
A.0.345 B.0.23
C.0.69 D.0.831
10．集合中所含元素为
A.0，1 B.，1
C.，0 D.1
11．函数在区间上的最大值是
A.1 B.
C. D.1+
12．设集合，集合 ，则 等于（ ）
A (1,2) B.(1,2]
C.[1,2) D.[1,2]
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．设函数不等于0，若，则________.
14．在中，若，则的形状一定是___________三角形.
15．已知集合，，且，则实数的取值范围是__________
16．已知函数集合，若集合中有3个元素，则实数的取值范围为________
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．设全集为R，集合P＝{x|3＜x≤13}，非空集合Q＝{x|a＋1≤x＜2a－5}，
（1）若a＝10，求P∩Q； ；
（2）若，求实数a的取值范围
18．如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，，，点是棱的中点

（1）证明：平面平面；
（2）求三棱锥的体积
19．对于函数，若实数满足，则称是的不动点．现设
（1）当时，分别求与的所有不动点；
（2）若与均恰有两个不动点，求a的取值范围；
（3）若有两个不动点，有四个不动点，证明：不存在函数满足
20．（1）化简与求值：lg5＋lg2＋＋21n（π-2）0：
（2）已知tanα＝3．求的值.
21．已知函数，.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值及相应的的值.
22．已知全集，，.
（1）当时，，；
（2）若，求实数a的取值范围，

参考答案

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、A
【解析】分析：利用作差法，根据“拆角”技巧，由三角函数的性质可得.
详解：将，
代入，，
可得，
，
由于是锐角三角形，
所以，
，
，，
所以，
，
综上，知．故选A
点睛：本题主要考查三角函数的性质，两角和与差的三角函数以及作差法比较大小，意在考查学生灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.解答本题的关键是运用好“拆角”技巧.
2、D
【解析】作出函数，和图象，可知当时，的零点个数为3个；再根据奇函数的对称性，可知当时，也有3个零点，再根据，由此可计算出函数的零点个数.
【详解】在同一坐标系中作出函数，和图象，如下图所示：

由图象可知，当时，的零点个数为3个；
又因为函数和均是定义在在上的奇函数，
所以是定义在在上的奇函数，
根据奇函数的对称性，可知当时，的零点个数也为3个，
又，所以也是零点；
综上，函数的零点个数一共有7个.
故选:D.
3、C
【解析】用列举法得出：抛掷三枚古钱币出现的基本事件的总数，进而可得出所求概率.
【详解】抛掷三枚古钱币出现的基本事件共有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反8中，其中出现两正一反的共有3种，故概率为.
故选C
【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.
4、C
【解析】分别求出的值，从而求出函数的零点所在的范围
【详解】由题意，，，所以，所以函数的零点所在的大致区间是，故选C.
【点睛】本题考察了函数的零点问题，根据零点定理求出即可，本题是一道基础题
5、C
【解析】由定义可得，结合指数函数性质即可求出.
【详解】由定义可得，
当时，，则，
当时，，则，
综上，的值域是.
故选：C.
6、B
【解析】构造，利用均值不等式即得解
【详解】，
当且仅当，即，时等号成立
故选：B
【点睛】本题考查了均值不等式在最值问题中的应用 ，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
7、B
【解析】令，要使已知函数的值域为，
需值域包含，对系数分类讨论，结合二次函数图像，即可求解.
【详解】解：∵函数的值域为，
令，
当时，，不合题意；
当时，，此时，满足题意；
当时，要使函数的值域为，
则函数的值域 包含，
，解得，
综上，实数的取值范围是.
故选：B
【点睛】关键点点睛：要使函数的值域为，需要作为真数的函数值域必须包含，对系数分类讨论，结合二次函数图像，即可求解.
8、C
【解析】应用辅助角公式可得，再应用诱导公式求目标三角函数的值.
【详解】由题设，，而.
故选：C
9、A
【解析】由题设可知第天感染病例数为，则第天的感染感染病例数为,由感染病例数增加1倍需要的时间约为2天，则，解出即可得出答案.
【详解】由题设可知第天感染病例数为，则第天的感染感染病例数为
由感染病例数增加1倍需要的时间约为2天，则
所以，即
所以
故选：A
10、A
【解析】，解，得，

故选
11、C
【解析】由,
故选C.
12、B
【解析】由指数函数、对数函数的性质可得、，再由交集的运算即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数不等式的求解及对数函数性质的应用，考查了集合交集的运算，属于基础题.

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、
【解析】令，易证为奇函数，根据，可得，再根据，由此即可求出结果.
【详解】函数的定义域为，令，
则，即，所以为奇函数；
又，所以，
所以.
故答案为:.
14、等腰
【解析】根据可得，利用两角和的正弦公式展开，再逆用两角差的正弦公式化简，结合三角形内角的范围可得，即可得的形状.
【详解】因，，
所以，
即，
所以，可得：，
因为，，所以
所以，即，故是等腰三角形.
故答案为：等腰.
15、
【解析】，是的子集，故.
【点睛】本题主要考查集合的研究对象和交集的概念，考查指数不等式的求解方法，考查二次函数的值域等知识.对于一个集合，首先要确定其研究对象是什么元素，是定义域还是值域，是点还是其它的元素.二次函数的值域主要由开口方向和对称轴来确定.在解指数或对数不等式时，要注意底数对单调性的影响.
16、或
【解析】令，记的两根为，由题知的图象与直线共有三个交点，从而转化为一元二次方程根的分布问题，然后可解.
【详解】令，记的零点为，
因为集合中有3个元素，所以的图象与直线共有三个交点，
则，或或
当时，得，，满足题意；
当时，得，，满足题意；
当时，，解得.
综上，t的取值范围为或.
故答案为：或

三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1），；（2） .
【解析】（1）把的值代入求出集合，再由交集、补集的运算求出，；
（2）由得，再由子集的定义列出不等式组，求出的范围
【详解】（1）当时，，
又集合，
所以，
或，
则；
（2）由得，，
因为，则，解得，
综上所述：实数的取值范围是.
18、（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由题意得，，即可得到平面，从而得到⊥，再根据，得到，证得平面，即可得证；
（2）首先求出，利用勾股定理求出，即可求出，再根据锥体的体积公式计算可得
【详解】解：（1）证明：由题设知，，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以
因为，
所以，即
因为，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面
（2）由，得，所以，
所以，
所以的面积，
所以
19、（1）
（2）
（3）见详解.
【解析】【小问1详解】
因为，所以即，所以，
所以的不动点为；
解，，
所以，
因为是的解，所以上述四次方程必有因式，
利用长除法或者双十字相乘法因式分解得，
所以，
所以的不动点为；
【小问2详解】
由得，
由、
得， 因为是的解，
所以上述四次方程必有因式，
利用长除法或者双十字相乘法因式分解得， 因为与均恰有两个不动点，
所以①
或②且和有同根，
由①得，②中两方程相减得，所以，故，
综上，a的取值范围是；
【小问3详解】
（3）设的不动点为，的不动点为，
所以，
设，则，
所以，所以是的不动点，
同理，也是的不动点，只能，
假设存在，则或，
因为过点，所以，
否则矛盾，
且，否则，
所以一定存在，与均不同，
所以，所以，所以有另外不动点，矛盾，
故不存在函数满足
20、（1）；（2）-2
【解析】（1）利用根式和对数运算求解；
（2）利用诱导公式和商数关系求解.
【详解】解：（1），
，
，
；
（2）原式，
，
因为，
所以原式.
21、（1），
（2）时，，时，.
【解析】（1）将函数化简得，可求函数的最小正周期；
（2）由求出，进而求出函数在区间上的最大值和最小值及相应的的值.
【小问1详解】

所以.
【小问2详解】
因为，所以，
所以，所以，
当时，即，，
当时，即，.
22、（1），或；
（2）
【解析】（1）解不等式，求出，进而求出与；（2）利用交集结果得到集合包含关系，进而求出实数a的取值范围.
【小问1详解】
，解得：，所以，当时，，所以，或；
【小问2详解】
因为，所以，要满足，所以实数a的取值范围是