安徽省东至二中2022年高一上数学期末检测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．已知函数，的图象如图，若，，且，则（　　）

A.0 B.1
C. D.
2．定义在上的函数满足，且当时，.若关于的方程在上至少有两个实数解，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
3．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，小数记录法的数据V和五分记录法的数据L满足，已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）（注：）
A.0.6 B.0.8
C.1.2 D.1.5
4．已知，且，则的值为（）
A. B.
C. D.
5．已知，，且，，则的值是
A. B.
C. D.
6．箱子中放有一双红色和一双黑色的袜子，现从箱子中同时取出两只袜子，则取出的两只袜子正好可以配成一双的概率为（）
A. B.
C. D.
7．已知实数满足,那么的最小值为(   )
A. B.
C. D.
8．函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（）.
A. B.
C. D.
9．已知函数，则满足的x的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：， ，已知函数，则函数的值域是
A. B.
C. D.
11．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为（）
A.－1<a<1 B.0<a<2
C.－<a< D.－<a<
12．已知直线的方程是，的方程是，则下列各图形中，正确的是
A. B.
C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．函数的值域是__________.
14．扇形半径为，圆心角为60°，则扇形的弧长是____________
15．定义在上的偶函数满足：当时，，则______
16．不等式的解集为_____
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知函数，.
（1）对任意的，恒成立，求实数k的取值范围；
（2）设，证明：有且只有一个零点，且.
18．已知点A、B、C的坐标分别为、、，.
（1）若，求角的值；
（2）若，求的值.
19．已知二次函数的图象过点，且与轴有唯一的交点.
（1）求表达式；
（2）设函数，若上是单调函数，求实数的取值范围；
（3）设函数，记此函数的最小值为，求的解析式.
20．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（3）若函数，讨论函数的零点个数.
21．已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断的单调性并用定义证明；
（3）已知不等式恒成立，求实数的取值范围.
22．已知二次函数，若不等式的解集为，且方程有两个相等的实数根.
（1）求的解析式；
（2）若，成立，求实数m的取值范围.

参考答案

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、A
【解析】根据图象求得函数解析式，再由，，且，
得到的图象关于对称求解.
【详解】由图象知：，
则，，
所以，
因在函数图象上，
所以，
则，
解得，
因为，则，
所以，
因为，，且，
所以的图象关于对称，
所以，
故选：A
2、C
【解析】原问题等价于函数与的图象至少有两个交点
【详解】解：关于的方程在上至少有两个实数解，等价于函数与的图象至少有两个交点，
因为函数满足，且当时，，
所以当时，，时，，时，，
所以的大致图象如图所示：

因为表示恒过定点，斜率为的直线，
所以要使两个函数图象至少有两个交点，由图可知只需，即，
故选：C
3、B
【解析】当时，即可得到答案.
【详解】由题意可得当时
故选：B
4、B
【解析】先通过诱导公式把转化成，再结合平方关系求解.
【详解】，又，.
故选：B.
5、B
【解析】由，得，所以，
，得，
，
所以，从而有，

.
故选：B
6、B
【解析】先求出试验的样本空间，再求有利事件个数，最后用概率公式计算即可.
【详解】两只红色袜子分别设为，，两只黑色袜子分别设为，，这个试验的样本空间可记为，共包含6个样本点，记为“取出的两只袜子正好可以配成一双”，则，包含的样本点个数为2，所以.
故选：B
7、A
【解析】表示直线上的点到原点的距离，利用点到直线的距离公式求得最小值.
【详解】依题意可知表示直线上的点到原点的距离，故原点到直线的距离为最小值，即最小值为，故选A.
【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
8、D
【解析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式化为，解得答案
【详解】解：由函数为奇函数，得，
不等式即为，
又单调递减，所以得，即，
故选：D.
9、D
【解析】通过解不等式来求得的取值范围.
【详解】依题意，
即：或，
即：或，
解得或.
所以的取值范围是.
故选：D
10、D
【解析】化简函数，根据表示不超过的最大整数，可得结果.
【详解】函数，
当时，；
当时，；
当时，，
函数的值域是，故选D.
【点睛】本题考查指数的运算、函数的值域以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
11、C
【解析】根据新定义把不等式转化为一般的一元二次不等式，然后由一元二次不等式恒成立得结论
【详解】∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，
∴不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，
即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，
所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，
解得，
故选:C.
12、D
【解析】对于D：l1:y=ax+b,l2:y=bx-a.由l1可知a<0,b<0,对应l2也符合,

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、
【解析】首先换元，再利用三角变换，将函数转化为关于二次函数，再求值域.
【详解】设，因为，所以，
则，
，
当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值，
所以函数的值域是
故答案为：
14、
【解析】根据弧长公式直接计算即可.
【详解】解：扇形半径为，圆心角为60°，
所以，圆心角对应弧度为.
所以扇形的弧长为.
故答案为：
15、12
【解析】根据偶函数定义，结合时的函数解析式，代值计算即可.
【详解】因为是定义在上的偶函数，故可得，
又当时，，故可得，
综上所述：.
故答案为：.
16、
【解析】把不等式x2﹣2x＞0化为x（x﹣2）＞0，求出解集即可
【详解】不等式x2﹣2x＞0可化为
x（x﹣2）＞0，
解得x＜0或x＞2；
∴不等式的解集为{x|x＜0或x＞2}
故答案为
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目

三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）利用的单调性以及对数函数的单调性，即可求出的范围
（2）对进行分类讨论，分为：和，利用零点存在定理和数形结合进行分析，即可求解
【详解】解：（1）因为是增函数，是减函数，
所以在上单调递增.
所以的最小值为，
所以，解得，
所以实数k的取值范围是.
（2）函数的图象在上连续不断.
①当时，因为与在上单调递增，
所以在上单调递增.
因为，，
所以.
根据函数零点存在定理，存在，使得.
所以在上有且只有一个零点.
②当时，因为单调递增，所以，
因为.所以.所以在上没有零点.
综上：有且只有一个零点.
因为，即，
所以，.
因为在上单调递减，所以，
所以.
【点睛】关键点睛：对进行分类讨论时，①当时，因为与在上单调递增，再结合零点存在定理，即可求解；②当时，恒成立，所以，在上没有零点；最后利用，得到，然后化简可求解。本题考查函数的性质，函数的零点等知识；考查学生运算求解，推理论证的能力；考查数形结合，分类与整合，函数与方程，化归与转化的数学思想，属于难题
18、（1）；（2）
【解析】（1）根据两向量的模相等，利用两点间的距离公式建立等式求得的值，根据的范围求得；（2）根据向量的基本运算根据，求得和的关系式，然后用同角和与差的关系可得到，再由化简可得，进而可确定答案
【详解】（1）∵，
∴化简得，
∵，∴
（2）∵，
∴，
∴，∴，
∴
【点睛】本题主要考查两角和与差的基本关系和三角与向量的综合题
19、（1）（2）或（3）见解析
【解析】（1）由已知条件分别求出的值，得出解析式；（2）求出函数的表达式，由已知得出区间在对称轴的一侧，进而求出的范围；（3）函数，对称轴，图象开口向上，讨论不同情况下在上的单调性，可得函数的最小值的解析式
试题解析：（1）依题意得，，
解得，，，从而；
（2），对称轴为，图象开口向上
当即时，在上单调递增，
当即时，在上单调递减，
综上，或
（3），对称轴为，图象开口向上
当即时，在上单调递增，
此时函数的最小值
当即时，在上递减，
在上递增
此时函数的最小值；
当即时，在上单调递减，
此时函数的最小值；
综上，函数的最小值 .
点睛：本题主要考查了二次函数解析式的求法，二次函数的单调性，二次函数在定区间上的最值问题，属于中档题．解答时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转换
20、（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】（1）根据题意条件，分别求解的定义域和解对数不等式即可完成求解；
（2）通过题意条件，找到和两函数值域的关系，分别求解出对应的值域，通过分类讨论即可完成求解；
（3）通过题意条件，通过讨论的值，分别作出对应的函数图像，借助换元，观察函数图像的交点状况，从而完成求解.
【小问1详解】
函数，由，可得，即的定义域为；
不等式，所以
，即为，
解得，
则原不等式的解为；
【小问2详解】
函数，
若存在，使得成立，
则和在上的值域的交集不为空集；
由（1）可知：时，
显然单调递减，所以其值域为；
若，则在上单调递减，所以的值域为，
此时只需，即，所以；
若，则在递增，可得的值域为，
此时与的交集显然为空集，不满足题意；
综上，实数的范围是；
小问3详解】
由，
得，令，则，
画出的图象，

当，只有一个，对应3个零点，
当时，，
此时，
由，
得在，三个分别对应一个零点，共3个，
在时，，三个分别对应1个，1个，3个零点，共5个，
综上所述：当时，只有1个零点，
当或时，有3个零点，
当时，有5个零点.
【点睛】方法点睛：对于“存在，使得成立”，需要将其转化成两函数值域的关系，即两个函数的值域有交集，需根据函数的具体范围进行适时的分类讨论即可.
21、（1）；（2）减函数，证明见解析；（3） .
【解析】（1）根据可求的值，注意检验.
（2）利用增函数的定义可证明在上是减函数.
（3）利用函数的奇偶性和单调性可把原不等式化为，利用对数函数的性质可求的取值范围.
【详解】（1）是上的奇函数，，得，
此时，，故为奇函数，
所以.
（2）为减函数，证明如下：
设是上任意两个实数，且，
，
，，即，，，
，即，在上是减函数.
（3）不等式恒成立，.
是奇函数，，即不等式恒成立
又在上是减函数，不等式恒成立，
当时，得，.
当时，得，.
综上，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了不等式恒成立问题，考查了应用对数函数单调性解与对数有关的不等式，涉及了指数函数与对数函数的图象与性质，体现了转化思想在解题中的运用 .
22、（1）；（2）.
【解析】（1）根据的解集为，可得1,2即为方程的两根，根据韦达定理，可得b，c的表达式，根据有两个相等的实数根.可得该方程，即可求得a的值，即可得答案；
（2）由题意得使成立，则只需，利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】（1）因为的解集为，
所以1,2即为方程的两根，由韦达定理得，且，
解得，，
又方程有两个相等实数根，
所以，即，
，解得，所以，
所以；
（2）由（1）可得，，
所以，则，，
又，当且仅当，即x=2时等号成立，
所以，使成立，等价为成立，
所以.
【点睛】已知解集求一元二次不等式参数时，关键是灵活应用韦达定理，进行求解，处理存在性问题时，需要，若处理恒成立问题时，需要，需认真区分问题，再进行解答，属中档题.