初三锐角三角函数精编讲义.doc

三角函数专项复习
锐角三角函数知识点总结
1、勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。
2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：

定 义
表达式
取值范围
关 系
正弦

(∠A为锐角)

余弦

(∠A为锐角)
正切

(∠A为锐角)

对边
邻边
斜边
A
C
B

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°

0

1

1

0

0

1

-
5、正弦、余弦的增减性：
当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。
6、正切的增减性：
当0°<<90°时，tan随的增大而增大，
7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)
8、应用举例：
(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

(2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。
把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东45°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向），
南偏西45°（西南方向）， 北偏西45°（西北方向）。

类型一：直角三角形求值
例1．已知Rt△ABC中，求AC、AB和cosB．

例2．已知：如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，
求：AB及OC的长．

例3.已知是锐角，，求，的值

对应训练：
1．在Rt△ABC中，∠ C＝90°，若BC＝1，AB=，则tanA的值为
A． B． C． D．2
2．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanA的值等于（ ）.
A． B. C. D.

类型二. 利用角度转化求值：
例1．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．
DE∶AE＝1∶2．
求：sinB、cosB、tanB．

例2． 如图，直径为10的⊙A经过点和点，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（ ）
A． B． C． D．

对应训练:
3.如图，是的外接圆，是的直径，若的半径为，，则的值是（ ）

A． B． C． D．
4. 如图4，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处．已知，，AB=8,则的值为 ( )
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
类型三. 化斜三角形为直角三角形
例1 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，求AB的长．

例2．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．
求：sin∠ABC的值．

对应训练
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）

2．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．

3. △ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC的面积是
A.2 cm2 B.4 cm2
C.6 cm2 D.12 cm2
类型四：利用网格构造直角三角形
例1 如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．

对应训练：
1．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.

2．正方形网格中，如图放置，则tan的值是（ ）
A． B. 　　　C. D. 2
类型五:取特殊角三角函数的值

1）.计算：．

2）计算：.

3)计算：3－1+(2π－1)0－tan30°－tan45°

4)．计算：．

5)．计算： ；

类型六：解直角三角形的实际应用
例1．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（　　）

A．
200米
B．
200米
C．
220米
D．
100（）米

例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离，求点B到地面的垂直距离BC．

例3如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD=30m．
从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角∠DCA=60°，
测得山顶B的仰角∠DCB=30°，求风力发电装置的高AB的长．

对应训练:

1..如图，小聪用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.

2．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（　　）

A．
10米
B．
10米
C．
20米
D．
米
类型七:三角函数与圆：
例1． 如图，直径为10的⊙A经过点和点，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（ ）
A． B． C． D．

例2. 已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D,
(1) 求证：∠AOD=2∠C
(2) 若AD=8，tanC=，求⊙O 的半径。

对应训练:
1.如图，DE是⊙O的直径，CE与⊙O相切，E为切点.连接CD交⊙O于点B，在EC上取一个点F，使EF=BF.
（1）求证:BF是⊙O的切线;
（2）若, DE=9，求BF的长．

作业：
1．已知，则锐角A的度数是( )
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠ C＝90°，若BC＝1，AB=，则tanA的值为( )
A． B． C． D．2
3．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanA的值等于（ ）.
A． B. C. D.

4. 若，则锐角＝ .
5．将∠α放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tanα的值是
A．　　　　　 B．2　　　 C．　　　　　 D．
6．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若OB长为10， ， 则AB的长是
A . 20 B. 16 C. 12 D. 8
7.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosA=，那么tanA的值是( )
A． B． C． D．
8． 如图，在△ABC中，∠ACB=∠ADC= 90°，若sinA=，则cos∠BCD的值为　　 ．

9.计算：

10．计算.

11．计算：．

12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=，b=.解这个直角三角形

13. 已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D,
(3) 求证：∠AOD=2∠C
(4) 若AD=8，tanC=，求⊙O 的半径。

14．如图，某同学在楼房的处测得荷塘的一端
处的俯角为，荷塘另一端处、在
同一条直线上，已知米，米，
求荷塘宽为多少米？（结果保留根号）

15．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处.
（1）B处距离灯塔P有多远？
（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200海里的O处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．

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