资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是
A．1：16 B．1：6 C．1：4 D．1：2
2．若x1，x2是一元二次方程5x2+x﹣5＝0的两根，则x1+x2的值是（ ）
A． B． C．1 D．﹣1
3．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（ ）
A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相离
C．与x轴相离，与y轴相切 D．与x轴相离，与y轴相离
4．桌面上放有6张卡片（卡片除正面的颜色不同外，其余均相同），其中卡片正面的颜色3张是绿色，2张是红色，1张是黑色．现将这6张卡片洗匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面颜色是绿色的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．对于不为零的两个实数a，b，如果规定a★b，那么函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC的度数为（ ）
A．60° B．45° C．75° D．90°
7．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表：
射击次数
100
200
400
1000
“射中9环以上”的次数
78
158
321
801
“射中9环以上”的频率
0.78
0.79
0.8025
0.801
根据表中数据，估计这位射击运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为（ ）
A．0.78 B．0.79 C．0.85 D．0.80
8．下列各式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列约分正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知的周长等于 ，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）
A． B． C． D．
11．已知反比例函数的图象经过点（1，2），则它的图象也一定经过（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣1，﹣2）
12．如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．图象的对称轴是直线
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是______．
14．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．C是⊙O上一个动点．且不与A，B重合．若∠PAC＝α，∠ABC＝β，则α与β的关系是_______．
15．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为_____．
16．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，那么菱形ABCD的面积是____．
17．不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是_____．
18．正的边长为，边长为的正的顶点与点重合，点分别在，上，将沿边顺时针连续翻转（如图所示），直至点第一次回到原来的位置，则点运动路径的长为 （结果保留）
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知二次函数.
（1）求证：不论m取何值，该函数图像与x轴一定有两个交点；
（2）若该函数图像与x轴的两个交点为A、B，与y轴交于点C，且点A坐标（2,0），求△ABC面积.
20．（8分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，﹣4）和B（2，0）两点．
（1）求c的值及a，b满足的关系式；
（2）若抛物线在A和B两点间，从左到右上升，求a的取值范围；
（3）抛物线同时经过两个不同的点M（p，m），N（﹣2﹣p，n）．
①若m＝n，求a的值；
②若m＝﹣2p﹣3，n＝2p+1，求a的值．
21．（8分）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．
（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．
（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（1）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A1B1C1．
23．（10分）一家公司招考员工，每位考生要在A、B、C、D、E这5道试题中随机抽出2道题回答，规定答对其中1题即为合格．已知某位考生会答A、B两题，试求这位考生合格的概率．
24．（10分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，D是BC边上一点，且BD＝CD，G是BC边上的一动点，GE∥AD分别交直线AC，AB于F，E两点．
（1）AD＝ ；
（2）如图1，当GF＝1时，求的值；
（3）如图2，随点G位置的改变，FG+EG是否为一个定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由．
25．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边BC，AB上，AF＝BE＝2，连结DE，DF，动点M在EF上从点E向终点F匀速运动，同时，动点N在射线CD上从点C沿CD方向匀速运动，当点M运动到EF的中点时，点N恰好与点D重合，点M到达终点时，M，N同时停止运动．
（1）求EF的长．
（2）设CN＝x，EM＝y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（3）连结MN，当MN与△DEF的一边平行时，求CN的长．
26．已知二次函数（m 为常数）．
（1）证明：不论 m 为何值，该函数的图像与 x 轴总有两个公共点；
（2）当 m 的值改变时，该函数的图像与 x 轴两个公共点之间的距离是否改变？若不变， 请求出距离；若改变，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
【详解】解：两个相似三角形的面积比是1：4，
两个相似三角形的相似比是1：2，
两个相似三角形的周长比是1：2，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
2、B
【分析】利用计算即可求解．
【详解】根据题意得x1+x2＝﹣．故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知一元二次方程两根之和与两根之积与系数之间的关系.
3、B
【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径时，则坐标轴与该圆相离；若等于半径时，则坐标轴与该圆相切．
【详解】∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，
则有2＝2，3＞2，
∴这个圆与x轴相切，与y轴相离．
故选B．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质．直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．
4、A
【详解】∵桌面上放有6张卡片，卡片正面的颜色3张是绿色，2张是红色，1张是黑色，
∴抽出的卡片正面颜色是绿色的概率是：．
故选A．
5、C
【分析】先根据所给新定义运算求出分段函数解析式，再根据函数解析式来判断函数图象即可.
【详解】解：∵a★b，
∴
∴当x>2时，函数图象在第一象限且自变量的值不等于2，当x≤2时，是反比例函数，函数图象在二、四象限.
故应选C.
【点睛】
本题考查了分段函数及其图象，理解所给定义求出分段函数解析式是解题的关键.
6、C
【分析】根据三角形的外角的性质计算，得到答案．
【详解】∵∠GFA＝90°，∠A＝45°，
∴∠CGD＝45°，
∴∠BDC＝∠CGD＋∠C＝75°，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
7、D
【分析】根据大量的实验结果稳定在0.8左右即可得出结论．
【详解】∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.1附近，
∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.1．故选：D．
【点睛】
本题考查利用频率估计概率，在相同的条件下做大量重复试验,一个事件A出现的次数和总的试验次数n之比,称为事件A在这n次试验中出现的频率．当试验次数n很大时,频率将稳定在一个常数附近．n 越大,频率偏离这个常数较大的可能性越小．这个常数称为这个事件的概率．
8、A
【分析】根据最简二次根式的定义解答即可.
【详解】A. 是最简二次根式；
B. ∵=，∴不是最简二次根式；
C. ∵=，∴不是最简二次根式；
D. ∵，∴不是最简二次根式；
故选A.
【点睛】
本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式.
9、D
【分析】根据约分的运算法则，以及分式的基本性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，以及约分的运算法则，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质进行解题．
10、C
【分析】过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，由⊙O的周长等于6πcm，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质可得∠AOB=60°，即可证明△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可求出OH的长，根据S正六边形ABCDEF=6S△OAB即可得出答案．
【详解】过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，设⊙O的半径为r，
∵⊙O的周长等于6πcm，
∴2πr=6π，
解得：r=3，
∴⊙O的半径为3cm，即OA=3cm，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=×360°=60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=3cm，
∵OH⊥AB，
∴AH=AB，
∴AB=OA=3cm，
∴AH=cm，OH==cm，
∴S正六边形ABCDEF=6S△OAB=6××3×=（cm2）．
故选C.
【点睛】
此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
11、D
【分析】根据反比例函数图象和性质即可解答．先判断出反比例函数图象的一分支所在象限，即可得到另一分支所在象限．
【详解】解：由于点（1，2）在第一象限，则反比例函数的一支在第一象限，另一支必过第三象限．
第三象限内点的坐标符号为（﹣，﹣）
故选：D．
【点睛】
此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知反比例函数图像的对称性．
12、D
【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解.
【详解】由图象可知图象与y轴交点位于y轴正半轴，故c>0. A选项错误；
函数图象与x轴有两个交点，所以＞0，B选项错误；
观察图象可知x＝－1时y=a－b＋c＞0，所以a－b＋c＞0，C选项错误；
根据图象与x轴交点可知，对称轴是（1,0）.（5,0）两点的中垂线，，
x＝3即为函数对称轴，D选项正确；
故选D
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】首先证明AB=AC=a，根据条件可知PA=AB=AC=a，求出⊙D上到点A的最大距离即可解决问题．
【详解】∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），
∴AB=1﹣（1﹣a）=a，CA=a+1﹣1=a，
∴AB=AC，
∵∠BPC=90°，
∴PA=AB=AC=a，
如图延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大，
∵A（1，0），D（4，4），
∴AD=5，
∴AP′=5+1=1，
∴a的最大值为1．
故答案为1．
【点睛】
圆外一点到圆上一点的距离最大值为点到圆心的距离加半径，最小值为点到圆心的距离减去半径．
14、或
【分析】分点C在优弧AB上和劣弧AB上两种情况讨论，根据切线的性质得到∠OAC的度数，再根据圆周角定理得到∠AOC的度数，再利用三角形内角和定理得出α与β的关系.
【详解】解：当点C在优弧AB上时，如图，
连接OA、OB、OC，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠OAC=α-90°=∠OCA，
∵∠AOC=2∠ABC=2β，
∴2（α-90°）+2β=180°，
∴；
当点C在劣弧AB上时，如图，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠OAC= 90°-α=∠OCA，
∵∠AOC=2∠ABC=2β，
∴2（90°-α）+2β=180°，
∴.
综上：α与β的关系是或.
故答案为：或.
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，利用圆周角定理是解题的关键，同时注意分类讨论.
15、1
【分析】根据题意当点C的横坐标取最小值时，抛物线的顶点与点A重合，进而可得抛物线的对称轴，则可求出此时点D的最小值，然后根据抛物线的平移可求解．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），
∴AB=3，
由抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），可得：当点C的横坐标取最小值时，抛物线的顶点与点A重合，
∴抛物线的对称轴为：直线，
∵点，
∴点D的坐标为，
∵顶点在线段AB上移动，
∴点D的横坐标的最大值为：5+3=1；
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查二次函数的平移及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16、1
【分析】根据菱形的面积公式即可求解．
【详解】∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，
∴菱形ABCD的面积为AC×BD=×6×8=1，
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查菱形面积的求解，解题的关键是熟知其面积公式．
17、
【解析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：∵袋子中共有7个球，其中红球有3个，
∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
18、
【解析】从图中可以看出翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，所以弧长=，第二次是以点P为圆心，所以没有路程，在BC边上，第一次第二次同样没有路程，AC边上也是如此，点P运动路径的长为
三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）10
【分析】（1）令y＝0得到关于x的二元一次方程，然后证明△＝b2−4ac＞0即可；
（2）令y=0求出抛物线与x轴的交点坐标,根据坐标的特点即可解题.
【详解】（1）因为=，且，所以.
所以该函数的图像与x轴一定有两个交点.
（2）将A（-1,0）代入函数关系式，得，，解得m=3，求得点B、C坐标分别为（4,0）、（0，-4）.所以△ABC面积=[4-（-1）]×4×0.5=10
【点睛】
本题主要考查的是抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，将函数问题转化为方程问题是解答问题（1）的关键，求出抛物线与x轴的交点坐标是解答问题（2）的关键．
20、（1）c＝﹣4，2a+b＝2；（2）﹣1≤a＜0或0＜a≤1；（3）①a＝；②a＝1
【分析】（1）直接将AB两点代入解析式可求c，以及a，b之间的关系式．
（2）根据抛物线的性质可知，当a＞0时，抛物线对称轴右边的y随x增大而增大，结合抛物线对称轴x=和A、B两点位置列出不等式即可求解；
（3）①根据抛物线的对称性得出，解得a=；
②根据M、N的坐标，易证得两点都在直线y=-2x-3上，即M、N是直线y=-2x-3与抛物线y=ax2+（2-2a）x-4的交点，然后根据根与系数的关系得出p+（-2-p）=，解得a=1．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（0，﹣4）和B（2，0）．
∴，
∴c＝﹣4，2a+b＝2．
（2）由（1）可得：y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4，
对称轴为：x＝＝，
∵抛物线在A、B两点间从左到右上升，即y随x的增大而增大；
①当a＞0时，开口向上，对称轴在A点左侧或经过A点，
即：≤0，
解得：a≤1
∴0＜a≤1；
②当a＜0时，开口向下，对称轴在B点右侧或经过B点，
即≥2，
解得：a≥﹣1；
∴﹣1≤a＜0，
综上，若抛物线在A和B两点间，从左到右上升，a的取值范围为﹣1≤a＜0或0＜a≤1；
（3）①若m＝n，则点M（p，m），N（﹣2﹣p，n）关于直线x＝对称，
∴，
∴a＝；
②∵m＝﹣2p﹣3，
∴M（p，m）在直线y＝﹣2x﹣3上，
∵n＝2p+1＝﹣2（﹣2﹣p+2）+1＝﹣2（﹣p﹣2）﹣3，
∴N（﹣2﹣p，n）在直线y＝﹣2x﹣3上，
即M、N是直线y＝﹣2x﹣3与抛物线y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4的交点，
∴p和﹣2﹣p是方程ax2+（2﹣2a）x﹣4＝﹣2x﹣3的两个根，
整理得ax2+（4﹣2a）x﹣1＝0，
∴p+（﹣2﹣p）＝，
∴a＝1．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和系数的关系，二函数图象上点的坐标特征，灵活利用抛物线对称轴的公式是解题的关键．
21、 (1)画图见解析；(2)DE=4.
【解析】（1）连接CB延长CB交DE于O，点O即为所求．连接OG，延长OG交DF于H．线段FH即为所求．
（2）根据，可得 ，即可推出DO=4m．
【详解】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子．
（2）解：由已知可得，，
∴，
∴OD=4m，
∴灯泡的高为4m．
【点睛】
本题考查中心投影、解题的关键是正确画出图形，记住物长与影长的比的定值，属于基础题，中考常考题型．
22、（1）见解析；（1）见解析
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征找出A1，B1，C1，然后描点即可；
（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A1、C1即可．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（1）如图，△A1B1C1为所作．
【点睛】
本题考查了作图-根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
23、
【详解】解：树状图为：
从树状图看出，所有可能出现的结果共有20个，其中合格的结果有14个，
所以，P(这位考生合格)=
答：这位考生合格的概率是．
24、（1）AD＝；（2）；（3）FG+EG是一个定值，为 ．
【分析】（1）先由勾股定理求出BC的长，再由直角三角形斜边中线的性质可求出AD的长；
（2）先证FG=CG=1，通过BD=CDBC=AD，求出BG的长，再证△BGE∽△BDA，利用相似三角形的性质可求出的值；
（3）由（2）知FG=CG，再证EG=BG，即可证FG+EG=BC=2．
【详解】（1）∵∠BAC=90°，且BD=CD，
∴ADBC．
∵BC2，
∴AD2．
故答案为：；
（2）如图1．
∵GF∥AD，
∴∠CFG=∠CAD．
∵BD=CDBC=AD，
∴∠CAD=∠C，
∴∠CFG=∠C，
∴CG=FG=1，
∴BG=21．
∵AD∥GE，
∴△BGE∽△BDA，
∴；
（3）如图2，随点G位置的改变，FG+EG是一个定值．理由如下：
∵ADBC=BD，
∴∠B=∠BAD．
∵AD∥EG，
∴∠BAD=∠E，
∴∠B=∠E，
∴EG=BG，
由（2）知，GF=GC，
∴EG+FG=BG+CG=BC=2，
∴FG+EG是一个定值，为2．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是能够灵活运用相似三角形的判定与性质．
25、（1）EF=2；（2）y＝x（0≤x≤1）；（3）满足条件的CN的值为或1．
【分析】（1）在Rt△BEF中，利用勾股定理即可解决问题．
（2）根据速度比相等构建关系式解决问题即可．
（3）分两种情形如图3﹣1中，当MN∥DF，延长FE交DC的延长线于H．如图3﹣2中，当MN∥DE，分别利用平行线分线段成比例定理构建方程解决问题即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，
∵AF＝BE＝2，
∴BF＝6﹣2＝4，
∴EF＝＝＝2．
（2）由题意：＝，
∴＝，
∴y＝x（0≤x≤1）．
（3）如图3﹣1中，延长FE交DC的延长线于H．
∵△EFB∽△EHC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EH＝6，CH＝1，
当MN∥DF时，＝，
∴＝，
∵y＝x，
解得x＝，
如图3﹣2中，当MN∥DE时，＝，
∴＝ ，
∵y＝x，
解得x＝1，
综上所述，满足条件的CN的值为或1．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
26、（1）详见解析；（2）图像与轴两个公共点之间的距离为
【分析】（1）证明判别式△＞0即可证得；
（2）将二次函数表达式化简成交点式，得到函数与x轴交点，通过交点可以证明函数的图像与 x 轴两个公共点之间的距离为定值即可.
【详解】解：（1）证明：令, 得
∴ 此方程有两个不相等的实数根．
∴ 不论为何值，该函数的图像与轴总有两个公共点．
（2）
当时，
∴ 图像与轴两个公共点坐标为
∴ 图像与轴两个公共点之间的距离为.
【点睛】
本题考查了二次函数与x轴的交点，可以利用判别式△的符号进行判断，还涉及到因式分解.
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