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(完整word)数列的概念与简单表示法
　数列的概念与简单表示法(一）
（一） 主要知识:

1．数列的概念
按照一定 顺序 排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．

2．数列的一般形式
数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an｝ ,其中 a1 称为数列{an｝的第1项（或称为 首项 )，a2称为第2项，…， an 称为第n项．

3．数列的分类
(1）根据数列的项数可以将数列分为两类:
有穷数列:项数 有限 的数列;
无穷数列：项数 无限 的数列．
（2）按照数列的每一项随序号变化的情况分类：
递增数列:从第2项起，每一项都 大于 它的前一项的数列;
递减数列:从第2项起，每一项都 小于 它的前一项的数列；
常数列：各项 相等 的数列;
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的
数列．
数列的表示方法：列举法；图象法；
解析法（通项公式）数列的通项公式
如果数列｛an｝的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

递推法．数列的递推公式
如果已知数列{an｝的首项（或前n项）及相邻两项间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式
与的关系：．
（二）主要方法：
数列通项公式的求法：观察分析法;公式法：
转化成等差、等比数列；累加、累乘法 ；递推法。

（三）典例分析：

一、根据数列的前几项写出数列的一个通项公式
例1　根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．
（1）－1，7，－13，19，…
（2）0.8，0.88，0。888，…
(3)，,－,，－，，…
（4）,1，，,…
（5）0，1,0,1，…
解　(1)符号问题可通过（－1）n或（－1）n＋1表示,其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，
故通项公式为an＝（－1）n(6n－5) （n∈N*)．
(2）数列变形为（1－0。1），(1－0.01),（1－0.001)，…，
∴an＝ （n∈N＊）．
（3）各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－，因此原数列可化为－，，－，，…,
∴an＝(－1)n· （n∈N*)．
(4）将数列统一为,，,，…对于分子3,5,7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1,对于分母2，5，10，17，…联想到数列1，4,9，16…即数列｛n2｝，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，
∴可得它的一个通项公式为an＝ （n∈N＊）．
（5）an＝或an＝ (n∈N＊)或an＝ (n∈N＊)．
总结　解决本类问题的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．同时,要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决．
变式训练1　写出下面数列的一个通项公式．
(1)2，4,6,8,…;　（2）10，11,10，11，10，11,…；　
（3)－1，，－，,….
解　(1)这是个混合数列，
可看成2＋，4＋，6＋,8＋，…。
故通项公式an＝2n＋ (n∈N*)．
（2）该数列中各项每两个元素重复一遍，可以利用这个周期性求an。原数列可变形为：
10＋0，10＋1,10＋0,10＋1，…。
故其一个通项为：an＝10＋，
或an＝.
（3）通项符号为(－1）n，如果把第一项－1看作－，则分母为3,5,7，9，…，分母通项为2n＋1；分子为3,8,15,24，…，分子通项为（n＋1)2－1即n（n＋2)，
所以原数列通项为：an＝(－1）n （n∈N*）．
根据下面各数列的前几项值，写出数列的一个通项公式:
,，，，，…; ,，，，，…；

，，，，，，,,…；,，，，，,，，…；

,，，，，…;

二、根据递推公式写出数列的前几项
例2　设数列｛an｝满足写出这个数列的前5项．
解　由题意可知
a1＝1，
a2＝1＋＝1＋＝2，
a3＝1＋＝1＋＝，
a4＝1＋＝1＋＝，
a5＝1＋＝1＋＝.
总结　由递推公式可以确定数列，它也是给出数列的一种常用方法
变式训练2　在数列｛an}中，已知a1＝2，a2＝3,an＋2＝3an＋1－2an（n≥1),写出此数列的前6项．
解　a1＝2，a2＝3，
a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5,
a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9,
a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17,
a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33.
三、数列通项公式的应用
例3　已知数列;
（1）求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么?
（3）求证：数列中的各项都在区间(0,1）内；
（4）在区间内有、无数列中的项？若有,有几项?若没有,说明理由．

(1）解　设f(n）＝＝＝。
令n＝10，得第10项a10＝f(10）＝.
(2）解　令＝，得9n＝300。
此方程无自然数解，所以不是该数列中的项．
(3）证明　∵an＝＝＝1－，
又n∈N＊，∴0<<1,∴0<an〈1。
∴数列中的各项都在区间（0,1)内．
（4)解　令〈an＝〈,则，即。∴<n〈。
又∵n∈N*，∴当且仅当n＝2时，上式成立，故区间上有数列中的项，且只有一项为a2＝。

总结　判断某数是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求n的值，若存在正整数n，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列的项．
变式训练3　已知数列｛an｝的通项公式an＝
.
（1）写出它的第10项;
（2）判断是不是该数列中的项．
解　(1)a10＝＝。
（2)令＝，
化简得:8n2－33n－35＝0，
解得n＝5.当n＝5时,a5＝－≠.
∴不是该数列中的项。
小结
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：
（1）确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．
(2)可重复性:数列中的数可以重复．
(3）有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．
2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1，3。14,3.141，…,它没有通项公式．
3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1，1，－1,1，－1，1，…的通项公式可写成an＝（－1）n，也可以写成an＝ (－1)n＋2，还可以写成an＝其中k∈N＊。
例4．根据下列各个数列的首项和递推关系，求其通项公式：
，；，；
，,； ，
例5．已知下面各数列的前项和，求的通项公式：
;

例6．求数列中的最大项；
已知数列的通项公式，求为何值时，取最大值。
例7．设，又知数列的通项满足，试求数列的通项公式;判断数列的增减性.

课时作业
一、选择题
1．数列1,3,6,10,…的一个通项公式是 (　 )
A．an＝n2－n＋1 B．an＝
C．an＝ D．an＝n2＋1

2．已知数列{an}中,an＝2n＋1，那么a2n为(　　)
A．2n＋1 B．4n－1 C．4n＋1 D．4n

3．若数列的前4项为1，0，1,0,则这个数列的通项公式不可能是 （　　)
A．an＝[1＋（－1）n－1］ B．an＝[1－cos(n·180°)］
C．an＝sin2（n·90°） D．an＝(n－1)(n－2)＋［1＋(－1)n－1］
解析　令n＝1,2,3，4代入验证即可．

4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8 是该数列的 (　　)
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．非任何一项
解析　n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6（舍去）．
5．设an＝＋＋＋…＋ (n∈N*)，那么an＋1－an等于 （　　)
A. B. C。＋ D。－
解析　∵an＝＋＋＋…＋
∴an＋1＝＋＋…＋＋＋
∴an＋1－an＝＋－＝－。

二、填空题
6．用火柴棒按下图的方法搭三角形：

按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是 an=2n+1

7．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是__55___

_解析　三角形数依次为：1，3,6,10，15，…，第10个三角形数为：1+2+3+4+…+10=55。
8．数列a，b，a,b，…的一个通项公式是__ an＝＋(－1)n＋1
解析　a＝＋,b＝－，故an＝＋（－1)n＋1.
三、解答题
9．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有多少个点．

解　图（1）只有1个点，无分支；图（2）除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点;图（3）除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4）除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n-1）个点，故第n个图中点的个数为1+n（n—1）=n2—n+1.

10．数列｛an}中，a1＝1,对所有的n≥2,都有a1·a2·a3·…·an＝n2.
(1）求a3＋a5;
（2)探究是否为此数列中的项；
（3)试比较an与an＋1 （n≥2)的大小．
解　由题意知：an＝ (n≥2)．
(1)a3＋a5＝＋＝.
（2)＝＝a16,∴为数列中的项．
(3）n≥2时,an－an＋1＝－＝>0，∴an>an＋1.

（四)巩固练习:

1.在数列{｝中， 1,当时,，则的值为( ）
A 5050 B 5051 B 4950 C 4951

2。 已知数列的前项和，第项满足，则

３。已知数列{｝是递增数列，且，都有，则实数的取值范围是（ ）
A B C D

在数列｛}中，对所有的正整数n都成立，且，则等于（ ）
A 1 B -1 C D

5. 在数列中，，，且，则
6. 已知数列{}的前ｎ项和为，且，则　　　　　　　　

7. 已知数列{}对任意的｝满足,且,那么　　8.已知数列{}满足，，则数列通项公式　　
9．在数列中,，且，则
10．已知数列{}满足，=1,,（1）求。 已知数列{｝的通项公式；（2)若,求n.

11已知数列的前项和满足
写出数列的前三项；
求数列的通项公式；
12已知数列中，且，
其中… （Ⅰ）求，（Ⅱ）求的通项公式。
４. 已知,都是正实数）,数列与的大小关系是（ ）
A B C D 不能确定
在数列｛｝中， ，，则（ ）
Ａ　　　Ｂ　　　Ｃ　　　Ｄ　
已知数列｛｝满足， ，设,则下列结论正确的是（ ）
Ａ　　　　　Ｂ　
Ｃ　　　　　　　　Ｄ　
已知数列满足,则

若数列满足，, ,则等于

（五）课后作业:
已知数列，满足，…，则的通项

在数列中，，,且，
则
数列中,，(≥)求其通项公式.
数列满足，若，则 ;

在数列中,若， (≥)，则该数列的通项

已知，则数列的最大项是
或 不存在

已知数列中，满足,则该数列前100项中的最大项和最小项分别是（ ）
A B C D

已知函数，设数列满足：（且）,， 为数列的前项和。
若，求，，；
求证：数列是周期数列;
探究:是否存在满足的，使？