全国数学联赛金牌教练高中奥数辅导：第八讲复数.doc

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全国高中数学联赛 金牌教练员讲座
兰州一中数学组

第八讲 复数

知识、方法、技能
I．复数的四种表示形式
代数形式：R）
几何形式：复平面上的点Z（)或由原点出发的向量.
三角形式:R.
指数形式：.
复数的以上几种形式,沟通了代数、三角、几何等学科间的联系，使人们应用复数解决相关问题成为现实.
II．复数的运算法则
加、减法:
乘法：

除法：

乘方：N)；
开方：复数次方根是
III．复数的模与共轭复数
复数的模的性质
①
②
③
④、对应的向量、反向时取等号；
⑤,与复数对应的向量
同时取等号。
共轭复数的性质
①;
②;
③
④；
⑤；
⑥
⑦z是实数的充要条件是是纯虚的充要条件是
Ⅳ．复数解题的常用方法与思想
（1）两个复数相等的充要条件是它们的实部、虚部对应相等，或者它们的模与辐角主
值相等（辐角相差2的整数倍）. 利用复数相等的充要条件，可以把复数问题转化为实数问题，从而获得解决问题的一种途径。
（2）复数的模也是将复数问题实数化的有效方法之一。善于利用模的性质，是模运算中的一个突出方面.
赛 题 精 讲
例1:设m、n为非零实数，i为虚单位，C，则方程①与
②
如图I—1-8—1，在同一复平面内的图形（F1、F2是焦点）是（ ）

图I—1-8—1

【思路分析】可根据复平面内点的轨迹的定义；也可根据m、n的取值讨论进行求解.
【略解】由复平面内点的轨迹的定义，得
方程①在复平面上表示以点为焦点的椭圆,。这表明,至少有一焦点在下半虚轴上，可见（A）不真。
又由方程①，椭圆的长轴之长为n,
∴｜F1F2|<n，而图（C)中有|OF1|=n,可见(C)不真.
又因椭圆与双曲线共焦点,必有椭圆的长轴长大于双曲线的实轴长，即
故在图（B）与(D)中，均有F1 : －ni，F2 : mi，且. 由方程②，双曲线上的点应满足，到F2点的距离小于该点到F1点的距离.
答案：(B）
【别解】仿上得n>0.
（1)若这时，在坐标平面上,F1（0，－n），F2(0,m）,只可能为图象（C），但与｜F1F2|〈长轴n，而｜OF1｜=n矛盾.
(2）若均在y轴的下半轴下，故只能为图象(B)与（D）.
又因椭圆与双曲线共焦点,必有椭圆的长轴长大于双曲线的实轴长，即|n｜〉|m|。 故在(B)与（D）中，均有F1 ： －ni；F2 : mi，且m<0. 由方程②,双曲线上的点应满足到F2点的距离小于该点到F1点的距离。
答案：(B）
【评述】（1)本题涉及的知识点:复数的几何意义，复平面上的曲线与方程，椭圆，双曲线,
共焦点的椭圆与双曲线,讨论法。
（2)本题属于读图题型. 两种解法均为基本方法：解法中前者为定义法；后者为分类讨论法。
例2：若的值是 。
【思路分析】本题可由已知条件入手求出复数z的模，继而求出复数；也可由几何意义入手来求复数z。
【略解】令 ①
②

①—②得
解得代入后，
①+②得

【别解】如图I—1—8—2，.
过D作与实轴平行的直线AB，取AD=BD=4,

【评述】本题的两种解法中，前者应用了复数的三角形式；后者应用了复数的几何意义，数形结合，形象直观。
例3:x的二次方程、、m均是复数，且。

设这个方程的两个根为、，且满足。
求｜m|的最大值和最小值。
【解法1】根据韦达定理有
图I-1—8-3

这表明复数m在以A（4，5）为圆心，以7为半径的圆周上如图I-1—8—3所示。
故原点O在⊙A之内. 连接OA，延长交⊙A于两点B与C，则|OB|=｜OA｜+｜AB｜=最大值.
|OC｜=｜CA|－｜AO|=7－最小值.
∴｜m|的最大值是的最小值是7－.
【解法2】同解法1，得 R)。

其中
∴ |m｜的最大值=
｜m｜的最小值=
【解法3】根据韦达定理，有
，
∴

等号成立的充要条件是的辐角主值相差,即取最小值
【评述】三种解法，各有千秋. 解法1运用数形结合法，揭示复数m的几何意义，直观清晰；解法2则活用三角知识,把化为角“"的正弦；解法3运用不等式中等号成立的条件获得答案;三种解法从不同侧面刻面了本题的内在结构特征.
例4：若R，
R，中元素的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
解法同本章一的练习第4题。
例5：设复数
.
【思路分析】应先设法求出的值.
【评述】由题设知

因为

当,可得同样结果,故答案4000.
【评述】此题属填空题中的难题，故解题时应仔细.
例6：设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为则复数所对应的不同的点的个数是( ）
A．4 B．5 C．10 D．20
【思路分析】如题设可知，应设.故解题中应注意分解因式。
【解法1】因为我们只关心不同的点的个数，所以不失一般性可设。由,有

【答案】A.
【解法2】由
可知只有4个取值，而=（）3的取值不会增加，则B、C、D均应排除，故应选A。
【评述】上述两个解法均为基本方法。思维的起点是不失一般性设,于是可用直接法（解法1）和排除法（解法2）。

针对性训练题

1．设x是模为1的复数，则函数的最小值为 （ )
A．5 B．1 C．2 D．3
2．若复数z满足关系对应的复平面的点Z的轨迹是 ( ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．直线
3．已知复数z满足关系式,则复数z的辐角主值的范围是 （ ）
A． B．
C． D．
4．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为则复数
所对应的不同的点的个数是 （ ）
A．4 B．5 C．10 D．20
5．设n=2001，则 .
6．若虚数z满足的值是 .
7．若关于x的方程至少有一个模为3的根,则实数a的值是
。
8．给正方体的8个顶点染上k个红点，个蓝点（).凡两端为红色的棱记上数字凡两端为蓝色的棱记上数字凡两端异色的棱记上数字1，这12个数字之积的所有可取值为 .