2022-2023学年安徽定远育才实验学校高一上数学期末达标检测试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．若，则的最小值是（）
A.1 B.2
C.3 D.4
2．已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值为
A. B.
C. D.
3．如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是（ ）

A. B.
C. D.
4．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行两步恰竿齐，五尺板高离地……”某教师根据这首词设计一题：如图，已知，，则弧的长（）

A. B.
C. D.
5．在如图所示中，二次函数与指数函数的图象只可为
A. B.
C. D.
6．下列函数中，值域是的是
A. B.
C. D.
7．下列等式中，正确的是（）
A. B.
C. D.
8．已知函数的定义域为，且满足对任意，有，则函数（）
A. B.
C. D.
9．集合，集合或，则集合（）
A. B.
C. D.
10．下列各角中与角终边相同的角是(　　)
A.－300° B.－60°
C.600° D.1 380°
11．已知函数是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
12．设，，，则a，b，c的大小关系是（　　）
A. B.
C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．计算 _______.
14．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为________.
15．设、为平面向量，若存在不全为零的实数λ，μ使得λμ0，则称、线性相关，下面的命题中，、、均为已知平面M上的向量
①若2，则、线性相关；
②若、为非零向量，且⊥，则、线性相关；
③若、线性相关，、线性相关，则、线性相关；
④向量、线性相关的充要条件是、共线
上述命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）
16．表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：

①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；
④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样
其中，正确信息的序号是________
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．给出以下四个式子：
①；
②；
③；
④.
（1）已知所给各式都等于同一个常数，试从上述四个式子中任选一个， 求出这个常数；
（2）分析以上各式的共同特点，写出能反应一般规律的等式，并对等式正确性作出证明.
18．已知，，且
（1）求的定义域.
（2）判断的奇偶性，并说明理由.
19．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数图象；
(2)若f(a)<f(2)，利用图象求a的取值范围
20．已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设
（1）求的值；
（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围
21．如图所示四棱锥中，底面，四边形中，，，，

求四棱锥的体积；
求证：平面；
在棱上是否存在点异于点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由
22．已知函数.

（1）当函数取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）完成下表，并在平面直角坐标系内作出函数在的图象.
x
0

y

参考答案

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、C
【解析】采用拼凑法，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为，，当且仅当时取到等号，故的最小值是3.
故选：C
2、A
【解析】方法一：
当且时，由，得，
令，则是周期为的函数，
所以，
当时，由得，，
又是偶函数，所以，
所以，
所以，所以．选A
方法二：
当时，由得，，即，
同理，
所以
又当时，由,得，
因为是偶函数，
所以，
所以．选A
点睛：解决抽象函数问题的两个注意点：
（1）对于抽象函数的求函数值的问题，可选择定义域内的恰当的值求解，即要善于用取特殊值的方法求解函数值
（2）由于抽象函数的解析式未知，故在解题时要合理运用条件中所给出的性质解题，有时在解题需要作出相应的变形
3、A
【解析】先通过观察图像可得A和周期，根据周期公式可求出，再代入最高点坐标可得.
【详解】由图像得，，
则，，，

得，又，
.
故选：A.
4、C
【解析】求出长后可得，再由弧长公式计算可得
【详解】由题意，解得，所以，，
所以弧的长为
故选：C
5、C
【解析】指数函数可知，同号且不相等，再根据二次函数常数项为零经过原点即可得出结论
【详解】根据指数函数可知，同号且不相等，则二次函数的对称轴在轴左侧，又过坐标原点，
故选：C
【点睛】本题主要考查二次函数与指数函数的图象与性质，属于基础题
6、D
【解析】分别求出各函数的值域，即可得到答案.
【详解】选项中可等于零；选项中显然大于1；选项中， ，值域不是；选项中，故.
故选D.
【点睛】本题考查函数的性质以及值域的求法.属基础题.
7、D
【解析】按照指数对数的运算性质依次判断4个选项即可.
【详解】对于A，当为奇数时，，当为偶数时，，错误；
对于B，，错误；
对于C，，错误；
对于D，，正确.
故选：D.
8、C
【解析】根据已知不等式可以判断函数的单调性，再结合四个选项进行判断即可.
【详解】因为，
所以由，
构造新函数，因此有，
所以函数是增函数.
A：，因为，所以不符合增函数的性质，故本选项不符合题意；
B：，当时，函数单调递减，故本选项不符合题意；
C：，显然符合题意；
D：，因为，所以不符合增函数的性质，故本选项不符合题意，
故选：C
9、C
【解析】先求得，结合集合并集的运算，即可求解.
【详解】由题意，集合或，可得，
又由，所以.
故选：C.
10、A
【解析】与角终边相同的角为：.
当时，即为－300°.
故选A
11、B
【解析】由指数函数的单调性知，即二次函数是开口向下的，利用二次函数的对称轴与1比较，再利用分段函数的单调性，可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围
【详解】函数是定义域上的递减函数，
当时，为减函数，故；
当时，为减函数，由，得，开口向下，对称轴为，即，解得；
当时，由分段函数单调性知，，解得；
综上三个条件都满足，实数a的取值范围是
故选：B.
【点睛】易错点睛：本题考查分段函数单调性，函数单调性的性质，其中解答时易忽略函数在整个定义域上为减函数，则在分界点处（）时，前一段的函数值不小于后一段的函数值，考查学生的分析能力与运算能力，属于中档题.
12、C
【解析】先判断，再判断得到答案.
【详解】；；；
，即
故选：
【点睛】本题考查了函数值的大小比较，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、
【解析】利用指数的运算法则求解即可.
【详解】原式.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了指数的运算法则.属于容易题.
14、
【解析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，,则长方体的对角线长等于三棱锥P-ABC外接球的直径，即可求出三棱锥P-ABC外接球的表面积
【详解】
∵三棱锥P−ABC中,PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=，
∴构造长方体,使得面上的对角线长分别为4,5, ，
则长方体的对角线长等于三棱锥P−ABC外接球的直径.
设长方体的棱长分别为x,y,z,
则，

∴三棱锥P−ABC外接球的直径为，
∴三棱锥P−ABC外接球的表面积为.
故答案为：26π.
【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.
15、①④
【解析】利用和线性相关等价于和是共线向量，故①正确，②不正确，④正确．通过举反例可得③不正确
【详解】解：若、线性相关，假设λ≠0，则，故和是共线向量
反之，若和是共线向量，则，即λμ0，故和线性相关
故和线性相关等价于和是共线向量
①若2 ，则2 0，故和线性相关，故①正确
②若和为非零向量，⊥，则和不是共线向量，不能推出和线性相关，故②不正确
③若和线性相关，则和线性相关，不能推出若和线性相关，例如当时，
和可以是任意的两个向量．故③不正确
④向量和线性相关的充要条件是和是共线向量，故④正确
故答案为①④
【点睛】本题考查两个向量线性相关的定义，两个向量共线的定义，明确和线性相关等价于和是共线向量，是解题的关键
16、①②③
【解析】看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误
故答案为①②③.
点睛：研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法

三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）；（2）见解析
【解析】分析：(1)利用第二个式子，结合同角三角函数的平方关系，以及正弦的倍角公式，结合特殊角的三角函数值，求得结果；
(2)根据题中所给的角之间的关系，归纳推理得到结果，证明过程应用相关公式证明即可.
详解：（1） .
（2）.
证明如下：

.
点睛：该题考查是有关三角公式的问题，涉及到的知识点有同角三角函数的关系式，正弦的倍角公式，余弦的差角公式等，正确使用公式是解题的关键.
18、（1）；（2）偶函数，理由见解析.
【解析】（1）根据对数的真数大于零可求得和的定义域，取交集可得定义域；
（2）整理可得，验证得，得到函数为偶函数.
【详解】（1）令得：定义域为
令得：定义域为
的定义域为
（2）由题意得：，

为定义在上的偶函数
【点睛】本题考查函数定义域的求解、奇偶性的判断；求解函数定义域的关键是明确对数函数要求真数必须大于零，且需保证构成函数的每个部分都有意义.
19、（1）见解析（2）0<a<2.
【解析】(1)有对数函数作数图像；
(2) 利用图象可求a的取值范围
【详解】(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示

(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.
由图象知，当0<a<2时，
恒有f(a)<f(2)
∴所求a的取值范围为0<a<2.
【点睛】本题考查对数函数的图像和性质，属基础题.
20、（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出方程组，即可求解；
（2）由题意得到，根据转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解；
（3）化简得到，令，得到，根据题意转化为方程有两个根且，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，可得对称轴为，
当时，在上为增函数，可得，即，
解得；
当时，在上为减函数，可得，即，
解得，
因为，所以.
（2）由（1）可得，所以，
方程化为，所以，
令，则，
因为，可得，令，
当时，可得，所以，即实数的取值范围是.
（3）方程，可化为，
可得且，
令，则方程化为，
方程有三个不同的实数解，
所以由的图象知，
方程有两个根且，
记，则或，
解得，
综上所述，实数的取值范围是.
21、（1）4；（2）见解析；（3）不存在.
【解析】利用四边形是直角梯形，求出，结合底面，利用棱锥的体积公式求解即可求；先证明，，结合，利用线面垂直的判定定理可得平面；用反证法证明，假设存在点异于点使得平面证明平面平面，与平面与平面相交相矛盾，从而可得结论
【详解】显然四边形ABCD是直角梯形，

又底面

平面ABCD，平面ABCD，
在直角梯形ABCD中，，
，，即
又，
平面；
不存在，下面用反证法进行证明
假设存在点异于点使得平面PAD
，且平面PAD，
平面PAD，
平面PAD
又，
平面平面PAD
而平面PBC与平面PAD相交，得出矛盾
【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，平面与平面平行的判定定理，考查空间想象能力，逻辑推理能力．证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
22、（1）
（2）答案见解析
【解析】( 1 )由三角恒等变换求出解析式，再求得最大值时的x的集合,
( 2)由五点法作图,列出表格,并画图即可.
【小问1详解】

令，函数取得最大值，
解得，
所以此时x集合为.
【小问2详解】
表格如下：
x
0

y
1

1
作图如下，