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2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为：设,用表示不超过x的最大整数,则称为高斯函数例如：,,已知函数,则函数的值域为（）
A. B.
C.1, D.1,2,
2．在中，，则等于
A. B.
C. D.
3．定义在上的函数，，若在区间上为增函数，则一定为正数的是
A. B.
C. D.
4．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（）
A. B.
C.2 D.
5．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（两）.问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的，分别为（ ）
A.， B.，
C.， D.，
6．已知函数则满足的实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7．直线l：与圆C：的位置关系是
A.相切 B.相离
C.相交 D.不确定
8．已知全集，集合，，它们的关系如图（Venn图）所示，则阴影部分表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
9．已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，），则函数f（x）为（ ）
A.奇函数且在上单调递增 B.偶函数且在上单调递减
C.非奇非偶函数且在上单调递增 D.非奇非偶函数且在上单调递减
10．下列向量的运算中，正确的是
A. B.
C. D.
11．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条( )
A.相交 B.异面
C.相交或异面 D.平行
12．要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查有关消费购买力的某项指标；（2）从某中学高一年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习情况；应采用的抽样方法分别是（）
A.（1）用简单随机抽样，（2）用分层随机抽样 B.（1）（2）都用简单随机抽样
C.（1）用分层随机抽样，（2）用简单随机抽样 D.（1）（2）都用分层随机抽样
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．命题“”的否定是_________.
14．若点位于第三象限，那么角终边落在第___象限
15．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”．若函数为 “倍缩函数”，则实数的取值范围是_______
16．已知圆心为（1,1），经过点（4,5），则圆标准方程为_____________________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，C点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP的面积为S.
(1)求·＋S的最大值；
(2)若CB∥OP，求sin的值
18．已知.
（1）求函数的最小正周期及单调增区间；
（2）若，，求的值.
19．已知函数（a＞0且）是偶函数，函数（a＞0且）
（1）求b的值；
（2）若函数有零点，求a的取值范围；
（3）当a＝2时，若，使得恒成立，求实数m的取值范围
20．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，平面底面ABCD，M是棱PC上的点.
（1）证明：底面；
（2）若三棱锥的体积是四棱锥体积的，设，试确定的值.
21．已知集合，
（1）当m=5时，求A∩B，；
（2）若，求实数m取值范围
22．设
（1）分别求
（2）若，求实数的取值范围
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、C
【解析】由分式函数值域的求法得：,又,所以,由高斯函数定义的理解得：函数的值域为,得解
【详解】解：因为,所以,
又,
所以,
由高斯函数的定义可得：函数的值域为,
故选C
【点睛】本题考查了分式函数值域的求法及对新定义的理解,属中档题
2、C
【解析】分析：利用两角和的正切公式，求出的三角函数值，求出的大小，然后求出的值即可
详解：由，
则，
因为位三角形的内角，所以，所以，故选C
点睛：本题主要考查了两角和的正切函数的应用，解答中注意公式的灵活运用以及三角形内角定理的应用，着重考查了推理与计算能力
3、A
【解析】
在区间上为增函数，
即
故选
点睛：本题运用函数的单调性即计算出结果的符号问题，看似本题有点复杂，在解析式的给出时含有复合部分，只要运用函数的解析式求值，然后利用函数的单调性，做出减法运算即可判定出结果
4、A
【解析】根据题意中给出的解密密钥为，利用其加密、解密原理，
求出的值，解方程即可求解.
【详解】由题可知加密密钥为，
由已知可得，当时，，
所以，解得，
故，显然令，即，
解得，即
故选：A.
5、C
【解析】执行程序框图，；；；，结束循环，输出的分别为，故选C.
【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
6、B
【解析】根据函数的解析式，得出函数的单调性，把不等式，转化为相应的不等式组，即可求解.
【详解】由题意，函数，
可得当时，，
当时，函数在单调递增，且，
要使得，则 ，解得，
即不等式的解集为，
故选：B.
【点睛】思路点睛：该题主要考查了函数的单调性的应用，解题思路如下：
（1）根据函数的解析式，得出函数单调性；
（2）合理利用函数的单调性，得出不等式组；
（3）正确求解不等式组，得到结果.
7、C
【解析】利用点到直线的距离公式求出直线和圆的距离，即可作出判断.
【详解】圆C：的圆心坐标为：，
则圆心到直线的距离，
所以圆心在直线l上，
故直线与圆相交
故选C
【点睛】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用
8、C
【解析】根据所给关系图（Venn图），可知是求 ,由此可求得答案.
【详解】根据题意可知，阴影部分表示的是，
故，
故选:C.
9、C
【解析】根据已知求出a=，从而函数f（x）=，由此得到函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增
【详解】∵幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，），
∴2a=，解得a=，
∴函数f（x）=，
∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增
故选C
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题
10、C
【解析】利用平面向量的三角形法则进行向量的加减运算，即可得解.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C.
【点睛】本题考查平面向量的三角形法则，属于基础题.解题时，要注意向量的起点和终点.
11、C
【解析】如下图所示,三条直线平行,与异面,而与异面,与相交,故选C.
12、C
【解析】根据简单随机抽样、分层抽样的适用条件进行分析判断.
【详解】因为有关消费购买力的某项指标受家庭收入的影响，而社区家庭收入差距明显，所以①用分层抽样；
从10名体育特长生中抽取3人调查学习情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以②用简单随机抽样.
故选：C
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、，
【解析】
根据全称命题的否定形式，直接求解.
【详解】全称命题“”的否定是“，”.
故答案为：，
14、四
【解析】根据所给的点在第三象限，写出这个点的横标和纵标都小于0，根据这两个都小于0，得到角的正弦值小于0，余弦值大于0，得到角是第四象限的角
【详解】解：∵点位于第三象限，
∴sinθcosθ＜0
2sinθ＜0，
∴sinθ＜0，
Cosθ＞0
∴θ是第四象限的角
故答案为四
【点睛】本题考查三角函数的符号，这是一个常用到的知识点，给出角的范围要求说出三角函数的符号，反过来给出三角函数的符号要求看出角的范围
15、
【解析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围.
【详解】因为函数为“倍缩函数”，即满足存在，使在上的值域是，
由复合函数单调性可知函数在上是增函数
所以，则，即
所以方程有两个不等实根，且两根都大于0.
令，则，所以方程变为：.
则，解得
所以实数的取值范围是.
故答案为：
16、
【解析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程
【详解】设圆的标准方程为（x-1）2+（y-1）2=R2，
由圆经过点（4,5）得R2=25，从而所求方程为（x-1）2+（y-1）2=25，
故答案为（x-1）2+（y-1）2=25
【点睛】本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）＋1（2）
【解析】求出，的坐标，然后求解，以及平行四边形的面积，通过两角和与差的三角函数，以及正弦函数的值域求解即可；
利用三角函数的定义，求出，利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数求解表达式的值
解析：（1）由已知得，的坐标分别为，，因为四边形是平行四边形，所以，
又因为平行四边形的面积为，
所以
又因为，所以当时，的最大值为
（2）由题意知，，
因为，所以，因为，所以
由，，得，，
所以，，
所以
18、 (1)最小正周期，单调增区间为，；(2).
【解析】（1）将函数解析式化简为，可得周期为；将看作一个整体代入正弦函数的增区间可得函数的单调增区间为，.（2）由（1）可得，结合条件得到，进而可得，于是，，最后根据两角差的正弦公式可得结果
试题解析：
（1）
∴函数的最小正周期.
由，，
得，，
所以函数的单调增区间为，.
（2）由（1）得 ，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴ .
点睛：
（1）解决三角函数问题时通常将所给的函数化简为的形式后，将看作一个整体，并结合正弦函数的相关性质求解．在解题中要注意整体代换思想的运用
（2）对于给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值的问题，解题关键在于“变角”，即用已知的角表示所求的角，使其角相同或具有某种关系
19、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）根据f（x）为偶函数，由f（－x）＝－f（x），即对恒成立求解；
（2）由有零点，转化为有解，令，转化为函数y＝p（x）图象与直线y＝a有交点求解；
（3）根据，使得成立，由求解.
【小问1详解】
解：因f（x）为偶函数，
所以，都有f（－x）＝－f（x），
即对恒成立，
对恒成立
，对恒成立，
所以
【小问2详解】
因为有零点
即有解，即有解
令，则函数y＝p（x）图象与直线y＝a有交点，
当0＜a＜1时，无解；
当a＞1时，在上单调递减，且，
所以在上单调递减，值域为
由有解，可得a＞0，此时a＞1，
综上可知，a的取值范围是；
【小问3详解】
，
当时，，
由（2）知，当且仅当时取等号，所以的最小值为1，
因为，使得成立，
所有，
即对任意的恒成立，
设，
所以当t＞1时，恒成立，
即，对t＞1恒成立，
设函数在单调递减，
所以，
所以m≥0，即实数m的取值范围为
20、（1）详见解析；
（2）.
【解析】（1）利用面面垂直的性质定理，可得平面，然后利用线面垂直的判定定理即证；
（2）由题可得，进而可得，即得.
【小问1详解】
∵，平面底面ABCD，
∴，平面底面ABCD=AD，底面ABCD，
∴平面，平面，
∴PD，又，
∴，，
∴底面；
【小问2详解】
设，M到底面ABCD的距离为，
∵三棱锥的体积是四棱锥体积的，
∴，
又，，
∴，故，
又，
所以.
21、（1），
（2）
【解析】（1）根据集合的交集、并集运算即得解；
（2）转化为，分，两种情况讨论，列出不等式控制范围，求解即可
【小问1详解】
（1）当时，可得集合，，
根据集合的运算，得，.
【小问2详解】
解：由，可得，
①当时，可得，解得；
②当时，则满足，解得，
综上实数的取值范围是.
22、（1）；或
（2）
【解析】（1）解不等式，直接计算集合的交集并集与补集；
（2）根据集合间的计算结果判断集合间关系，进而确定参数取值范围.
【小问1详解】
解：解不等式可得，，
所以，或，或；
【小问2详解】
解：由可得，且，
所以，解得，即.
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