重庆市涪陵实验中学2023届数学高一上期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．如果角的终边在第二象限，则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
2．下列命题正确的是
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
3．已知角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，它的终边上一点坐标为，.则为（）
A. B.
C. D.
4．若，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知函数，则（）
A.2 B.5
C.7 D.9
6．设全集,, ,则图中阴影部分表示的集合为

A. B.
C. D.
7．已知，，，则，，三者的大小关系是（）
A. B.
C. D.
8．函数的最小正周期是（）
A. B.
C. D.3
9．若集合，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10．若一束光线从点射入，经直线反射到直线上的点，再经直线反射后经过点，则点的坐标为（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点，，若在函数的图像上存在点，使得为等边三角形，则点的纵坐标为_________.
12．设向量，若⊥，则实数的值为______
13．如图，某化学实验室的一个模型是一个正八面体（由两个相同的正四棱锥组成，且各棱长都相等）若该正八面体的表面积为，则该正八面体外接球的体积为___________；若在该正八面体内放一个球，则该球半径的最大值为___________.

14．函数的图象与轴相交于点，如图是它的部分图象，若函数图象相邻的两条对称轴之间的距离为，则_________.

15．已知函数，若，则________.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知函数是上的偶函数，当时，.
（1）用单调性定义证明函数在上单调递增；
（2）求当时，函数的解析式.
17．已知函数的部分图象如下图所示.

（1）求函数的解析式，并写出函数的单调递增区间；
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数的图象关于直线对称，求函数在区间上的值域.
18．已知函数为偶函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个不同的根，求m的取值范围
19．已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若实数满足，求的值.
20．已知函数f（x）=（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由
21．已知函数
（1）判断的奇偶性，并加以证明；
（2）求函数的值域

参考答案

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、B
【解析】由题意结合三角函数的性质确定所给结论是否正确即可.
【详解】角的终边在第二象限，则，AC错误；
，B正确；
当时，，，D错误
本题选择B选项.
【点睛】本题主要考查三角函数符号，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2、C
【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.
[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.
3、D
【解析】根据正弦函数的定义可得选项.
【详解】的终边上有一点，，.
故选：D.
4、B
【解析】由，根据基本不等式，即可求出结果.
【详解】因为，所以，，
因此，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：B.
5、D
【解析】先求出，再求即可，
【详解】由题意得，
所以，
故选：D
6、B
【解析】，阴影部分表示的集合为，选B.
7、C
【解析】分别求出，，的范围，即可比较大小.
【详解】因为在上单调递增，所以，即，
因为在上单调递减，所以，即，
因为在单调递增，所以，即，
所以，
故选：C
8、A
【解析】根据解析式，由正切函数的性质求最小正周期即可.
【详解】由解析式及正切函数的性质，最小正周期.
故选：A.
9、C
【解析】利用元素与集合，集合与集合的关系判断.
【详解】因为集合是奇数集，
所以，，，àA，
故选：C
10、C
【解析】由题可求A关于直线的对称点为及关于直线的对称点为，可得直线的方程，联立直线，即得.
【详解】设A关于直线的对称点为，

则，解得，即，
设关于直线的对称点为，
则，解得，即，
∴直线的方程为：代入，
可得，故.
故选：C.

二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】设直线的方程为，求得点，坐标，得到，取的中点，连接，根据三角形为等边三角形，表示出点坐标，根据点在函数的图象上，得到关于的方程，求出，进而可得点的纵坐标.
【详解】
设直线的方程为，由，得，所以点，
由，得，所以点，从而，
如图，取的中点，连接，
因为为等边三角形，则，所以，，
则点，
因为点在函数的图象上，则，
解得，所以点的纵坐标为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于先由同一参数表示出点坐标，再代入求解；本题中，先设直线，分别求出，坐标，得到等边三角形的边长，由此用表示出点坐标，即可求解.
12、
【解析】∵，
∴，，
又⊥
∴
∴
故答案为
13、 ①. ②.
【解析】由已知求得正八面体的棱长为，进而求得，即知外接球的半径，进而求得体积；若球O在正八面体内，则球O半径的最大值为O到平面的距离，证得平面，再利用相似可知，即可求得半径.
【详解】如图，记该八面体为，O为正方形的中心，则平面

设，则，解得.
在正方形中，，则
在直角中，知，即正八面体外接球的半径为
故该正八面体外接球的体积为.
若球O在正八面体内，则球O半径的最大值为O到平面的距离.
取的中点E，连接，，则，
又，，平面
过O作于H，又，，所以平面，
又，，则，
则该球半径的最大值为.
故答案为：，
14、
【解析】根据图象可得，由题意得出，即可求出，再代入即可求出，进而得出所求.
【详解】由函数图象可得，
相邻的两条对称轴之间的距离为，，则，，
，
又，即，，或，
根据“五点法”画图可判断，，
.
故答案为：.
15、
【解析】根据题意，将分段函数分类讨论计算可得答案
【详解】解：当时，，即，解得，满足题意；
当时，，即，解得，不满足题意
故.
故答案为.
【点睛】本题考查分段函数的计算，属于基础题

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）详见解析；
（2）.
【解析】（1）利用单调性的定义即证；
（2）当时，可得，再利用函数的奇偶性即得.
【小问1详解】
，且，则
，
∵，且，
∴，
∴，即，
∴函数在上单调递增；
【小问2详解】
当时，，
∴，又函数是上的偶函数，
∴，
即当时，.
17、（1），递增区间为；
（2）.
【解析】（1）由三角函数的图象，求得函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求解.
（2）由三角函数的图象变换，求得，根据的图象关于直线对称，求得的值，得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由图象可知，，
所以，所以，
由图可求出最低点的坐标为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
由，可得.
所以函数的单调递增区间为.
（2）由题意知，函数，
因为的图象关于直线对称，
所以，即，
因为，所以，所以.
当时，，可得，
所以，即函数的值域为.
【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
18、（1）
（2）
【解析】(1)：先利用辅助角公式化简，然后利用偶函数的性质，和两对称轴的距离可求出，便可写出；
(2)：将图像平移得到，求其在定义域内的两根转为两个函数由两个交点，便可求出m的取值范围.
【小问1详解】
函数

为偶函数

令，可得

图像的相邻两对称轴间的距离为

【小问2详解】
将函数的图像向右平移个单位长度，可得的图像，再将横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像
若在上有两个不同的根，则在上有两个不同的根，
即函数的图像与直线在上有两个不同的交点.
，，
，求得
故的取值范围为．
19、（1）偶函数，理由见详解；
（2）或.
【解析】（1）根据函数定义域，以及的关系，即可判断函数奇偶性；
（2）根据的单调性以及对数运算，即可求得参数的值.
【小问1详解】
偶函数，理由如下：
因为，其定义域为，关于原点对称；
又，故是偶函数.
【小问2详解】
在单调递增，在单调递减，证明如下：
设，故
，
因为，故，则，
又，故，则，
故，则
故在单调递增，又为偶函数，故在单调递减；
因为，
又在单调递增，在单调递减，
故或.
20、（1）或，
(2) 存在实数，使在区间上的最大值为2
【解析】（1）由条件幂函数，在上为增函数，
得到
解得 2分
又因为
所以或 3分
又因为是偶函数
当时，不满足为奇函数；
当时，满足为偶函数；
所以 5分
（2）令，
由得：
在上有定义，且
在上为增函数.7分
当时，

因为所以 8分
当时，

此种情况不存在， 9分
综上，存在实数，使在区间上的最大值为2 10分
考点：函数的基本性质运用
点评：解决该试题的关键是能理解函数的奇偶性和单调性的运用，能理解复合函数的性质得到最值，属于基础题
21、（1）是奇函数；证明见解析
（2）
【解析】（1）首先确定定义域，根据奇偶性定义可得结论；
（2）令，可求得的范围，进而可得的值域.
【小问1详解】
由得：，定义域为，关于原点对称；
，
，为奇函数；
【小问2详解】
令，
且，，或，
或，的值域为.