矩阵乘法AB=BA成立的两个充要条件与一个充分条件ppt课件.ppt

矩阵乘法AB=BA成立的两个充要条件与一个充分条件1 1 我们知道，矩阵的乘法不满足交换律，即在一般的情况下，ABBA,这就是说矩阵乘法AB=BA成立是有条件的。比如，对于n阶矩阵A,B中任意一个为n阶单位矩E时，矩阵乘法A=A总是成立的。当A,B为一般的n阶矩阵时，矩阵乘法AB=BA成立的条件时什么呢？为此，我做了一些探讨，得到矩阵乘法AB=BA成立的两个充要条件和一个充分条件。2 2一 两个充要条件定理定理1 1 若若A,BA,B都是都是n n阶可逆矩阵，则矩阵乘法阶可逆矩阵，则矩阵乘法AB=BAAB=BA成立的充要条件是成立的充要条件是证证 必要性必要性 由已知条件由已知条件AB=BAAB=BA，两端分别取逆矩阵，两端分别取逆矩阵，得得 3 3充分性充分性 由已知条件，得由已知条件，得 存在且唯一。由矩阵运算性质，有 于是 又两端取逆矩阵，即得AB=BA.4 4定理定理2 2 设设A,BA,B都是都是n n阶矩阵，则矩阵乘法阶矩阵，则矩阵乘法AB=BAAB=BA成成立的充要条件是立的充要条件是证 必要性 由已知条件AB=BA，两端分别取它们的转置，得(2)又 故 充分性 又矩阵运算性质 5 5及已知条件 即得两端分别取它们的转置，得AB=BA二 一个充分条件定理3 若A,B都是n阶可逆矩阵，并且满足关系式（3）其中I为n阶单位矩阵，为任意实数，则AB=BA.6 6 证证 当当 =0=0时，（时，（3 3）式变为）式变为A=ABA=AB，从而有，从而有 结论显然成立。结论显然成立。当当 为任意非零实数时，因为已知为任意非零实数时，因为已知A,BA,B可逆，可逆，所以所以A-IA-I也是可逆的，由（也是可逆的，由（3 3）式，得）式，得.(4)(4)根据矩阵运算性质根据矩阵运算性质,由（由（3),3),（4 4）两式）两式.可得可得7 7 又 故 根据上述定理2，知AB=BA.综上所述，对于任意的实数 ,定理3的结论总是 成立的。8 8此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！