高等数学中极限问题解法详析.doc

数学分析中极限的求法
摘要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法, 1：利用两个准则求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9：利用中值定理求极限, 10：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利用换元法求极限。
关键词: 夹逼准则, 单调有界准则, 无穷小量的性质, 洛必达法则, 中值定理, 定积分, 泰勒展开式, 级数收敛的必要条件.

极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y＝f(x)在处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。
1：利用两个准则求极限。
　(1)夹逼准则：若一正整数 N,当n>N时，有且则有 .
利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和 ，使得。
例[1]
求的极限
解：因为单调递减，所以存在最大项和最小项

则
又因为

（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。
利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。
例：[1] 证明下列数列的极限存在，并求极限。

证明：从这个数列构造来看 显然是单调增加的。用归纳法可证。
又因为
所以得. 因为前面证明是单调增加的。
两端除以 得
因为则, 从而

即 是有界的。根据定理有极限，而且极限唯一。
令 则
则. 因为 解方程得
所以
2：利用极限的四则运算性质求极限
极限的四则运算性质：1：两收敛数列的和或积或差也收敛且和或积或差的极限等于极限和的或积或差。 2：两收敛数列且作除数的数列的极限不为零，则商的极限等于极限的商。通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。首先对函数施行各种恒等变形。例如分之，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。

例；求极限
(1)
(2)
(3)
(4) 已知 求
解：(1) ＝＝＝ (2)＝＝＝
(3)
＝＝＝＝-1
(4) 因为

所以
3：利用两个重要极限公式求极限
两个极限公式 (1)
(2)
在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。
例：求下列函数的极限[4]
(1)
(2)
解：(1)

＝
＝

＝

＝

＝＝1
(2) ＝＝＝＝1
4：利用单侧极限求极限
这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。
例：
求 f(x)在x=0的左右极限
解：＝1
＝1

5：利用函数的连续性求极限
这种方法适用于求复合函数的极限。如果 u=g(x) 在点连续 g()=,而y=f(u)在点连续，那么复合函数y=f(g(x))在点连续。即也就是说，极限号可以与符号f互换顺序。
例：求
解：令 y＝lnu, u＝
因为 lnu 在点 处连续
所以
＝
＝
＝1
6：利用无穷小量的性质求极限：
无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。如果,g(x)在某区间有界，那么.这种方法可以处理一个函数不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。
例：求
解： 因为
所以 ＝0
7：利用等价无穷小量代换求极限：
等价无穷小量：当时，称y,z是等价无穷小量：记为 yz 在求极限过程中，往往可以把其中的无穷小量，或它的主要部分来代替。但是，不是乘除的情况，不一定能这样做。
例：求
解：
＝＝＝8
8：利用导数的定义求极限
导数的定义：函数f(x)在附近有定义，则 如果存在，则此极限值就称函数 f(x)在点 的导数记为 .即在这种方法的运用过程中。首先要选好f(x)。然后把所求极限。表示成f(x)在定点的导数。
例：求
解：取f(x)= .则

＝＝＝
＝
9：利用中值定理求极限：
1：微分中值定理：若函数 f(x) 满足 () 在 连续 .()在(a,b)可导；则在(a,b)内至少存在一点，使
例[2]：求
解：

＝
＝
＝
＝
2：积分中值定理：设函数f(x) 在闭区间 上连续;g(x) 在上不变号且可积，则在上至少有一点使得
例：求
解：
＝
＝

10：洛必达法则求极限：
洛必达法则只能对或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当 等于 A 时，那么也存在且等于A. 如果不存在时，并不能断定也不存在，只是这是不能用洛必达法则，而须用其他方法讨论 。
例[1]：(1) 求
(2)求
解：(1) 由
所以上述极限是待定型
＝＝＝1
(2) 它为型
由对数恒等式可得
=

＝
11：利用定积分求和式的极限
利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数f(x)。把所求极限的和式表示成f(x)在某区间 上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。
例：求

解：由于
＝
可取函数 f(x)＝区间为上述和式恰好是 在 上n等分的积分和。
所以
＝
＝
＝
12：利用级数收敛的必要条件求极限
利用级数收敛的必要条件：若级数收敛，则运用这个方法首先判定级数收敛，然后求出它的通项的极限
例： 求
解：设
则
=
=0<1
由比值判别法知收敛
由必要条件知＝0
13：利用泰勒展开式求极限
泰勒展开式：若 f(x)在x=0点有直到n+1 阶连续导数,那么
(其中在0与1之间)
例：
解：泰勒展开式

于是-＝
所以＝＝
14：换元法求极限：
当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。
例：[3] 求
解：令 则
＝＝＝1
附:各种求极限问题及解题方法
1．约去零因子求极限
例1：求极限
【说明】表明无限接近，但，所以这一零因子可以约去。
【解】=4
2．分子分母同除求极限
例2：求极限
【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】
【注】(1) 一般分子分母同除的最高次方；
　　(2)
3．分子(母)有理化求极限
例3：求极限
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】

例4：求极限
【解】

【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键　
4．应用两个重要极限求极限
两个重要极限是和，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。
例5：求极限
【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑，最后凑指数部分。
【解】
例6：(1)；(2)已知，求。
5．用等价无穷小量代换求极限
【说明】
(1)常见等价无穷小有：
当 时,,
；
(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式；
(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。
例7：求极限
【解】 .
例8：求极限
【解】
6．用罗必塔法则求极限
例9：求极限
【说明】或型的极限,可通过罗必塔法则来求。
【解】

【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解
例10：设函数f(x)连续，且，求极限
【解】 由于,于是
==
==
7．用对数恒等式求极限
例11：极限
【解】 ==
【注】对于型未定式的极限，也可用公式
=
因为

例12：求极限.
【解1】 原式

【解2】 原式

8．利用Taylor公式求极限
例13 求极限 .
【解】 ,
;

.
例14 求极限.
【解】

.
9．数列极限转化成函数极限求解
例15：极限
【说明】这是形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。
【解】考虑辅助极限
所以，
10．n项和数列极限问题
n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法
(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;
(2)利用两边夹法则求极限.
例16：极限
【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把看成［0,1］定积分。
【解】原式＝

例17：极限
【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成的形式，因而用两边夹法则求解；
(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。
【解】
因为　　
又　　　　
所以　　＝１
12．单调有界数列的极限问题
例18：设数列满足
（Ⅰ）证明存在，并求该极限；
（Ⅱ）计算.
【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.
【详解】 （Ⅰ）因为，则.
可推得　，则数列有界.
于是　，（因当）， 则有，可见数列单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限存在.
设，在两边令，得　，解得，即.
（Ⅱ）　因　，由（Ⅰ）知该极限为型，
(使用了罗必塔法则)
故　.

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