同济版-高等数学-课后模拟题解析.doc

书后部分习题解答
P21页
3．（3） （）
知识点：1）等比级数求和（共n项）
2）用P14例4的结论：当时，
解：
5.（1）判断下列数列是否收敛，若收敛，则求出极限：
设为正常数，，
证：由题意，，（数列有下界）
又（因）（数列单调减少）
由单调有界定理，此数列收敛；记，对两边取极限，得，解得（负的舍去），故此数列的极限为.
P35页4.（8）极限

(若以后学了洛必达法则（型未定型），则
）
书后部分习题解答2
P36页
8.已知当时，，求常数.
知识点：1）等价无穷小的概念；
2）熟记常用的等价无穷小，求极限时可用等价无穷小的替换定理。
解：由题意：得
或
（根式有理化）
P42页3（4）
关于间断点：
为第二类间断点
说明：不存在（在的过程中，函数值不稳定，不趋向与）
P43页7（1）证明方程在内必有一实根。
知识点：闭区间（一定要闭）上连续函数的根的存在定理
证明：设，易知，在上连续； （注:设函数，闭区间）
，，
故由根的存在定理，至少在内存在一点，使，
即方程在内必有一实根.
P61页
3.设存在，求：
（1） （2）
（3）
分析：因存在，则极限的值为。
把（1）（2）（3）化为相应可用极限的形式
解：（1）
（2）

（3）
8.用导数的定义求在处的导数.（可参看P51例1-2）
知识点：1）导数在一点处的定义：；
2）点处的左右导数的定义与记号：
左导数
右导数
3）分段函数在分界点（具体的点）处的导数必须用导数的定义或左右导数的定义做。
解：因 （先写出处的函数值）
又
（在处的左导数定义）

（在处的右导数定义）
而
10.设函数，为了使函数在处连续且可导，应取什么值？
题型：分段函数在分界点处的连续性与导数的求法。
解：由题意，函数在处连续，则，即

，得
又函数在处可导，则
而
（用到了）
故
书后部分习题解答3（关于隐函数求导）
P62页
14． 设，求.
分析：1）隐函数求导；2）由代入方程要求出的值。
解：方程两边对求导：
得：
又由代入方程，得，所以：
20.已知，求，.
要点：求隐函数二阶导数的方法。
解：方程两边对求导：
（1）
把代入式（1），解得
（或由式（1）解得： （2）
再把点代入得）
（求隐函数二阶求导的方法）
方法1：式（1）两边对求导，（记，）

把，代入，得
（代入：）
方法2：式（2）对求导：
，
点、一阶导数直接代入（不用化简，注意式中有0处的值）即可.
P62页15题.利用对数求导法求导
（3）
说明：1）一定要用对数求导法求导；2）取对数后，先化简.
解：取对数：（化简）
两边对求导：
所以： （代入）
书后部分习题解答4（关于中值定理与未定式极限）
P82页
1．检验罗尔定理对函数是否成立？
分析：1）即检验是否符合罗尔定理的条件；
2）若符合，是否存在？
解：易知在[1,2],[2,3]上连续，（1,2），（2,3）内可导，且，故符合罗尔定理的条件。
又由，得，故有
，符合罗尔定理的结论.
故罗尔定理对函数成立。
4.(3)证：
证：设，当时，等式成立；
若，则易知在上连续，在内可导，则由拉格朗日定理
存在，使
取绝对值，得
同理，可证
综合：有
6.设函数在闭区间[1,2]上可微，证明：，其中.
提示：对，用柯西中值定理.
8.证明：，其中.
题型：证明函数为常数；
用到的知识：书78页定理3.4（3）的结论，若，则.()
证明：设，则
，
整理，当，，故，又
所以：，当.
P89页（用洛必达法则求极限时，可以适当的化简、整理等，目的简化计算）
2（3）
解：
（用到连续性与极限的运算，相当于代入）

（5）
解：

（整理，等价无穷小的代换）
3.（2） （函数差的极限，一定要整理成函数商的极限）
解：= （用了等价无穷小的代换）

4.（3） （幂指函数的极限）
解：=
先求
（用到，时，，无穷大量的倒数为无穷小）
故
（4）
解：
而
(用到，)
故
7.试确定常数，使得.
解：因，
又，上式分母，且极限存在，则必须分子
得；则
=，得
书后部分习题解答4（关于中值定理与未定式极限）
P82页
1．检验罗尔定理对函数是否成立？
分析：1）即检验是否符合罗尔定理的条件；
2）若符合，是否存在？
解：易知在[1,2],[2,3]上连续，（1,2），（2,3）内可导，且，故符合罗尔定理的条件。
又由，得，故有
，符合罗尔定理的结论.
故罗尔定理对函数成立。
4.(3)证：
证：设，当时，等式成立；
若，则易知在上连续，在内可导，则由拉格朗日定理
存在，使
取绝对值，得
同理，可证
综合：有
6.设函数在闭区间[1,2]上可微，证明：，其中.
提示：对，用柯西中值定理.
8.证明：，其中.
题型：证明函数为常数；
用到的知识：书78页定理3.4（3）的结论，若，则.()
证明：设，则
，
整理，当，，故，又
所以：，当.
P89页（用洛必达法则求极限时，可以适当的化简、整理等，目的简化计算）
2（3）
解：
（用到连续性与极限的运算，相当于代入）

（5）
解：

（整理，等价无穷小的代换）
3.（2） （函数差的极限，一定要整理成函数商的极限）
解：= （用了等价无穷小的代换）

4.（3） （幂指函数的极限）
解：=
先求
（用到，时，，无穷大量的倒数为无穷小）
故
（4）
解：
而
(用到，)
故
7.试确定常数，使得.
解：因，
又，上式分母，且极限存在，则必须分子
得；则
=，得
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