资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．如图，已知的直观图是一个直角边长是1的等腰直角三角形，那么的面积是
A. B.
C.1 D.
2．若，则下列说法正确的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若且，则 D.若，则
3．如果AB>0,BC>0，那么直线Ax－By－C＝0不经过的象限是
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4．下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与；②与；
③与；④与
A.① ② B.① ③
C.③ ④ D.① ④
5．已知函数是上的增函数（其中且），则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
6．已知点．若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为
A.4 B.3
C.2 D.1
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是
A. B.
C. D.
8．已知，为锐角，，，则的值为()
A. B.
C. D.
9．函数的定义城为（ ）
A B.
C. D.
10．函数的最小正周期是（ ）
A.1 B.2
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为和，其中为销售量(单位：辆).若该公司在两地共销售15辆汽车，则该公司能获得的最大利润为_____万元.
12．已知是第四象限角，，则______
13．若函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是___
14．对，不等式恒成立，则m的取值范围是___________；若在上有解，则m的取值范围是___________.
15．函数在上单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围为__________
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]时有最大值2，求a的值
17．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|1≤x≤5，x∈Z}，C＝{x|2<x<9，x∈Z}．求
(1)A∪(B∩C)；(2)(∁UB)∪(∁UC)
18．如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为且.
（Ⅰ）若，，求的定义域；
（Ⅱ）当时，若为“同域函数”，求实数的值；
（Ⅲ）若存在实数且，使得为“同域函数”，求实数的取值范围.
19．设是常数，函数.
(1)用定义证明函数是增函数；
(2)试确定的值，使是奇函数；
(3)当是奇函数时，求的值域.
20．已知函数的图象在定义域上连续不断.若存在常数，使得对于任意的，恒成立，称函数满足性质.
（1）若满足性质，且，求的值；
（2）若，试说明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和.（参考数据：）
（3）若函数满足性质，求证：函数存在零点.
21．（1）已知，求；
（2）已知，，，是第三象限角，求的值.
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、D
【解析】根据斜二测画法的基本原理，将平面直观图与还原为原几何图形，利用三角形面积公式可得结果.
【详解】平面直观图与其原图形如图，
直观图是直角边长为的等腰直角三角形，
还原回原图形后，边还原为长度不变，仍为，
直观图中的在原图形中还原为长度，且长度为，
所以原图形的面积为，故选D.
【点睛】本题主要考查直观图还原几何图形，属于简单题.利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与轴平行的线段仍然与与轴平行且相等；二是与轴平行的线段仍然与轴平行且长度减半.
2、D
【解析】根据选项举反例即可排除ABC，结合不等式性质可判断D
【详解】对A，取，则有，A错；
对B，取，则有，B错；
对C，取，则有，C错；
对D，若，则正确；
故选：D
3、B
【解析】斜率为，截距，故不过第二象限.
考点：直线方程.
4、C
【解析】定义域相同，对应关系一致的函数是同一函数，由此逐项判断即可.
【详解】①中的定义域为，的定义域也是，但与对应关系不一致，所以①不是同一函数；
②中与定义域都是R，但与对应关系不一致，所以②不是同一函数；
③中与定义域都是，且，对应关系一致，所以③是同一函数；
④中与定义域和对应关系都一致，所以④是同一函数.
故选C
【点睛】本题主要考查同一函数的概念，只需定义域和对应关系都一致即可，属于基础题型.
5、D
【解析】利用对数函数、一次函数的性质判断的初步取值范围，再由整体的单调性建立不等式，构造函数，利用函数的单调性求解不等式，从求得的取值范围.
【详解】由题意必有，可得，且，
整理为．令
由换底公式有，
由函数为增函数，
可得函数为增函数，
注意到，
所以由，得，
即，实数a的取值范围为
故选:D.
6、A
【解析】直线方程为即．设点，点到直线的距离为，
因为，由面积为可得
即，解得或或．所以点的个数有4个．故A正确
考点：1直线方程；2点到线的距离
7、A
【解析】由三视图可知几何体是一个底面为梯形的棱柱,再求几何体的表面积得解.
【详解】由三视图可知几何体是一个底面为直角梯形的棱柱,梯形的上底为1，下底为2，高为2，棱柱的高为2.由题可计算得梯形的另外一个腰长为.
所以该几何体的表面积=.
故答案为A
【点睛】本题主要考查三视图找原图，考查几何体的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.
8、A
【解析】，根据正弦的差角公式展开计算即可.
【详解】∵，，∴，
又∵，∴，
又，∴，
∴，
，
∴
故选：A.
9、C
【解析】由对数函数的性质以及根式的性质列不等式组，即可求解.
【详解】由题意可得 解得，
所以原函数的定义域为，
故选：C
10、A
【解析】根据余弦函数的性质计算可得；
【详解】因为，所以函数的最小正周期；
故选：A
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】设该公司在甲地销x辆，那么乙地销15－x辆，利润L(x)＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30.由L′(x)＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2.且当x＜10.2时，L′(x)＞0，x＞10.2时，L′(x)＜0，∴x＝10时，L(x)取到最大值，这时最大利润为45.6万元
答案：45.6万元
12、
【解析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，在利用诱导公式可求得结果.
【详解】因为是第四象限角，，则，
所以，.
故答案为：.
13、
【解析】按照指数函数的单调性及端点处函数值的大小关系得到不等式组，解不等式组即可.
【详解】由题知
故答案为：.
14、 ①. ②.
【解析】（1）根据一元二次函数的图象，考虑开口方向和判别式，即可得到答案；
（2）利用参变分离，将问题转化为不等式在上有解；
【详解】（1）关于x的不等式函数对于任意实数x恒成立，
则，解得m的取值范围是.
（2）若在上有解，
则在上有解，易知当时，
当时，此时记，
则，，在上单调递减，故，
综上可知，，故m的取值范围是.
故答案为：；
15、
【解析】根据题意,f(x)为奇函数,若f(2)=1,则f(−2)=-1，
f(x)在(−∞,+∞)单调递增,且−1⩽f(x−2)⩽1,即f(-2)⩽f(x−2)⩽f(2)，
则有−2⩽x−2⩽2，
解可得0⩽x⩽4，
即x的取值范围是；
故答案为.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、a＝－1或a＝2
【解析】函数的对称轴是，根据与区间的关系分类讨论得最大值，由最大值求得
【详解】函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a
（1）当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，∴a＝－1
（2）当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，∴a2－a＋1＝2，即a2－a－1＝0，∴a＝ (舍去)
（3）当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2
综上可知，a＝－1或a＝2
【点睛】关键点点睛：本题考查二次函数最值问题．二次函数在区间最值问题，一般需要分类讨论，分类标准是对称轴与区间的关系，如果，求最小值时分三类：，，，求最大值只要分两类：和，类似分类
17、（1）A∪(B∩C)＝{1,2,3,4,5}．（2）(∁UB)∪(∁UC)＝{1,2,6,7,8}
【解析】（1）先求集合A,B,C；再求B∩C，最后求A∪(B∩C)（2）先求∁UB，∁UC；再求(∁UB)∪(∁UC)
试题解析：解：(1)依题意有：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，C＝{3,4,5,6,7,8}，∴B∩C＝{3,4,5}，故有A∪(B∩C)＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}
(2)由∁UB＝{6,7,8}，∁UC＝{1,2}；
故有(∁UB)∪(∁UC)＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}
18、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）当，时，解出不等式组即可；
（Ⅱ）当时，，分、两种情况讨论即可；
（Ⅲ）分、且、且三种情况讨论即可.
【详解】（Ⅰ）当，时，由题意知：，解得：.
∴的定义域为；
（Ⅱ）当时，，
（1）当，即时，的定义域为，值域为，
∴时，不是“同域函数”.
（2）当，即时，当且仅当时，为“同域函数”.
∴.
综上所述，的值为.
（Ⅲ）设的定义域为，值域为.
（1）当时，，此时，，，从而，
∴不是“同域函数”.
（2）当，即，
设，则的定义域.
①当，即时，的值域.
若为“同域函数”，则，
从而，，
又∵，∴的取值范围为.
②当，即时，的值域.
若为“同域函数”，则，
从而，
此时，由，可知不成立.
综上所述，的取值范围为
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解清楚题意，能够分情况求出的定义域和值域.
19、 (1) 详见解析(2)
【解析】（1）证明函数单调性可根据函数单调性定义取值，作差变形，定号从而写结论（2）因为函数是奇函数所以（3）由.故，∴
试题解析：
(1)设，
则.
∵函数是增函数，又，∴，
而，，∴式.
∴，即是上的增函数.
(2)∵对恒成立，
∴.
(3)当时，.
∴，∴，
继续解得，
∴，因此，函数的值域是.
点睛：本题考差了函数单调性，奇偶性概念及其判断、证明，函数的值域求法，对于定义来证明单调性要注意做差后的式子的化简.
20、（1）
（2）答案见解析（3）证明见解析
【解析】（1）由满足性质可得恒成立，取可求，取可求，取可求，取求，由此可求的值；
（2）设满足，利用零点存在定理证明关于的方程至少有两个解，证明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和；
（3）分别讨论，，时函数的零点的存在性，由此完成证明.
【小问1详解】
因为满足性质，
所以对于任意的x，恒成立.
又因为，
所以，，
，
由可得，
由可得，
所以，.
【小问2详解】
若正数满足，等价于，
记，
显然，，
因为，所以，，即.
因为的图像连续不断，
所以存在，使得，
因此，至少存在两个不等的正数，使得函数同时满足性质和.
【小问3详解】
若，则1即为零点；
因为，若，则，矛盾，故，
若，则，，，
可得.
取即可使得，又因为的图像连续不断，
所以，当时，函数上存在零点，
当时，函数在上存在零点，
若，则由，可得，
由，可得，
由，可得.
取即可使得，又因为的图像连续不断，
所以，当时，函数在上存在零点，
当时，函数在上存在零点，
综上，函数存在零点.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）根据诱导公式化简函数后代入求解即可；
（2）根据同角三角函数的基本关系求出，利用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】（1）
（2）由，，得
又由，，得
所以
.
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