第十讲一元一次不等式.doc

第十讲 一元一次不等式（组)【基础知识回顾】一、 不等式的基本概念： 1、不等式：用 连接起来的式子叫做不等式 2、不等式的解：使不等式成立的 值,叫做不等式的解 3、不等式的解集:一个含有未知数的不等的解的 叫做不等式的解集【名师提醒：1、常用的不等号有 等 2、不等式的解与解集是不同的两个概念，不等式的解是单独的未知数的值,而解集是一个范围的未知数的值组成的集合，一般由无数个解组成3、不等式的解集一般可以在数轴上表示出来.注意“”“”在数轴上表示为 ,而“”“在数轴上表示为 】二、不等式的基本性质:基本性质1、不等式两边都加上（或减去)同一个 或同一个 不等号的方向 ，即：若ab,则a+c b+c(或a-c bc）基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个 不等号的方向 ，即:若ab，c0则a c b c（或 ）基本性质3、不等式两边都乘以（或除以）同一个 不等号的方向 ，即:若ab ，c 0则a c b c(或 ）【名师提醒:运用不等式的基本性质解题时要主要与等式基本性质的区别与联系，特别强调：在不等式两边都乘以或除以一个负数时，不等号的方向要 】 三、一元一次不等式及其解法：1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是 且系数 的不等式叫一元一次不等式，其一般形式为 或 。2、一元一次不 等 式 的 解 法 步 骤 和 一 元一次方程的解法相同，即包含 、 、 、 、 等五个步骤【名师提醒：在最后一步系数化为1时，切记不等号的方向是否要改变 】四、一元一次不等式组及其解法： 1、定义：把几个含有相同未知数的 合起来，就组成了一个一元一次不等式组 2、解集：几个不等式解集的 叫做由它们所组成的不等式组的解集 3、解法步骤：先求出不等式组中各个不等式的 再求出他们的 部分，就得到不等式组的解集xa 4、一元一次不等式组解集的四种情况（ab)解集 口诀:大大取大 1、xbXa2、解集 口诀： Xb解集 口诀： XbXaXb3、4、【名师提醒：1、求不等式的解集,一般要体现在数轴上，这样不容易出错.2、一元一次不等式组求解过程中往常出现求特殊解的问题,比如:整数解、非负数解等，这时要注意不要漏了解，特别当出现“”或“”时要注意两头的数值是否在取值的范围内】五、一元一次不等式（组）的应用： 基本步骤同一元一次方程的应用可分为： 、 、 、 、 、 等六个步骤【名师提醒：列不等式（组）解应用题，涉及的题型常与方案设计型问题相联系如：最大利润，最优方案等】【重点考点例析】考点一：不等式的性质例1 (2013乐山)若ab，则下列不等式变形错误的是(）Aa+1b+1B C3a-43b4D4-3a4-3b思路分析:根据不等式的基本性质进行解答解:A、在不等式ab的两边同时加上1，不等式仍成立，即a+1b+1故本选项变形正确；B、在不等式ab的两边同时除以2,不等式仍成立，即故本选项变形正确;C、在不等式ab的两边同时乘以3再减去4，不等式仍成立，即3a43b4故本选项变形正确；D、在不等式ab的两边同时乘以3再减去4,不等号方向改变,即4-3a4-3b故本选项变形错误；故选D点评：主要考查了不等式的基本性质不等式的基本性质：（1）不等式两边加(或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变(2）不等式两边乘(或除以）同一个正数，不等号的方向不变(3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变对应训练12013广东）已知实数a、b，若ab，则下列结论正确的是（）Aa-5b-5B2+a2+bCD3a3b1D考点二:在数轴上表示不等式(组）的解例2 (2013张家界）把不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A BC D思路分析:求出不等式组的解集，表示在数轴上即可解：，由得：x3，则不等式组的解集为1x3,表示在数轴上，如图所示：故选C点评：此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式组，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画;,向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“”,“要用实心圆点表示;“”,“要用空心圆点表示对应训练2（2013营口）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A BC D2C考点三：不等式（组）的解法例3 (2013成都）不等式2x13的解集是 x2思路分析：移项后合并同类项得出2x4，不等式的两边都除以2即可求出答案解：2x-13，移项得：2x3+1,合并同类项得：2x4，不等式的两边都除以2得:x2，故答案为：x2点评:本题主要考查对不等式的性质,解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质正确解不等式是解此题的关键例4 （2013永州）解不等式组,并把解集在数轴上表示出来思路分析：首先分别计算出两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”可找出不等式组的解集解：,由得：x1,由得：x2,不等式组的解集为:1x2，再数轴上表示为:点评：此题主要考查了解一元一次不等式组,关键是正确掌握解集的规律：同大取大；同小取小;大小小大中间找；大大小小找不到在表示解集时“，“”要用实心圆点表示;“”，“”要用空心圆点表示对应训练3（2013莆田）不等式2x-40的解集是 x23x24（2013湛江）解不等式组,并把它的解集在数轴上表示出来 4解：解不等式得：x-1,解不等式得:x1，不等式组的解集为：-1x1，在数轴上表示不等式组的解集为：考点四：不等式（组）的特殊解例5 （2013雅安）不等式组 的整数解有（) 个A1B2C3D4思路分析:先求出不等式组的解集,再确定符合题意的整数解的个数即可得出答案解：由2x-13，解得:x2，由,解得x-2，故不等式组的解为：-2x2，所以整数解为：-2，-1，0,1共有4个故选D点评：本题主要考查了一元一次不等式组的解法，难度一般，关键是会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值一般方法是先解不等式组,再根据解集求出特殊值对应训练5（2013常德）求不等式组的正整数解5解：解不等式2x+10,得：x，解不等式x2x5得：x5，不等式组的解集为x5，x是正整数，x=1、2、3、4、5考点五:确定不等式（组）中字母的取值范围例6 （2013宁夏）若不等式组有解，则a的取值范围是 a1思路分析：先解出不等式组的解集,根据已知不等式组有解，即可求出a的取值范围解：由得xa，由得x1,故其解集为ax1，-a1，即a-1，a的取值范围是a-1故答案为：a1点评:本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题可以先将另一未知数当作已知数处理，求出不等式组的解集并与已知解集比较，进而求得另一个未知数的取值范围对应训练6（2013凉山州）已知x=3是关于x的不等式3x-的解，求a的取值范围6解：x=3是关于x的不等式3x的解,9-2,解得a4故a的取值范围是a4考点六:不等式（组)的应用例7 (2013天津）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后,超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费，设小红在同一商场累计购物x元，其中x100(1）根据题题意，填写下表（单位:元）累计购物实际花费130290x在甲商场127在乙商场126（2）当x取何值时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同?（3）当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？思路分析：（1）根据已知得出100+（290-100)0。9以及50+（290-50）0。95进而得出答案,同理即可得出累计购物x元的实际花费;(2）根据题中已知条件，求出0.95x+2.5，0。9x+10相等,从而得出正确结论；（3)根据0。95x+2.5与0。9x+10相比较，从而得出正确结论解：（1)在甲商场：100+（290-100)0。9=271，100+（290-100）0。9x=0.9x+10；在乙商场：50+（290-50）0.95=278，50+（29050）0。95x=0。95x+2.5；（2）根据题意得出：0.9x+10=0.95x+2.5,解得:x=150，当x=150时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同，（3)由0.9x+100。95x+2.5，解得：x150，0.9x+100。95x+2。5，解得：x150，yB=0.95x+50（1-95）=0。95x+2.5，正确；当小红累计购物大于150时上没封顶，选择甲商场实际花费少；当小红累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场实际花费少点评:此题主要考查了一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用，此题问题较多且不是很简单，有一定难度涉及方案选择时应与方程或不等式联系起来例8 （2013黔西南州）义洁中学计划从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A型小黑板比买一块B型小黑板多用20元且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元（1）求购买一块A型小黑板、一块B型小黑板各需要多少元？（2）根据义洁中学实际情况，需从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板共60块，要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、B种型号小黑板总数量的 请你通过计算，求出义洁中学从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板有哪几种方案？思路分析:（1)设购买一块A型小黑板需要x元，一块B型为（x-20）元，根据，购买一块A型小黑板比买一块B型小黑板多用20元且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元可列方程求解(2)设购买A型小黑板m块,则购买B型小黑板（60-m）块，根据需从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板共60块,要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、B种型号小黑板总数量的，可列不等式组求解解：（1）设购买一块A型小黑板需要x元，一块B型为（x20）元，5x+4（x20）=820，x=100，x20=80,购买A型100元，B型80元；（2)设购买A型小黑板m块，则购买B型小黑板（60m）块，,20m22,而m为整数，所以m为21或22当m=21时,60m=39；当m=22时，60m=38所以有两种购买方案：方案一购买A21块，B 39块、方案二 购买A22块,B38块点评:本题考查理解题意的能力，关键根据购买黑板块数不同钱数的不同求出购买黑板的钱数，然后要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、B种型号小黑板总数量的，列出不等式组求解对应训练7(2013本溪）某中学响应“阳光体育”活动的号召，准备从体育用品商店购买一些排球、足球和篮球，排球和足球的单价相同，同一种球的单价相同，若购买2个足球和3个篮球共需340元，购买4个排球和5个篮球共需600元（1）求购买一个足球,一个篮球分别需要多少元？(2）该中学根据实际情况,需从体育用品商店一次性购买三种球共100个，且购买三种球的总费用不超过600元，求这所中学最多可以购买多少个篮球？7解：(1)设购买一个足球需要x元，则购买一个排球也需要x元，购买一个篮球y元，由题意得：，解得：，答：购买一个足球需要50元,购买一个篮球需要80元；(2）设该中学购买篮球m个，由题意得：80m+50（100-m）600，解得：m33,m是整数,m最大可取33答：这所中学最多可以购买篮球33个8（2013东营）在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板,经过市场考察得知,购买1台电脑和2台电子白板需要3。5万元,购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元（1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元？（2)根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元,但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低8解:（1)设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得：，解得：，答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1。5万元（2）设需购进电脑a台，则购进电子白板(30-a）台，根据题意得：，解得：15a17，a只能取整数，a=15，16，17，有三种购买方案，方案1：需购进电脑15台，则购进电子白板15台，方案2：需购进电脑16台，则购进电子白板14台，方案3:需购进电脑17台，则购进电子白板13台，150.5+1。515=30（万元），160。5+1.514=29(万元)，170.5+1。513=28(万元)，282930,选择方案3最省钱【聚焦山东中考】1(2013济宁）已知ab=4，若-2b1，则a的取值范围是（）Aa-4Ba-2C4a1D4a-21D2(2013威海）不等式组的解集在数轴上表示为（）ABCD2B3(2013日照）如果点P(2x+6，x4)在平面直角坐标系的第四象限内,那么x的取值范围在数轴上可表示为（)ABCD3C4（2013聊城)不等式组的解集在数轴上表示为（）A BC D4A5（2013滨州)若把不等式组的解集在数轴上表示出来，则其对应的图形为（)A长方形B线段C射线D直线5B6（2013淄博）当实数a0时，6+a 6a（填“或“)6（2013烟台)不等式的最小整数解是 x=37x=378(2013菏泽）解不等式组，并指出它的所有非负整数解8解:，解不等式得：x2，解不等式得:x，不等式组的解集为2x，不等式组的非负整数解为0，1,29（2013潍坊)为增强市民的节能意识,我市试行阶段电价，从2013年开始，按照每户的每年的用电量分三个档次计费,具体规定如图,小明统计了自家2013年前5个月的实际用电量为1300度，请帮助小明分析下面问题：(1)若小明家计划2013年全年的用电量不超过2520度,则6至12月份小明家平均每月用电量最多为多少度?（保留整数）（2）若小明家2013年6至12月份平均每月用电量等于前5个月的平均每月用电量，则小明家2013年应交总电费多少元?9解;（1）设小明家6至12月份平均每月用电量为x度,根据题意得出:1300+7x2520，解得：x174。3,小明家6至12月份平均每月用电量最多为174度;(2)小明家前5个月平均每月用电量=260（度），全年用电量=26012=3120（度)，252031204800,总电费=25200.55+（31202520）0。6=1386+360=1746（元），小明家2013年应交总电费为1746元10（2013莱芜)某学校将周三“阳光体育”项目定为跳绳活动，为此学校准备购置长、短两种跳绳若干已知长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多4元，且购买2条长跳绳与购买5条短跳绳的费用相同(1）两种跳绳的单价各是多少元?（2）若学校准备用不超过2000元的现金购买200条长、短跳绳，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍，问学校有几种购买方案可供选择?10解：（1）设长跳绳的单价是x元，短跳绳的单价为y元由题意得:解得：所以长跳绳单价是20元,短跳绳的单价是8元（2)设学校购买a条长跳绳，由题意得：解得:28a33a为正整数,a的整数值为29，3，31,32，33所以学校共有5种购买方案可供选择11（2013济南）设A是由24个整数组成的2行4列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数,则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”（1)数表A如表1所示，如果经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,请写出每次“操作”后所得的数表；（写出一种方法即可）表1 1237-2-101（2）数表A如表2所示，若经过任意一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的值表2 aa2-1a-a22a1a2a-2a211解：（1）根据题意得:改变第4列改变第2行（2)每一列所有数之和分别为2，0,-2,0，每一行所有数之和分别为-1,1,则如果操作第三列，则第一行之和为2a1，第二行之和为52a,，解得：a，又a为整数，a=1或a=2,如果操作第一行，则每一列之和分别为22a，2-2a2，2a2，2a2，解得a=1，此时2-2a2，=0,2a2=2，综上可知：a=1【备考真题过关】一、选择题1（2013淮安）不等式组 的解集是（）Ax0Bx1C0x1D0x11D2(2013玉林）在数轴上表示不等式x+51的解集，正确的是（）ABCD2B3(2013湘西州)若xy，则下列式子错误的是（）Ax-3y3B3x-3yCx+3y+3D 3B4（2013绵阳）设“、“”、“”分别表示三种不同的物体,现用天平秤两次，情况如图所示，那么、这三种物体按质量从大到小排列应为（)A、B、C、D、4C5（2013恩施州）下列命题正确的是（)A若ab，bc，则acB若ab，则acbcC若ab，则ac2bc2D若ac2bc2，则ab5D6（2013丽水)若关于x的不等式组的解表示在数轴上如图所示,则这个不等式组的解是（）Ax2Bx1C1x2D1x26D7(2013襄阳）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）ABCD7D8（2013南充）不等式组的整数解是（）A-1，0,1B0，1C2，0，1D-1，18A9（2013河南）不等式组的最小整数解为（）A-1B0C1D29B10(2013孝感)使不等式x-12与3x78同时成立的x的整数值是()A3，4B4，5C3，4,5D不存在10A11(2013荆门）若关于x的一元一次不等式组 有解,则m的取值范围为（）Am BmCmDm 11C12（2013资阳）在芦山地震抢险时,太平镇部分村庄需8组战士步行运送物资，要求每组分配的人数相同，若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不够90人,那么预定每组分配的人数是（）A10人B11人C12人D13人12C二、填空题13（2013安顺）已知关于x的不等式(1a）x2的解集为x，则a的取值范围是 a113a114（2013重庆）不等式2x-3x的解集是 x314x315（2013包头)不等式（x-m）3m的解集为x1，则m的值为 。15416(2013荆州)如图，在实数范围内规定新运算“”，其规则是：ab=2a-b已知不等式xk1的解集在数轴上,则k的值是 k-316k-317(2013鄂州）若不等式组 的解集为3x4，则不等式ax+b0的解集为 1718(2013乌鲁木齐)某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分,娜娜得分要超过90分，设她答对了n道题,则根据题意可列不等式 10x5（20x）901810x-5(20x)9019(2013厦门)某采石场爆破时,点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400米以外的安全区域甲工人在转移过程中，前40米只能步行，之后骑自行车已知导火线燃烧的速度为0。01米/秒,步行的速度为1米/秒,骑车的速度为4米/秒为了确保甲工人的安全，则导火线的长要大于 1.3米191.34三、解答题20（2013淮安)解不等式:x+1+2,并把解集在数轴上表示出来20解：2（x+1）x+4，2x+2x+4,x2在数轴上表示为：21（2013巴中）解不等式： ，并把解集表示在数轴上21解：去分母得:2(2x-1）-（9x+2）6，去括号得：4x-29x26，移项得：4x9x6+2+2，合并同类项得：-5x10,把x的系数化为1得：x222（2013湘潭）解不等式组 22解：，由得：x2，由得:x4,不等式组的解集为:2x423(2013遂宁）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来23解：，由得：x1由得：x4所以这个不等式的解集是1x4，用数轴表示为24（2013自贡）解不等式组： ，并写出它的所有的整数解24解：,解不等式得，x1，解不等式得，x4，所以，不等式组的解集是1x4,所以，不等式组的所有整数解是1、2、325（2013乐山）已知关于x，y的方程组的解满足不等式组，求满足条件的m的整数值25解：2得:2x4y=2m，-得：y=，把y=代入得：x=m+，把x=m+，y=代入不等式组中得：，解不等式组得:4m-,则m=-3，226（2013呼和浩特）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？26解：设应答对x道,则：10x-5（20-x）90解得x12，x取整数,x最小为：13，答:他至少要答对13道题27（2013贵港）在校园文化建设中，某学校原计划按每班5幅订购了“名人字画”共90幅由于新学期班数增加，决定从阅览室中取若干幅“名人字画”一起分发，如果每班分4幅,则剩下17幅；如果每班分5幅，则最后一班不足3幅，但不少于1幅（1）该校原有的班数是多少个？（2）新学期所增加的班数是多少个？27解：（1）原有的班数为:=18个；（2）设增加后的班数为x，则“名人字画有4x+17,由题意得,解得：19x21，x为正整数，x可取20，21，故新学期所增加的班数为2个或3个28（2013益阳)“二广”高速在益阳境内的建设正在紧张地进行,现有大量的沙石需要运输“益安”车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆,全部车辆运输一次能运输110吨沙石（1)求“益安车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆?(2）随着工程的进展，“益安”车队需要一次运输沙石165吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出28解：（1）设“益安车队载重量为8吨、10吨的卡车分别有x辆、y辆,根据题意得:,解之得：“益安”车队载重量为8吨的卡车有5辆，10吨的卡车有7辆；(2)设载重量为8吨的卡车增加了z辆，依题意得:8（5+z）+10（7+6z）165，解之得：z,z0且为整数，z=0，1，2；6z=6，5，4车队共有3种购车方案：载重量为8吨的卡车不购买，10吨的卡车购买6辆;载重量为8吨的卡车购买1辆，10吨的卡车购买5辆；载重量为8吨的卡车购买2辆，10吨的卡车购买4辆29（2013攀枝花)某文具店准备购进甲，乙两种铅笔，若购进甲种钢笔100支，乙种铅笔50支，需要1000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元（1)求购进甲,乙两种钢笔每支各需多少元？（2）若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求,要求购进甲中钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的8倍，那么该文具店共有几种进货方案?（3）若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进货方案中,哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？29解：（1）设购进甲，乙两种钢笔每支各需a元和b元，根据题意得:，解得:，答:购进甲，乙两种钢笔每支各需5元和10元;（2）设购进甲钢笔x支，乙钢笔y支，根据题意可得:，解得：20y25，x，y为整数，y=20，21，22，23，24,25共六种方案,5x=100010y0，0y100,该文具店共有6种进货方案;(3）设利润为W元,则W=2x+3y，5x+10y=1000，x=2002y,代入上式得：W=400y，W随着y的增大而减小，当y=20时，W有最大值，最大值为W=40020=380（元）