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三角函数的概念

【考纲要求】
1.了解任意角的概念和弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.
2.会表示终边相同的角；会象限角的表示方法.
3.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号、特殊角的三角函数值.
4.熟练掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式并能运用他们解决有关问题.
【知识网络】
三角函数的概念
角的概念的推广、弧度制
正弦、余弦的诱导公式
同角三角函数的基本关系式
任意角的三角函数

【考点梳理】
考点一、角的概念与推广
1．任意角的概念：正角、负角、零角
2．象限角与轴线角：
与终边相同的角的集合：
第一象限角的集合：
第二象限角的集合：
第三象限角的集合：
第四象限角的集合：
终边在轴上的角的集合：
终边在轴上的角的集合：
终边在坐标轴上的角的集合：
要点诠释：
要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系.
考点二、弧度制
1．弧长公式与扇形面积公式：
弧长，扇形面积（其中是圆的半径，是弧所对圆心角的弧度数）.
2．角度制与弧度制的换算：
；
要点诠释：
要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式.
考点三、任意角的三角函数
1. 定义：在角上的终边上任取一点，记
则, , ，，，.
2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段，，分别叫做的正弦线，余弦线，正切线.

3. 三角函数的定义域：，的定义域是；，的定义域是；，的定义域是.
4. 三角函数值在各个象限内的符号：

要点诠释：
①三角函数的定义是本章内容的基础和出发点，正确理解了三角函数的定义，则三角函数的定义域、三角函数在各个象限内的符号以及同角三角函数之间的关系便可以得到牢固掌握．利用定义求三角函数值时，也可以自觉地根据角的终边所在象限进行分情况讨论.
②三角函数线是三角函数的几何表示，是处理有关三角问题的重要工具，它能把某些繁杂的三角问题形象直观地表达出来．有关三角函数值的大小比较问题、简单三角不等式及简单三角方程的解集的确定等问题的解决常结合使用三角函数线，这是数形结合思想在三角中的具体运用.
考点四、同角三角函数间的基本关系式
1. 平方关系：.
2. 商数关系：.
3. 倒数关系：
要点诠释：
①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.
②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如，
，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用.
考点五、诱导公式
1.的三角函数值等于的同名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值所在象限的符号.
2. ，的三角函数值等于的互余函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值所在象限的符号.
要点诠释：
诱导公式其作用主要是将三角函数值转化为角的三角函数值，本节公式较多，要正确理解和记忆，诱导公式可以用“奇变偶不变，符号看象限（奇、偶指的是的奇数倍、偶数倍）”这个口诀进行记忆.
【典型例题】
类型一、角的相关概念
例1.已知是第三象限角,求角的终边所处的位置.
【答案】是第二或第四象限角
【解析】方法一：∵是第三象限角，即，
∴,
当时，,
∴是第二象限角，
当时，,
∴是第四象限角，
∴是第二或第四象限角.
方法二：

由图知: 的终边落在二，四象限.
【总结升华】（1）要熟练掌握象限角的表示方法．本题容易误认为是第二象限角，其错误原因为认为第三象限角的范围是．解决本题的关键就是为了凑出的整数倍，需要对整数进行分类．
（2）确定“分角”所在象限的方法：若是第k (1、2、3、4)象限的角，利用单位圆判断，()是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧n等份，并从x正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1、2、3、4，再循环，直到填满为止，则有标号k的区域就是角 ()终边所在的范围。如：k=3，如下图中标有号码3的区域就是终边所在位置．

y
x
1
2
3
4
1
2
3
4

举一反三：
【变式1】已知是第二象限角,求角的终边所处的位置.
【答案】是第一或第二或第四象限角
【解析】方法一：∵是第二象限角，即，
∴,
当时，,
∴是第一象限角，
当时，,
∴是第二象限角，
当时，,
∴是第四象限角，
∴是第一或第二或第四象限角.
方法二：
k=2，如下图中标有号码2的区域就是终边所在位置．

由图知：的终边落在一，二，四象限.

【变式2】已知弧长50cm的弧所对圆心角为200度，求这条弧所在的圆的半径（精确到1cm）.
【答案】29cm.
类型二、任意角的三角函数
例2. 若，则角在 象限.
【答案】第一或第三
【解析】
方法一：由知（1）或（2）
由（1）知在第一象限，由（2）知在第三象限，
所以在第一或第三象限.
方法二：由有，
所以,
即
当时，为第一象限，当时，为第三象限
故为第一或第三象限.
方法三：分别令，代入，
只有、满足条件，
所以为第一或第三象限.
【总结升华】角的象限和角的三角函数值符号可以相互判定，方法三只能用于选择题或填空题.
举一反三：
【变式1】确定的符号.
【答案】原式小于零
【解析】因为分别是第三、第四、第一象限的角，所以，，，
所以原式小于零.
【变式2】已知，，则是第 象限角.
【答案】二
【解析】∵，∴，，则是第二象限角.
【变式3】求的值.
【答案】当为第一象限角时，值为3；当为第二、三、四象限角时，值为-1.
例3.已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边为射线，则的值是（ ）

【答案】
【解析】在角的终边上任取一点，则有，
则原式，故选.
举一反三：
【变式】已知角的终边过点，求、、的值
【解析】
（1）当时，，∴，，；
（2）当时，，∴，，.
类型三、诱导公式
例4.已知，求的值.
【答案】
【解析】

.
举一反三：
【变式1】计算：
【答案】
【解析】原式.
【变式2】化简.
【答案】
【解析】原式.
类型四、同角三角函数的基本关系式
例5．已知，且．求、的值；
【答案】；
【解析】方法一：由可得：，
即，∴
∵，
∴、是方程的两根，
∴或
∵， ∴，
∴，，
∴
方法二：由可得：，
即，∴
∵，∴，∴，∴
由
∴
举一反三：
【变式】已知，求的值.
【答案】
【解析】由可得：；
于是，
∴．
例6．已知，求下列各式的值
（1） ；（2）
【答案】；
【解析】由得，
（1）原式；
（2）原式
举一反三：
【变式】已知，求值
（1） ；（2）
【答案】；
【解析】
（1）原式；
（2）原式

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