资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）
A. B.
C. D.
2．已知，则“”是“”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
3．三条直线l1：ax+by-1=0，l2：2x+（a+2）y+1=0，l3：bx-2y+1=0，若l1，l2都和l3垂直，则a+b等于（ ）
A. B.6
C.或6 D.0或4
4．二次函数中，，则函数的零点个数是
A.个 B.个
C.个 D.无法确定
5．已知，，，则，，大小关系为（）
A. B.
C. D.
6．已知，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7． “”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．在空间中，直线平行于直线，直线与为异面直线，若，则异面直线与所成角的大小为（）
A. B.
C. D.
9．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即的面积，其中分别为的内角的对边，若，且，则的面积的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
10．方程的解所在区间是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．已知函数，若a、b、c互不相等，且，则abc的取值范围是______
12．已知幂函数经过点，则______
13．已知函数和函数的图像相交于三点，则的面积为__________.
14．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积是___________.
15．边长为2的菱形中，，将沿折起，使得平面平面，则二面角的余弦值为__________
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知函数.
（1）利用“五点法”完成下面表格，并画出函数在区间上的图像.
（2）解不等式.
17．已知奇函数和偶函数满足
（1）求和的解析式；
（2）存在，，使得成立，求实数a的取值范围
18．（1）计算:（）0.5+（-3）-1÷0.75-2- ;
（2）设0<a<1，解关于x的不等式 .
19．已知函数
（1）判断在区间上的单调性，并用定义证明；
（2）求在区间上的值域
20．已知函数
（I）求函数图象的对称轴方程；
（II）求函数的最小正周期和值域.
21．若两个函数和对任意，都有，则称函数和在上是疏远的
（1）已知命题“函数和在上是疏远的”，试判断该命题的真假．若该命题为真命题，请予以证明；若为假命题，请举反例；
（2）若函数和在上是疏远的，求整数a的取值范围
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、D
【解析】根据题意，设，利用函数图象求得，得出函数解析式，再利用诱导公式判断选项即可.
【详解】由题意，设，
由图象知：，
所以，
所以，
因为点在图象上，
所以，
则，
解得，
所以函数，
即，
故选：D
2、A
【解析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果
【详解】a∈R，则“a＞1”⇒“”，
“”⇒“a＞1或a＜0”，
∴“a＞1”是“”的充分非必要条件
故选A
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法
定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件
等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法
集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件
3、C
【解析】根据相互垂直的两直线斜率之间的关系对b分类讨论即可得出
【详解】l1，l2都和l3垂直，①若b＝0，则a+2＝0，解得a＝﹣2，∴a+b＝﹣2
②若b≠0，则1，1，
联立解得a＝2，b＝4，∴a+b＝6
综上可得：a+b的值为﹣2或6
故选C
【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
4、C
【解析】计算得出的符号，由此可得出结论.
【详解】由已知条件可得，因此，函数的零点个数为.
故选：C.
5、C
【解析】由对数的性质，分别确定的大致范围，即可得出结果.
【详解】因为，所以，，所以，
，，所以.
故选：C.
6、A
【解析】先判断“”成立时，“”是否成立，反之，再看“”成立，能否推出“”，即可得答案.
【详解】“”成立时，，故“”成立，
即“”是“”的充分条件；
“”成立时，或，此时推不出“”成立，
故“”不是“”的必要条件，
故选：A.
7、A
【解析】利用或，结合充分条件与必要条件的定义可得结果.
详解】根据题意，由于或，
因此可以推出，反之，不成立，
因此“”是“”的充分而不必要条件，故选A.
【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
8、A
【解析】根据异面直线所成角的定义与范围可得结果.
【详解】因为且，故异面直线与所成角的大小为的补角，即为.
故选：A.
9、A
【解析】先根据求出关系，代入面积公式，利用二次函数的知识求解最值.
【详解】因为，所以，
即；
由正弦定理可得，所以
；
当时，取到最大值.
故选：A.
10、C
【解析】判断所给选项中的区间的两个端点的函数值的积的正负性即可选出正确答案.
【详解】∵,
∴,,，,∴,
∵函数的图象是连续的,
∴函数的零点所在的区间是.
故选C
【点睛】本题考查了根据零存在原理判断方程的解所在的区间,考查了数学运算能力.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】画出函数的图象，根据互不相等，且，我们令，我们易根据对数的运算性质，及c的取值范围得到abc的取值范围，即可求解
【详解】由函数函数，可得函数的图象，
如图所示：
若a，b，c互不相等，且，
令，则，，
故，
故答案为
【点睛】本题主要考查了对数函数图象与性质的综合应用，其中画出函数图象，利用图象的直观性，数形结合进行解答是解决此类问题的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题
12、##0.5
【解析】将点代入函数解得，再计算得到答案.
【详解】，故，.
故答案为：
13、
【解析】解出三点坐标，即可求得三角形面积.
【详解】由题：，
，所以，，
所以，
.
故答案为：
14、
【解析】计算出一个弓形的面积，由题意可知，勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成，利用弓形和正三角形的面积可求得结果.
【详解】由弧长公式可得，可得，
所以，由和线段所围成的弓形的面积为，
而勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成，
因此，该勒洛三角形的面积为.
故答案为：.
15、
【解析】作，则为中点
由题意得面
作，连
则为二面角的平面角
故，，
点睛：本题考查了由平面图形经过折叠得到立体图形，并计算二面角的余弦值，本题关键在于先找出二面角的平面角，依据定义先找出平面角，然后根据各长度，计算得结果
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）表格、图象见解析；
（2），.
【解析】（1）根据正弦函数的性质，在坐标系中描出上或的点坐标，再画出其图象即可.
（2）由正弦函数的性质得，，即可得解集.
【小问1详解】
由正弦函数的性质，上的五点如下表：
0
0
0
0
函数图象如下：
【小问2详解】
由，即，故，，
所以，，故不等式解集为，.
17、（1），
（2）
【解析】（1）利用奇偶性得到方程组，求解和的解析式；（2）在第一问的基础上，问题转化为在上有解，分类讨论，结合对勾函数单调性求解出的最值，进而求出实数a的取值范围.
【小问1详解】
因为奇函数和偶函数满足①，所以②；联立①②得：，；
【小问2详解】
变形为，因为，所以，所以，
当时，在上有解，符合要求；
令，由对勾函数可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，，要想上有解，只需，解得：，所以；
若且，在上单调递增，要想上有解，只需，解得：，所以；综上：实数a的取值范围为
18、（1）0；（2）{x|x>1}
【解析】（1）根据指数幂的运算性质，化简求值；
（2）利用指数函数的单调性，即可求解不等式.
【详解】（1）原式
（2）因为0<a<1，
所以y=ax在（-∞，+∞）上为减函数，
因为，
所以2x2-3x+2<2x2+2x-3，解得x>1.
故x的解集为{x|x>1}.
19、（1）在区间上单调递增，证明见解析
（2）
【解析】（1）利用定义法，设出，通过做差比较的大小，即可证明；
（2）根据第（1）问得到在区间上的单调性，在区间直接赋值即可求解值域.
【小问1详解】
在区间上单调递增，证明如下：
，且，有
因为，且，所以，
于是，即
故在区间上单调递增
【小问2详解】
由第（1）问结论可知，因为在区间上单调递增,
，
所以在区间上的值域为
20、（I）（II）周期为，值域为
【解析】（I）化简得，进而可求解
（II）化简，进而可求解
【详解】（I）因为，，
所以，由得，对称轴为
（II）因为，
所以，，
周期为，值域为
【点睛】方法点睛：需要利用三角公式“化一”，进一步研究正弦型函数的图象和性质，达到解题目的
21、（1）该命题为假命题，反例为:当时，.
（2）.
【解析】（1）利用“疏远函数”的定义直接判断即可，以或举例即可；（2）由函数的定义域可确定实数，构造函数，可证当时，恒成立，即函数和在上是疏远的
【小问1详解】
该命题为假命题，反例为:当时，.
【小问2详解】
由函数的定义域可知，故
记
∵在上单调递增，在上单调递减，
∴在上单调递增，
∴当时，，不满足；
当时，，不满足；
当时，，
∴当时，
故.
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