湖北省荆门市2023届高一上数学期末学业质量监测试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
每户每月用水量
水价
不超过12m3的部分
3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分
6元/m3
超过18m3的部分
9元/m3
若某户居民本月缴纳的水费为90元，则此户居民本月的用水量为（）
A.17 B.18
C.19 D.20
2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是
A.圆柱 B.圆锥
C.四面体 D.三棱柱
3．设，，那么等于
A. B.
C. D.
4．已知集合，或，则（）
A.或 B.
C. D.或
5．若，且，则的值是　　
A. B.
C. D.
6．设，，，则a、b、c的大小关系是　　
A. B.
C. D.
7．若函数的三个零点分别是，且，则（　　）
A. B.
C. D.
8．函数，则函数（）
A.在上是增函数 B.在上是减函数
C.在是增函数 D.在是减函数
9．已知函数则值域为（ ）
A. B.
C. D.
10．对于空间两不同的直线，两不同的平面，有下列推理：
（1）， （2），（3）
（4）， （5）
其中推理正确的序号为
A.（1）（3）（4） B.（2）（3）（5）
C.（4）（5） D.（2）（3）（4）（5）
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．已知命题“，” 是真命题，则实数的取值范围为__________
12．已知函数是定义在的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则实数的取值范围是__________
13．在内不等式的解集为__________
14．等于_______.
15．已知定义在上的偶函数，当时，，则________
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．在等腰梯形中，已知，，，，动点和分别在线段和上（含端点），且，且（、为常数），设，.

（Ⅰ）试用、表示和；
（Ⅱ）若，求的最小值.
17．已知函数（且）.
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）函数的定义域为，且满足如下条件：存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“二倍函数”.若函数是“二倍函数”，求实数的取值范围.
18．袋子里有6个大小、质地完全相同且带有不同编号的小球，其中有1个红球，2个白球，3个黑球，从中任取2个球.
（1）写出样本空间；
（2）求取出两球颜色不同的概率；
（3）求取出两个球中至多一个黑球的概率.
19．计算：
（1）
（2）
（3）
20．函数.
（1）求，；
（2）求函数在上的最大值与最小值.
21．已知函数
（1）证明：函数在区间上单调递增；
（2）已知，试比较三个数a，b，c的大小，并说明理由

参考答案

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、D
【解析】根据给定条件求出水费与水价的函数关系，再由给定函数值计算作答.
【详解】依题意，设此户居民月用水量为，月缴纳的水费为y元，
则，整理得：，
当时，，当时，，因此，由得：，解得，
所以此户居民本月的用水量为.
故选：D
2、A
【解析】因为圆柱的三视图有两个矩形，一个圆，正视图不可能是三角形，而圆锥、四面体（三棱锥）、三棱柱的正视图都有可能是三角形，所以选A.
考点：空间几何体的三视图.
3、B
【解析】由题意得
．选B
4、A
【解析】应用集合的并运算求即可.
【详解】由题设，或或.
故选：A
5、B
【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，即可得解
【详解】由题意，知，且，
所以，则，

故选B
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，其中解答中熟练应用同角三角函数的基本关系式，准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
6、D
【解析】根据指数函数与对数函数性质知，，，可比较大小，
【详解】解：，，；

故选D
【点睛】在比较幂或对数大小时，一般利用指数函数或对数函数的单调性，有时还需要借助中间值与中间值比较大小，如0,1等等
7、D
【解析】利用函数的零点列出方程，再结合，得出关于的不等式，解之可得选项
【详解】因为函数的三个零点分别是，且，
所以，，解得，
所以函数，
所以，又，所以，
故选：D
【点睛】关键点睛：本题考查函数的零点与方程的根的关系，关键在于准确地运用零点存在定理
8、C
【解析】根据基本函数单调性直接求解.
【详解】因为，
所以函数在是增函数，
故选：C
9、C
【解析】先求的范围，再求的值域.
【详解】令，则，则，
故选：C
10、C
【解析】因为时，可以在平面内，所以（1）不正确；因为时，可以在平面内，所以（2）不正确；因为时可以在平面内，所以（3）不正确；根据线面垂直的性质定理可得，（4）正确；根据线面平行的性质及线面垂直的性质可得（5）正确，推理正确的序号为（4）（5），故选C.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定与性质，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.

二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】此题实质上是二次不等式的恒成立问题，因为，函数的图象抛物线开口向上，所以只要判别式不大于0即可
【详解】解：因为命题“，”是真命题，
所以不等式在上恒成立
由函数的图象是一条开口向上的抛物线可知，
判别式即解得
所以实数的取值范围是
故答案为：
【点睛】本题主要考查全称命题或存在性命题的真假及应用，解题要注意的范围，如果，一定要注意数形结合；还应注意条件改为假命题，有时考虑它的否定是真命题，求出的范围．本题是一道基础题
12、
【解析】先利用偶函数的性质将不等式化简为，再利用函数在上的单调性即可转化为，然后求得的范围.
【详解】因为为R上偶函数，则，
所以，
所以，即，
因为为上的减函数，，所以，
解得，所以，的范围为.
【点睛】1.函数值不等式的求法：（1）利用函数的奇偶性、特殊点函数值等性质将函数值不等式转化为与大小比较的形式：；
（2）利用函数单调性将转化为自变量大小比较的形式，再求解不等式即可.
偶函数的性质：；奇函数性质：；
若在D上为增函数，对于任意，都有；
若在D上为减函数，对于任意，都有.
13、
【解析】利用余弦函数的性质即可得到结果.
【详解】∵，
∴，
根据余弦曲线可得，

∴.
故答案为：
14、
【解析】直接利用诱导公式即可求解.
【详解】由诱导公式得：
.
故答案为：.
15、6
【解析】利用函数是偶函数，，代入求值.
【详解】是偶函数，
.
故答案6
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求值，意在考查转化与变形，属于简单题型.

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）过点作，交于点，证明出，从而得出，然后利用向量加法的三角形法则可将和用、表示；
（Ⅱ）计算出、和的值，由得出，且有，然后利用向量数量积的运算律将表示为以为自变量的二次函数，利用二次函数的基本性质可求出的最小值.
【详解】（Ⅰ）如下图所示，过点作，交于点，

由于为等腰梯形，则，且，
，即，又，所以，四边形为平行四边形，
则，所以，为等边三角形，且，
，，
，
；
（Ⅱ），，，
由题意可知，，由得出，
所以，，
，
令，则函数在区间上单调递减，
所以，，因此，的最小值为.
【点睛】本题考查利用基底表示向量，同时也考查了平面向量数量积最值的计算，考查运算求解能力，属于中等题.
17、（1）
（2）
【解析】（1）由题意可知，对任意的，恒成立，利用参变量分离法结合指数函数的值域可求得实数的取值范围；
（2）分析可知在定义域内单调递增，由“二倍函数”的定义可知关于的二次方程有两个不等的正根，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：的定义域为，所以，恒成立，则恒成立，
，，因此，实数的取值范围为.
小问2详解】
解：当时，因为内层函数为增函数，外层函数为增函数，
故函数在定义域内单调递增，
当时，因为内层函数为减函数，外层函数为减函数，
故函数在定义域内单调递增，
若函数是“二倍函数”，
则需满足，即，
所以，、是关于的方程的两根，
设，则关于的方程有两个不等的正根，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.
18、（1）答案见解析；
（2）；
（3）.
【解析】（1）将1个红球记为个白球记为个黑球记为，进而列举出所有可能性，进而得到样本空间；
（2）由题意，有1红1白，1红1黑，1白1黑，共三大类情况，由（1），列举出所有可能性，进而求出概率；
（3）由题意，有1红1白，1红1黑，1白1黑，2白，共四大类情况，由（1），列举出所有可能性，进而求出概率
【小问1详解】
将1个红球记为个白球记为个黑球记为，则样本空间，共15个样本点.
【小问2详解】
记A事件为“取出两球颜色不同”，则两球颜色可能是1红1白，1红1黑，1白1黑，则包含11个样本点，所以.
【小问3详解】
记事件为“取出两个球至多有一个黑球”，则两球颜色可能是1红1白，1红1黑，1白1黑，2白，则包含12个样本点，所以.
19、（1）2 （2）2
（3）
【解析】（1）直接利用对数的运算法则计算得到答案.
（2）直接利用指数幂的运算法则计算得到答案.
（3）根据诱导公式化简计算得到答案.
【小问1详解】

【小问2详解】

【小问3详解】
.
20、（1），
（2），
【解析】（1）首先利用两角和的正弦公式及辅助角公式将函数化简，再代入求值即可；
（2）由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
【小问1详解】
解：因为
所以

即，所以，
【小问2详解】
解：由（1）可知，
∵，∴，
∴，∴，
∴，令，即时取到最大值，，令，即时取到最小值.
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据函数单调性的定义即可证明；
（2）先比较三个数的大小，再利用函数的单调性即可比较a，b，c的大小.
【小问1详解】
证明：函数，
任取，且，
则，
因为，且，
所以，，
所以，即，
所以函数在区间上单调递增；
【小问2详解】
解：由（1）可知函数在区间上单调递增，
因为，，，
所以，
所以，即.