10年川大高等代数及答案.doc

四川大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试题
一、为实数域上的阶实对称矩阵.解答下列各题，每小题满分10分.
1.证明：矩阵可逆，这里是阶单位阵.
证明：为实数域上的阶实对称矩阵，则可对角化
即存在可逆矩阵，使得，的特征值为（）

由，则，故可逆.

2.设函数：为：，.证明：不是零函数当且仅当存在使得
证明：充分性：
由存在使得，则不是零函数
必要性：
由为实数域上的阶实对称矩阵，则可正交对角化
令，的非零特征值为（）
即存在正交矩阵，使得
取，有

3.设是的特征多项式，设为的导数且.证明：是数量矩阵.
证明：为实数域上的阶实对称矩阵，则可对角化
即存在可逆矩阵，使得，的特征值为（）
①
的充分必要条件为 （） ②
由①、②，得，则，有，即是数量矩阵.
注：关于的充分必要条件为 （）的证明
证明：充分性：由，有
有，则
必要性：待定系数法，设
有
由及，有
比较、系数，有，有 （其中）
有，则
由包含了的全部不可约因式，则的不可约因式只能是和它的非零常数倍，故的形式为.

4.设的秩为，设，证明：包含的一个维数为的子空间. 是的子空间吗？说明你的理由.
证明：令，有
由方程的解一定是的解，有且 ①
的基础解系由个线性无关的向量构成，则 ②
由①、②，得包含的一个维数为的子空间
由，得，则是的子空间
5.进一步假设正定，而是一个负定的阶矩阵.证明：如果，那么必然有.
证明：把看作由列向量构成，即

由，得 （）即
由负定，得负定，又正定，得
那么关于的方程只有零解，则，即
二、设为数域上的阶方阵，它的秩为.解答下列各题，每小题满分10分.
1.设是阶单位阵.写出“存在可逆矩阵使得”的一个充分必要条件，并证明你的结论.
证明：存在可逆矩阵使得”的一个充分必要条件为
必要性：
由，则，又可逆，则
充分性：
由，则可通过有限次初等变换为
则有，其中为初等矩阵
取，由可逆，则可逆
故存在可逆矩阵使得
2.设是的一个基.令.求向量组的秩，并给出它的一个极大无关组.
解：令、构成的矩阵分别为、
由是的一个基，则，则可逆
由，则的秩为
在中取个线性无关的向量就构成了的一个极大无关组
3.设是满足的上的所有多项式组成的集合.证明：是上的无穷维线性空间；并且，如果的次数大于，那么是在上是可约的.
证明：令的特征多项式为，有
根据题意中的任意多项式含有因式
取（），由线性无关，又为大于的任意整数
故是上的无穷维线性空间
取且，总有（）
故是在上是可约的
4.设是的全部复特征值.证明：对任意非负整数，数属于.
证明：的特征多项式为
由是上的矩阵，有为上的多项式，则（）
由根与系数的关系
有、（）、……、
为对阵多项式，则可由表示，则

三、设是数域上的一个元线性方程组，其系数矩阵的秩.设为它的解集.
1.（5分）给出“是的子空间”的充分必要条件，并证明你的结论.
2.（10分）假设不是空集且不是的子空间。求的秩，并给出它的一个极大无关组.
1.证明：当时，为非齐次线性方程组
无解时，有
有解时，则有
当时，有唯一解，只含有一个元素，不能构成空间
当时，有无穷解
在中取两个不同的解、，有
故不能构成空间
当时，为齐次线性方程组
基础解系由个线性无关的向量构成
令这个线性无关的向量为
有
故是的子空间的充分必要条件为
2.解：由上题结论，是为非齐次线性方程组且有无穷解得情况
令方程的一个特解为，有
假设可由线性表出，即
则，带入方程有，矛盾
则不能由线性表出，即线性无关
故的秩为，为它的一个极大无关组

四.设，设是所有与可交换的实矩阵组成的集合.
1.（5分）证明：是实数域上的线性空间.
2.（10分）求和它的一个基.
1.证明：取，有
有、
、、 （）
则是实数域上的线性空间
2.解：令，，由，得方程组
，有，则对称矩阵
有，自由未知量有、、
取其余为，有
取其余为，有
取其余为，有，则
、、线性无关，故为的一个基，

五、（20分）设是维欧氏空间，其内积为.设向量组满足如下条件：如果非负实数使得，那么必有.证明：必然存在向量使得，.
证明：取得一个标准正交基
取，有
再取 （）

当时，有
有题设，则为任意实数，矛盾
故，又，则

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