数列单元测试卷含答案.doc

数列单元测试卷
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填涂在答卷相应位置.
第Ⅰ卷(选择题)
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式an等于(　　)
A．2n　　　B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋1

2．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　)
A．1，，，，…
B．－1,2，－3,4，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，，，…，

3．．记等差数列的前n项和为Sn，若a1=1/2，S4＝20，则该数列的公差d＝________.(　　)
A．2 B.3 C．6 D．7

4．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101 的值为(　　)
A．49 B.50 C．51 D．52

5．等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是(　　)
A．90 B.100 C．145 D．190

6．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝(　　)
A．1 B.2 C．4 D．8

7．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　　)
A．无实根 B.有两个相等实根
C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根

8．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，又数列是等差数列，则a11等于(　　)
A．0 B. C. D．－1

9．等比数列{an}的通项为an＝2·3n－1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{bn}，那么162是新数列{bn}的(　　)
A．第5项 B.第12项 C．第13项 D．第6项

10．设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则

A．1 033 B.1 034 C．2 057 D．2 058

11.设为等差数列的前项和，且．记，其中表示不超过的最大整数，如，.则b11的值为（ ）
A.11 B.1 C. 约等于1 D.2

12．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如下图所示：

则第七个三角形数是(　　)
A．27 B.28 C．29 D．30

第II卷(非选择题)
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，则前8项的和S8＝________(用数字作答)．

14．数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)，则a5＝________.

15．已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2.则{an}的通项公式an=________

16．在等差数列{an}中，其前n项的和为Sn，且S6＜S7，S7＞S8，有下列四个命题：
①此数列的公差d＜0；
②S9一定小于S6；
③a7是各项中最大的一项；
④S7一定是Sn中的最大项．
其中正确的命题是________．(填入所有正确命题的序号)

三.解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(12分) (1) (全国卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,求Sn
(2) 已知{bn}是各项都是正数的等比数列，若b1＝1，且b2，b3,2b1成等差数列，求数列{bn}的通项公式．

18．(12分)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16，
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.

19. (12分)已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8.
(1)求等差数列{an}的通项公式;
(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前10项和.

20．(12分)数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，若an＋Sn＝n，cn＝an－1.
(1)求证：数列{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．

21．（12分）（全国卷）设数列满足+3+…+（2n-1） =2n，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列 的前n项和.

22．(12分)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．
(1)证明：数列{}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式an；
(3)设bn＝n(n＋1)an，求数列{bn}的前n项和Sn.

数列单元测试卷（解答）
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)
1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式an等于(　　)
A．2n　　　　　B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋1
解析：选B　由于3＝2＋1,5＝22＋1,9＝23＋1，…，所以通项公式是an＝2n＋1，故选B.

2．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　)
A．1，，，，…
B．－1,2，－3,4，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，，，…，
解析：选C　A为递减数列，B为摆动数列，D为有穷数列．

3．记等差数列的前n项和为Sn，若a1=1/2，S4＝20，则该数列的公差d＝________.(　　)
A．2 B.3 C．6 D．7
解析：选B　S4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16，
∴a3＋a4－S2＝(a3－a1)＋(a4－a2)＝4d＝16－4＝12，
∴d＝3.

4．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101 的值为(　　)
A．49 B.50 C．51 D．52
解析：选D　∵2an＋1－2an＝1，
∴an＋1－an＝，
∴数列{an}是首项a1＝2，公差d＝的等差数列，
∴a101＝2＋(101－1)＝52.

5．等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是(　　)
A．90 B.100 C．145 D．190
解析：选B　设公差为d，
∴(1＋d)2＝1×(1＋4d)，
∵d≠0,
∴d＝2，从而S10＝100.

6．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝(　　)
A．1 B.2 C．4 D．8
解析：选A　因为a3a11＝a，又数列{an}的各项都是正数，所以解得a7＝4，由a7＝a5·22＝4a5，求得a5＝1.

7．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　　)
A．无实根 B.有两个相等实根
C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根
解析：选A　由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，即3a5＝9，
∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，无实数解．

8．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，又数列是等差数列，则a11等于(　　)
A．0 B. C. D．－1
解析：选B　设数列{bn}的通项bn＝，因{bn}为等差数列，b3＝＝，b7＝＝，公差d＝＝，
∴b11＝b3＋(11－3)d＝＋8×＝，
即得1＋a11＝，a11＝.

9．等比数列{an}的通项为an＝2·3n－1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{bn}，那么162是新数列{bn}的(　　)
A．第5项 B.第12项 C．第13项 D．第6项
解析：选C　162是数列{an}的第5项，则它是新数列{bn}的第5＋(5－1)×2＝13项．

10．设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则

A．1 033 B.1 034 C．2 057 D．2 058
解析：选A　由已知可得an＝n＋1，bn＝2n－1，
于是abn＝bn＋1，
因此

(b1＋1)＋(b2＋1)＋…＋(b10＋1)＝b1＋b2＋…＋b10＋10＝20＋21＋…＋29＋10
＝＋10＝1 033.

11.设为等差数列的前项和，且．记，其中表示不超过的最大整数，如，.则b11的值为（ ）
A.11 B.1 C. 约等于1 D.2
解析：设的公差为，据已知有1×，
解得
所以的通项公式为
b11=[lg11 ]=1

12．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如下图所示：

则第七个三角形数是(　　)
A．27 B.28 C．29 D．30
解析：选B　法一：∵a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，a5＝15，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，
∴a6－a5＝6，a6＝21，a7－a6＝7，a7＝28.
法二：由图可知第n个三角形数为，
∴a7＝＝28.

二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，则前8项的和S8＝________(用数字作答)．
解析：由a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)知{an}是以1为首项，以2为公比的等比数列，由通项公式及前n项和公式知S8＝＝＝255.
答案： 255

14．数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)，则a5＝________.
解析：由an＝an－1＋n(n≥2)，得an－an－1＝n.则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，
a5－a4＝5，把各式相加，得a5－a1＝2＋3＋4＋5＝14，
∴a5＝14＋a1＝14＋1＝15.
答案：15

15．已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2.
则{an}的通项公式an=________
[解]　∵Sn＝－2n2＋n＋2，
当n≥2时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2
＝－2n2＋5n－1，
∴an＝Sn－Sn－1
＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)
＝－4n＋3.
又a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，
∴数列{an}的通项公式是
an＝

16．在等差数列{an}中，其前n项的和为Sn，且S6＜S7，S7＞S8，有下列四个命题：
①此数列的公差d＜0；
②S9一定小于S6；
③a7是各项中最大的一项；
④S7一定是Sn中的最大项．
其中正确的命题是________．(填入所有正确命题的序号)
解析：∵S7＞S6，即S6＜S6＋a7，
∴a7＞0.同理可知a8＜0.
∴d＝a8－a7＜0.
又∵S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8＜0，
∴S9＜S6.
∵数列{an}为递减数列，且a7＞0，a8＜0，
∴可知S7为Sn中的最大项．
答案：①②④

三、解答题(共4小题，共50分)
17．(12分) (1) (全国卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,求Sn
(2) 已知{bn}是各项都是正数的等比数列，若b1＝1，且b2，b3,2b1成等差数列，求数列{bn}的通项公式．
解: (1)设等差数列首项为a1,公差为d,
则a4+a5=2a1+7d=24,①
S6=6a1+d=6a1+15d=48,②
由①②得d=4.a1=-2
SN=-2n+n(n-1) ×4/2=2n2-4n

(2)由题意可设公比为q，则q＞0，
由b1＝1，且b2，b3,2b1成等差数列得b3＝b2＋2b1，
∴q2＝2＋q，
解得q＝2或q＝－1(舍去)，
故数列{bn}的通项公式为bn＝1×2n－1＝2n－1.

18．(12分)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16，
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
解：(1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，
∴an＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，
则b3＝8，b5＝32.
设{bn}的公差为d，
则有
解得
从bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，
所以数列{bn}的前n项和
Sn＝＝6n2－22n.

19. (12分)已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8.
(1)求等差数列{an}的通项公式;
(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前10项和.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
则a2=a1+d,a3=a1+2d,
由题意得
解得或
所以由等差数列通项公式可得
an=2-3(n-1)=-3n+5,或an=-4+3(n-1)=3n-7.
故an=-3n+5,或an=3n-7.
(2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;
当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.
故|an|=|3n-7|=
记数列{|an|}的前n项和为Sn.
S10=|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+……+|a10|
=4+1+(3×3-7)+(3×4-7)+……+(3×10-7)
=5+[2×8+8×7×3/2]
=105

20．(12分)数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，若an＋Sn＝n，cn＝an－1.
(1)求证：数列{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
解：(1)证明：∵a1＝S1，an＋Sn＝n①，
∴a1＋S1＝1，得a1＝.
又an＋1＋Sn＋1＝n＋1②，
①②两式相减得2(an＋1－1)＝an－1，
即＝，也即＝，
故数列{cn}是等比数列．
(2)∵c1＝a1－1＝－，
∴cn＝－，an＝cn＋1＝1－，
an－1＝1－.
故当n≥2时，bn＝an－an－1＝－＝.
又b1＝a1＝，
所以bn＝.

21．（12分）（全国卷）设数列满足+3+…+（2n-1） =2n，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列 的前n项和.
解:（1）因为+3+…+（2n-1） =2n，故当n≥2时，
+3+…+（-3） =2（n-1）
两式相减得（2n-1）=2所以= (n≥2)
又因题设可得 =2.从而{} 的通项公式为 =.
（2）记 {}的前n项和为 ，
由（1）知 = = - .
则 = - + - +…+ - = .

22．(12分)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．
(1)证明：数列{}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式an；
(3)设bn＝n(n＋1)an，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)证明：由已知可得＝，
即＝＋1，即－＝1.
∴数列{}是公差为1的等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)×1＝n＋1，
∴an＝.
(3)由(2)知bn＝n·2n.
Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，
相减得
－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1
＝－n·2n＋1
＝2n＋1－2－n·2n＋1，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.