资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．已知函数，则的值为
A. B.
C. D.
2．下列函数中，在区间上是减函数的是（）
A. B.
C. D.
3．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（）
A. B.
C. D.
4．函数f（x）=
A.（-2,-1） B.（-1,0）
C.（0,1） D.（1,2）
5．已知，则的值为（）
A.－4 B.4
C.－8 D.8
6．函数的图象的一个对称中心为（ ）
A. B.
C. D.
7．已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（）
A.1 B.-1
C. D.
8．已知函数（，且）的图象恒过点P，若角的终边经过点P，则（ ）
A. B.
C. D.
9．如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是（）
A.8 B.16
C.32 D.64
10．函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则函数的所有零点之和是（）
A.2 B.4
C.6 D.8
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．函数的定义域为______.
12．在中，，BC边上的高等于,则______________
13．在空间直角坐标系中，点和之间的距离为____________.
14．两条平行直线与的距离是__________
15．不等式的解集是___________.（用区间表示）
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．某工厂某种航空产品的年固定成本为万元，每生产件，需另投入成本为，当年产量不足件时，（万元）.当年产量不小于件时，（万元）.每件商品售价为万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式；
（2）年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
17．对于定义在上的函数，如果存在实数，使得，那么称是函数的一个不动点．已知
（1）当时，求的不动点；
（2）若函数有两个不动点，，且
①求实数的取值范围；
②设，求证在上至少有两个不动点
18．已知定义域为的函数是奇函数
（1）求的值;
（2）判断的单调性，并用定义证明;
（3）若对任意的，恒成立，求的取值范围
19．已知p：A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：B＝{x|x2－2mx＋m2－9≤0，x∈R，m∈R}
（1）若A∩B＝{x|1≤x≤3，x∈R}，求实数m值；
（2）若﹁q是p的必要条件，求实数m的取值范围
20．已知函数，，设
（1）求的值；
（2）是否存在这样的负实数k，使对一切恒成立，若存在，试求出k取值集合；若不存在，说明理由.
21．已知函数.
（1）若是定义在R上的偶函数，求a的值及的值域；
（2）若在区间上是减函数，求a的取值范围.
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、C
【解析】由，故选C
2、D
【解析】根据二次函数，幂函数，指数函数，一次函数的单调性即可得出答案.
【详解】解：对于A，函数在区间上是增函数，故A不符合题意；
对于B，函数在区间上是增函数，故B不符合题意；
对于C，函数在区间上是增函数，故C不符合题意；
对于D，函数在区间上是减函数，故D符合题意.
故选：D.
3、C
【解析】根据题中条件，得到圆的半径，进而可得圆的方程.
【详解】以点为圆心且与轴相切的圆的半径为，
故圆的标准方程是.
故选：C.
4、C
【解析】
，所以零点在区间（0，1）上
考点：零点存在性定理
5、C
【解析】由已知条件，结合同角正余弦的三角关系可得，再将目标式由切化弦即可求值.
【详解】由题意知：，即，
∴，而.
故选：C.
【点睛】本题考查了同角三角函数关系，应用了以及切弦互化求值，属于基础题.
6、C
【解析】根据正切函数的对称中心为，可求得函数y图象的一个对称中心
【详解】由题意，令，，解得，，
当时，，所以函数的图象的一个对称中心为
故选C
【点睛】本题主要考查了正切函数的图象与性质的应用问题，其中解答中熟记正切函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
7、D
【解析】利用三角函数的坐标定义求出，即得解.
【详解】由题得.
所以.
故选：D
【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8、A
【解析】由题可得点，再利用三角函数的定义即求.
【详解】令，则，
所以函数（，且）的图象恒过点，
又角的终边经过点，
所以，
故选：A.
9、C
【解析】由斜二测画法知识得原图形底和高
【详解】原图形中，，边上的高为，故面积为32
故选：C
10、B
【解析】根据题意可知图象关于点中心对称，由的解析式求出时的零点，根据对称性即可求出时的零点，即可求解.
【详解】因为为奇函数，所以函数的图象关于点中心对称，
将的图象向右平移个单位可得的图象，
所以图象关于点中心对称，
当时，，
令解得：或，
因为函数图象关于点中心对称，
则当时，有两解，为或，
所以函数的所有零点之和是，
故选：B
第II卷（非选择题
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、且
【解析】由根式函数和分式函数的定义域求解.
【详解】由，解得且，
所以函数的定义域为且
故答案为：且
12、.
【解析】设边上的高为，则，求出，．再利用余弦定理求出.
【详解】设边上的高为，则，
所以，
由余弦定理，知
故答案为
【点睛】本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
13、
【解析】利用空间两点间的距离公式求解.
【详解】由空间直角坐标系中两点间距离公式可得.
故答案为：
14、
【解析】直线与平行，，得，直线，化为，两平行线距离为，故答案为.
15、
【解析】根据一元二次不等式解法求不等式解集.
【详解】由题设，，即，
所以不等式解集为.
故答案为：
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）；（2）年产量为件时，利润最大为万元.
【解析】（1）实际应用题首先要根据题意，建立数学模型，即建立函数关系式，这里，要用分类讨论的思想，建立分段函数表达式；（2）根据建立的函数关系解模，即运用数学知识求函数的最值，这里第一段，运用的是二次函数求最值，而第二段，则可运用基本不等式求最值，然后再作比较，确定最终的结果，最后要回到实际问题作答.
试题解析：解：（1）当时，；
当时，，
所以.
（2）当时，
此时，当时，取得最大值万元.
当时，
此时，当时，即时，取得最大值万元，
所以年产量为件时，利润最大为万元.
考点：函数、不等式的实际应用.
17、（1）的不动点为和；（2）①，②证明见解析.
【解析】（1）当时，函数，令，即可求解；
（2）①由题意，得到的两个实数根为，，设，根据二次函数的图象与性质，列出不等式即可求解；②把可化为，设的两个实数根为，，根据是方程的实数根，得出，结合函数单调性，即可求解.
【详解】（1）当时，函数，
方程可化为，解得或，
所以的不动点为和
（2）①因为函数有两个不动点，，
所以方程，即的两个实数根为，，
记，则的零点为和，
因为，所以，即，解得.
所以实数的取值范围为
②因为
方程可化为，即
因为，，所以有两个不相等的实数根
设的两个实数根为，，不妨设
因为函数图象的对称轴为直线，
且，，，所以
记，
因为，且，所以是方程的实数根，
所以1是的一个不动点，
，
因为，所以，，
且的图象在上的图象是不间断曲线，所以，使得，
又因为在上单调递增，所以，所以是的一个不动点，
综上，在上至少有两个不动点
【点睛】利用函数的图象求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：
1、利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数与轴的交点的横坐标，方程的根据就是函数和图象的交点的横坐标；
2、利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
18、（1）（2）减函数（3）
【解析】（1）利用奇函数定义，在f（-x）=-f（x）中的运用特殊值求a，b的值；（2）根据函数单调性的定义进行证明即可；（3）结合函数的单调性和奇偶性把不等式转化为关于t的恒成立问题，最后变量分离求出k的取值范围
解析：（1）法1：是R上的奇函数，
即
经检验符合题意，
法2：是R上的奇函数，
（2）
在R上是减函数，证明如下：
任取，且，
在R上是减函数
（3）
是R上的奇函数，有
在R上是减函数，得当时，
19、（1）m＝4；（2）m＞6或m＜－4
【解析】（1）分别求得集合A、B，根据交集的结果，列出方程，即可得答案.
（2）根据题意可得p是﹁q的充分条件，可得，先求得，根据包含关系，列出不等式，即可得答案.
【详解】解：（1）由题意得：A＝{x|－1≤x≤3，x∈R}，B＝{x|m－3≤x≤m＋3，x∈R，m∈R}，
∵A∩B＝{x|1≤x≤3，x∈R}，
∴，解得m＝4
（2）∵﹁q是p的必要条件，
∴p是﹁q的充分条件，∴，
又，
∴或，
解得m＞6或m＜－4
20、（1）；
（2）存在，.
【解析】（1）由题可得，代入即得；
（2）由题可得函数，，为奇函数且在上单调递减，构造函数，则可得恒成立，进而可得，对恒成立，即求.
【小问1详解】
∵函数，，
∴，
∴
.
【小问2详解】
∵，
由，得，
又在上单调递减，在其定义域上单调递增，
∴在上单调递减，
又，
∴为奇函数且单调递减；
∵，又函数在R上单调递增，
∴函数在R上单调递减，
又，
∴函数为奇函数且单调递减；
令，则函数在上单调递减，且为奇函数，
由，可得，
即恒成立，
∴，即，对恒成立，
故，即，
故存在负实数k，使对一切恒成立，k取值集合为.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造奇函数，从而问题转化为，对恒成立，参变分离后即求.
21、（1），；（2）
【解析】（1）根据偶函数的定义，求出，得，验证定义域是否关于原点对称，求出真数的范围，再由对数函数的单调性，即可求出值域；
（2），由条件可得，在上是减函数，且在上恒成立，根据二次函数的单调性，得出参数的不等式，即可求解.
【详解】解：（1）因为是定义在R上的偶函数，所以，
所以，故，
此时，，定义域为R，符合题意.
令，则，
所以，故的值域为.
（2）设.
因为在上是减函数，
所以在上是减函数，
且在上恒成立，
故
解得，即.
【点睛】本题考查函数的性质，涉及到函数的奇偶性、单调性、值域，研究函数的性质要注意定义域，属于中档题.
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