江苏省泰兴市实验初中2022年高一数学第一学期期末联考模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设函数，其中，，，都是非零常数，且满足，则（）
A. B.
C. D.
2．设，则函数的零点所在的区间为（ ）
A. B.
C. D.
3．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（ ）
A. B.
C. D.
4．在下列给出的函数中，以为周期且在区间内是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
5．若两平行直线与之间的距离是，则
A.0 B.1
C.-2 D.-1
6．已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A.13 B.14
C.15 D.16
7．命题“”的否定是：（）
A. B.
C. D.
8．当时，若，则的值为
A. B.
C. D.
9．形如的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数有最小值，则“囧函数”与函数的图像交点个数为（）
A.1 B.2
C.4 D.6
10．已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知角的终边经过点，则________.
12．函数最大值为__________
13．已知函数满足，若函数与图像的交点为，，，，，则__________
14．已知函数若，则实数___________.
15．已知函数，则的值为_________.
16．已知是定义在正整数集上的严格减函数，它的值域是整数集的一个子集，并且，，则的值为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知是第二象限，且，计算：
（1）；
（2）
18．在三棱锥中，和是边长为等边三角形，，分别是的中点.

（1）求证：平面；
（2）求证:平面；
（3）求三棱锥的体积.
19．已知函数是指数函数
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范围
20．已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围；
（3）设函数，若函数与的图像只有一个公共点，求实数的取值范围.
21．已知函数为奇函数.
（1）求的值；
（2）探究在上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】代入后根据诱导公式即可求出答案
【详解】解：由题，
∴，
∴，
故选：C
【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题
2、B
【解析】根据的单调性，结合零点存在性定理，即可得出结论.
【详解】在单调递增，
且，
根据零点存在性定理，
得存在唯一的零点在区间上.
故选：B
【点睛】本题考查判断函数零点所在区间，结合零点存在性定理的应用，属于基础题.
3、C
【解析】利用对数的运算性质求出，由此可得答案.
【详解】
,
所以.
故选：C
4、B
【解析】的最小正周期为，故A错；的最小正周期为，当时，，所以在上为减函数，故B对；的最小正周期为，当时，，所以在上为增函数，故C错；的最小正周期为，，所以在不单调.综上，选B.
5、C
【解析】∵l1∥l2，∴n=-4，l2方程可化为为x+2y－3=0.又由d=，
解得m=2或－8（舍去），∴m+n=-2.
点睛：两平行线间距离公式是对两平行线方程分别为，，则距离为，要注意两直线方程中的系数要分别相等，否则不好应用此公式求距离
6、D
【解析】用分离参数法转化为恒成立，只需，
再利用基本不等式求出的最小值即可.
【详解】因为，所以，
所以恒成立，只需
因为，
所以，
当且仅当时，即时取等号.
所以.
即的最大值为16.
故选：D
7、A
【解析】由特称命题的否定是全称命题，可得出答案.
【详解】根据特称命题的否定是全称命题，可知命题“”的否定是“”.
故选：A.
8、A
【解析】分析：首先根据题中所给的角的范围，求得相应的角的范围，结合题中所给的角的三角函数值，结合角的范围，利用同角三角函数的平方关系式，求得相应的三角函数值，之后应用诱导公式和同角三角函数商关系，求得结果.
详解：因为，所以，
所以，因为，
所以，
所以，所以
，所以答案是，故选A.
点睛：该题考查的是有关三角恒等变换问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式中的平方关系和商关系，以及诱导公式求得结果.
9、C
【解析】令，根据函数有最小值，可得，由此可画出“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象，由图象分析可得结果.
【详解】令，则函数有最小值
∵，
∴当函数是增函数时，在上有最小值，
∴当函数是减函数时，在上无最小值，
∴.此时“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象如图所示，

由图象可知，它们的图象的交点个数为4.
【点睛】本题考查对数函数的性质和函数图象的应用，考查学生画图能力和数形结合的思想运用，属中档题.
10、A
【解析】由得
画出函数的图象如图所示，且当时，函数的图象以为渐近线

结合图象可得当的图象与直线有三个不同的交点，故若方程有三个不同的实数根，实数的取值范围是．选A
点睛：
已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决，如在本题中，方程根的个数，即为直线与图象的公共点的个数；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据终边上的点，结合即可求函数值.
【详解】由题意知：角在第一象限，且终边过，
∴.
故答案为：.
12、3
【解析】分析:利用复合函数的性质求已知函数的最大值.
详解：由题得当=1时，函数取最大值2×1+1=3.故答案为3.
点睛：本题主要考查正弦型函数的最大值，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.
13、4
【解析】函数f（x）（x∈R）满足，
∴f（x）的图象关于点（1，0）对称，
而函数的图象也关于点（1，0）对称，
∴函数与图像的交点也关于点（1，0）对称，
∴，
∴
故答案为：4
点睛：本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.本题要充分注意到两个函数的共性：关于同一点中心对称.
14、2
【解析】先计算，再计算即得解.
【详解】解：，所以.
故答案为：2
15、
【解析】，填.
16、
【解析】利用严格单调减函数定义求得值，然后在由区间上整数个数，可确定的值
【详解】，根据题意，，又，，
所以，即，，
在上只有13个整数，因此可得，
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）首先根据诱导公式化简，再上下同时除以 后，转化为正切表示的式子，求值；（2）首先利用诱导公式化简，再转化为齐次分式形式，转化为正切求值.
【详解】（1）原式，上下同时除以后，
得；
（2）原式，
上下同时除以后，
得
18、（1）见解析（2）见解析（3）.
【解析】由三角形中位线定理，得出，结合线面平行的判定定理，可得平面PAC；等腰和等腰中，证出，而，由勾股定理的逆定理，得，结合，可得平面ABC；由易知PO是三棱锥的高，算出等腰的面积，再结合锥体体积公式，可得三棱锥的体积
【详解】
，D分别为AB，PB的中点，
又平面PAC，平面PAC
平面
如图，连接OC
，O为AB中点，，
，且
同理，，
又，
，得

、平面ABC，，
平面
平面ABC，D为PB的中点，
结合，得棱锥的高为，
体积为
【点睛】本题给出特殊三棱锥，求证线面平行、线面垂直并求锥体体积，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题
19、（1）
（2）
【解析】（1）由指数函数定义可直接构造方程组求得，进而得到所求解析式；
（2）将不等式化为，根据对数函数单调性和定义域要求可构造不等式组求得结果.
【小问1详解】
为指数函数，
，解得：，
.
【小问2详解】
由（1）知：，
，解得：，
的取值范围为.
20、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）函数是偶函数, 所以得出值检验即可；
（2），因为时，存在零点，即关于的方程有解，求出的值域即可；
（3）因为函数与的图像只有一个公共点，所以关于的方程有且只有一个解，所以，换元，研究二次函数图象及性质即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为是上偶函数，
所以，即
解得，
此时，
则是偶函数，满足题意，
所以.
【小问2详解】
解：因为，所以
因为时，存在零点，
即关于的方程有解，
令，则
因为，所以，所以，
所以，实数的取值范围是.
【小问3详解】
因为函数与的图像只有一个公共点，
所以关于的方程有且只有一个解，
所以
令，得…（*），
记，
①当时，函数图像开口向上，又因为图像恒过点，方程（*）有一正一负两实根，所以符合题意；
②当时，因为，所以只需，
解得，
方程（*）有两个相等的正实根，所以满足题意，
综上，的取值范围是.
21、（1）；（2）在上为增函数，证明见解析.
【解析】（1）由可求得的值；
（2）任取，可证明，则，从而可得结论.
【详解】（1）由于是定义在上的奇函数，
故，解得.
经检验，是奇函数；
（2）是上的增函数，证明如下：
任取，
，
由于，所以，，
所以，即，
所以在上为增函数
【点睛】本题主要考查根据奇偶性求参数，考查了函数单调性的判断与证明，同时考查了计算能力，属于中档题.