函授本科数学专业(参考标准答案).doc

专业名称

数学

年级、班级

2010级

学 号

姓 名

函授本科数学专业
《泛函分析》考试试题A卷（120分钟）
题 号
一
二
三
四
五
合分
题 分
20
20
20
20
20

得 分

复查人

得 分
评卷人

一、单项选择题（3分×5=15分）
1、下列各式正确的是（ C ）
（A）; （B）;
（C）; （D）;
2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ D ）
（A） c (B) (C) (D)
3、下列说法不正确的是（ B ）
(A) 凡外侧度为零的集合都可测 （B）可测集的任何子集都可测
(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测
4、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( A )
（A）若, 则 (B) 是可测函数
（C）是可测函数;（D）若,则可测
5、设f(x)是上有界变差函数，则下面不成立的是（ D ）
(A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数
（C）在上L可积 (D)
得 分
评卷人

二. 填空题(3分×5=15分)
1、( φ )
2、设是上有理点全体，则=（[0，1]）,=（φ）,= （[0，1]）.
3、设是中点集，如果对任一点集都有（），则称是可测的。
4、可测的（充要）条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.
（填“充分”，“必要”，“充要”）
5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使（成一有界数集。）,则称为 上的有界变差函数。
得 分
评卷人

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,
则举反例说明.(5分×4=20分)
1、设，若E是稠密集，则是无处稠密集。
错误……………………………………………………2分
例如：设是上有理点全体，则和都在中稠密
………………………..5分
2、若，则一定是可数集.
错误…………………………………………………………2分
例如：设是集，则，但c ， 故其为不可数集
……………………….5分
3、若是可测函数，则必是可测函数。
错误…………………………………………………………2分
例如：设是上的不可测集，
则是上的可测函数，但不是上的可测函数………………………………………………………………..5分
4．设在可测集上可积分，若，则
错误…………………………………………………………2分
…5分
四、解答题（8分×2=16分）.
1、（8分）设 ，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。
解：1．在上不是可积的，因为仅在处连续，即不连续点为正测度集………………………………………..3分
因为是有界可测函数，在上是可积的…6分
因为与相等，进一步，…8分
考 生 答 题 不 得 超 过 此 线

2、（8分）求
解：设，则易知当时，
…………………………..2分
又因，()，所以当时，
………………4分
从而使得…………………………………6分
但是不等式右边的函数，在上是可积的，故有
…………………………………8分

五、证明题（6分×4+10=34分）.
1、（6分）证明上的全体无理数作成的集其势为.
证明：设
…………………………2分
……………………………….3分
…………..5分
………………………………………………6分
2、（6分）设是上的实值连续函数，则对于任意常数是闭集。
证明：……….2分
………………………………………….3分

…………………………………………………………5分
…………………………………………………….6分
考 生 答 题 不 得 超 过 此 线
3、（6分）在上的任一有界变差函数都可以表示为两个增函数之差。
证明：对，，使对任意互不相交的有限个
当时，有………………2分
将等分，使，对，有，所以在上是有界变差函数……………………………….5分
所以从而，因此，是上的有界变差函数…………………………………………………………..6分
4、（6分）设在上可积，，则.
证明：在上可积……2分
据积分的绝对连续性，，有………………………………………………….4分
对上述，从而，即…………………6分
得 分

阅卷人

复查人

5、（10分）设是上有限的函数，若对任意，存在闭子集，使在上连续，且，证明：是上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)
证明：存在闭集在连续………………………………………………………………2分
令，则在连续…………………………………………………………4分
又对任意,
…………………………………………….6分
故在连续…………………………..8分
又所以是上的可测函数，从而是上的
可测函数………………………………………………………..10分

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