任意角的三角函数典型例题解析(1).doc

(word完整版)任意角的三角函数典型例题解析(1)任意角的三角函数典型例题解析(1）例1已知角的终边与函数y=x的图象重合，求的六个三角函数值.【解】如上图，函数y=x的图象是过原点和一、三象限的直线，因此的终边在第一或第三象限.当终边在第一象限时,在终边上取点P（2，3）.则r=，于是sin=,cos=tan=，cot=,sec=,csc=当终边在第三象限时，在终边上取点P（2,3).则r= 于是sin=cos=tan=,cot=,sec=,csc=【点评】 由本例可以看出，当两个角的终边反向共线时，它们的六种三角函数值的绝对值对应相等,仅仅在符号上有所不同.例2已知cosm（m1）,求sin、tan的值。【解】 当m0时,角的终边落在y轴上若的终边在y轴的非负半轴上,则sin1，tan不存在；若的终边在y轴的非正半轴上,则sin1，tan不存在;当m1时，角的终边落在x轴上，则sin0，tan0当m1且m0时若在第一或第二象限时sintan若在第三或第四象限时sintan【点评】 已知一个角的一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值的方法必须牢固掌握，并注意确定角的范围，以便确定三角函数值的符号，需要对角的范围进行讨论时，不要遗漏终边在坐标轴上的情况。例3已知tan2，求下列各式的值。（1）sin2sincos2(2）【解】 （1)sin2sincos2(2） 【点评】 若先通过tan2，求出sin、cos,再代入求值，需要讨论，运算也较为复杂.对于已知tan的值，求关于sin、cos的三角函数式的值的问题，若该三角函数式可化为关于sin和cos的相同次数时，都可以“齐次化切转化为关于tan的三角函数式进行求值。例4已知sincos,求下列各式的值。（1）sin4cos4（2）tan【解】 (1）由sincos,得12sincos2sincossin4cos4（sin2cos2)22sin2cos21(2sincos）21（）2(2)由（1）知sincos0，为第一或第三象限角而（sincos)212sincos1若在第一象限，则sincos与sincos联立求得sincos tan若在第三象限，则sincos与sincos联立求得 tan【点评】 通过平方关系可以用sincos或sincos表示sincos以便达到换元的目的。例5求证：【证法一】 左边=sec+tan=右边故原式成立.【证法二】 右边= =右边.故原式成立.【证法三】 左边=tan+sec=右边。故原式成立.【点评】 证明三角函数恒等式的方法较多,但本例三种证法较常用，且此三种证法的思想方法是一致的,即都是寻求等式两边的三大差异（角度、名称、结构），确定三角公式的选择与应用,通过消除两边差异，达到形式上的统一而完成证明.例6设函数f(x）=asin(x+）+bcos（x+）+4（其中a、b、为非零实数)，若f（1999)=5，求f（2000)的值。【解】 f（1999）=asin（1999+)+bcos（1999+）+4=asin（+）+bcos（+)+4=asinbcos+4f（2000)=asin（2000+）+bcos（2000+)+4=asin+bcos+4f(1999）+f(2000）=8,又f（1999）=5，f（2000）=3【点评】 本题虽然是两个式了相加求f（2000）,实际上用的是整体代入的思想,对这种方法希望认真体会逐步掌握。