任意角的三角函数典型例题解析(1).doc

(word完整版)任意角的三角函数典型例题解析(1)
任意角的三角函数典型例题解析(1）
［例1］已知角α的终边与函数y=x的图象重合，求α的六个三角函数值.

【解】如上图，函数y=x的图象是过原点和一、三象限的直线，因此α的终边在第一或第三象限.
当α终边在第一象限时,在终边上取点P（2，3）.
则r=，于是
sinα=,cosα=
tanα=，cotα=,secα=,cscα=
当α终边在第三象限时，在终边上取点P′（－2,－3).
则r′= 于是
sinα=－
cosα=－
tanα=,cotα=,
secα=－,cscα=－
【点评】 由本例可以看出，当两个角的终边反向共线时，它们的六种三角函数值的绝对值对应相等,仅仅在符号上有所不同.
［例2]已知cosα＝m（｜m｜≤1）,求sinα、tanα的值。
【解】 当m＝0时,α角的终边落在y轴上
若α的终边在y轴的非负半轴上,则sinα＝1，tanα不存在；
若α的终边在y轴的非正半轴上,则sinα＝－1，tanα不存在;
当m＝±1时，α角的终边落在x轴上，则sinα＝0，tanα＝0
当｜m｜＜1且m≠0时
若α在第一或第二象限时
sinα＝
tanα＝
若α在第三或第四象限时
sinα＝－
tanα＝
【点评】 已知一个角的一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值的方法必须牢固掌握，并注意确定角α的范围，以便确定三角函数值的符号，需要对角的范围进行讨论时，不要遗漏终边在坐标轴上的情况。
［例3］已知tanα＝2，求下列各式的值。
（1）sin2α－sinαcosα＋2
(2）
【解】 （1)sin2α－sinαcosα＋2
＝
＝
(2）
＝
＝
＝
【点评】 若先通过tanα＝2，求出sinα、cosα,再代入求值，需要讨论，运算也较为复杂.对于已知tanα的值，求关于sinα、cosα的三角函数式的值的问题，若该三角函数式可化为关于sinα和cosα的相同次数时，都可以“齐次化切"转化为关于tanα的三角函数式进行求值。
［例4]已知sinθ－cosθ＝－,求下列各式的值。
（1）sin4θ＋cos4θ
（2）tanθ
【解】 (1）由sinθ－cosθ＝－,
得1－2sinθcosθ＝
∴2sinθcosθ＝
sin4θ＋cos4θ＝（sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－(2sinθcosθ）2
＝1－×（）2＝
(2)由（1）知sinθcosθ＝＞0，
∴θ为第一或第三象限角
而（sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝1＋＝
若θ在第一象限，则sinθ＋cosθ＝与sinθ－cosθ＝－联立求得
sinθ＝
cosθ＝
∴tanθ＝
若θ在第三象限，则sinθ＋cosθ＝－与sinθ－cosθ＝－联立求得

∴tanθ＝
【点评】 通过平方关系可以用sinθ＋cosθ或sinθ－cosθ表示sinθ·cosθ以便达到换元的目的。
[例5］求证：
【证法一】 左边=
=
=secθ+tanθ=右边
故原式成立.
【证法二】 右边=
=
=
=
= =右边.
故原式成立.
【证法三】 左边=
=
=
=tanθ+secθ=右边。
故原式成立.
【点评】 证明三角函数恒等式的方法较多,但本例三种证法较常用，且此三种证法的思想方法是一致的,即都是寻求等式两边的三大差异（角度、名称、结构），确定三角公式的选择与应用,通过消除两边差异，达到形式上的统一而完成证明.
［例6］设函数f(x）=asin(πx+α）+bcos（πx+β）+4（其中a、b、α、β为非零实数)，若f（1999)=5，求f（2000)的值。
【解】 f（1999）=asin（1999π+α)+bcos（1999π+β）+4=asin（π+α）+bcos（π+β)+4
=－asinα－bcosβ+4
f（2000)=asin（2000π+α）+bcos（2000π+β)+4=asinα+bcosβ+4
∴f(1999）+f(2000）=8,
又f（1999）=5，
∴f（2000）=3
【点评】 本题虽然是两个式了相加求f（2000）,实际上用的是整体代入的思想,对这种方法希望认真体会逐步掌握。