必修四向量加法运算及其几何意义(附答案).doc

向量加法运算及其几何意义
[学习目标]　1.理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．

知识点一　向量的加法
1．向量加法的定义
定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任一向量a，规定0＋a＝a＋0＝a.
2．向量求和的法则
三角形法则
如图，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝

平行四边
形法则
如图，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，以，为邻边作▱ABCD，

则对角线上的向量＝a＋b

思考　如图，已知向量a, b，分别利用三角形法则和平行四边形法则作出向量a＋b.

答案　作法1：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b.

作法2：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，则＝＋＝a＋b.

知识点二　向量的加法和向量的模
(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|；
(2)当a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；
(3)当a与b反向时，若|a|≥|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|.
若|a|<|b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.

知识点三　向量加法的运算律
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

思考1　根据下图中的平行四边形ABCD，验证向量加法的交换律：a＋b＝b＋a.(注：＝a，＝b)

答案　∵＝＋，∴＝a＋b.
∵＝＋，∴＝b＋a.
∴a＋b＝b＋a.
思考2　根据下图中的四边形ABCD，验证向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
答案　∵＝＋＝(＋)＋，
∴＝(a＋b)＋c，
又∵＝＋＝＋(＋)，
∴＝a＋(b＋c)，
∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

题型一　向量加法及其运算律
例1　化简：
(1)＋；(2)＋＋；
(3)＋＋＋＋.
解　(1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋
＝(＋)＋＝＋＝0.
(3)＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋
＝＋＝0.

跟踪训练1　如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＝________.

题型二　向量加法在平面几何中的应用
例2　已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且＝，＝.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明　＝＋，＝＋，
又∵＝，＝，∴＝.
∴AB＝CD且AB∥DC.
∴四边形ABCD为平行四边形．

跟踪训练2　如图所示，在四边形ABCD中，＝＋，试判断四边形的形状．
解　∵＝＋，
∴＝＋＝＋＋＝＋＋＝，即＝.
∴四边形ABCD为平行四边形．

题型三　向量加法的实际应用
例3　在水流速度为4 km/h的河中，如果要船以12 km/h的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．
解　如图，设表示水流速度，则表示船航行的实际速度，作AD綊BC，则即表示船航行的速度．
因为||＝4 ，||＝12，∠CAB＝90°，所以tan∠ACB＝＝，
即∠ACB＝30°，∠CAD＝30°.
所以||＝8 ，∠BAD＝120°.
即船航行的速度为8 km/h，方向与水流方向所成角为120°.

跟踪训练3　如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
解　设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，
则飞机飞行的路程指的是||＋||；
两次飞行的位移的和指的是＋＝.
依题意，有||＋||＝800＋800＝1 600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝＝＝800(km)．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.

向量加法的多边形法则

向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．
如图，即：＋＋＋… ＋＝.
或＋＋… ＋＋＝0.
这是一个极其简单却非常有用的结论．
利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效．

例4　在正六边形ABCDEF中，＋＋＋＋＋＝________.
解析　＋＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)
＝(＋＋＋＋＋)＋(＋＋＋＋＋)＝0＋0＝0.
答案　0

1．作用在同一物体上的两个力F1＝60 N，F2＝60 N，当它们的夹角为120°时，则这两个力的合力大小为(　　)
A．30 N B．60 N C．90 N D．120 N
2．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是(　　)
A.＋＋＝0 B.＋＋＝0
C.＋＋＝ D.＋＋＝
3．已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，则＋＋的模等于________．
4．化简：(1)＋＋；
(2)(＋)＋(＋)；
(3)＋(＋)＋.

5．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.
求证：＋＝＋.

一、选择题
1．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向(　　)
A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同 D．不确定
2．下列等式错误的是(　　)
A．a＋0＝0＋a＝a B.＋＋＝0
C.＋＝0 D.＋＝＋＋
3．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则(　　)
A．a∥b，且a与b方向相同 B．a，b是共线向量且方向相反
C．a＝b D．a，b无论什么关系均可
4.如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＋等于(　　)
A. B.
C. D.
5.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于(　　)

A．1 B．2
C．3 D．2

6．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则下列结论中正确的是(　　)
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＝|a|－|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.
A．①② B．①③ C．①③⑤ D．③④⑤
二、填空题
7．根据图示填空，其中a＝，b＝，c＝，d＝.
(1)a＋b＋c＝________；
(2)b＋d＋c＝________.
8．已知|a|＝3，|b|＝5，则向量a＋b模长的最大值是____．
9．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝________.
10．已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝______.
三、解答题
11．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点．
求证：＋＋＋＝4.

12．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝60°，
求|a＋b|.

13.如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F，E，使BE＝DF.
求证：四边形AECF是平行四边形．

当堂检测答案
1．答案　B
2．答案　D
解析　＋＋＝＋＝0，
＋＋＝＋＋＝0，
＋＋＝＋＝＋＝，
＋＋＝＋0＝＝≠.
故选D.
3．答案　2
解析　|＋＋|＝|2|＝2||＝2.
4．解　(1)＋＋＝＋＋＝.
(2)(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
(3)＋(＋)＋＝＋＋＋＝0.
5．证明　∵＝＋，＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
又∵BP＝QC且与方向相反，
∴＋＝0，
∴＋＝＋，即＋＝＋.

课时精练答案
一、选择题
1．答案　A
解析　如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同；如果它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同．
2．答案　B
解析　＋＋＝＋＝2≠0，故B错．
3．答案　A
4.答案　C
解析　＋＋＝＋(＋)＝＋0＝.
5.答案　B
解析　|＋＋|＝|＋＋|＝||＝2.
6．答案　C
解析　a＝0，∴a∥b，a＋b＝b，|a＋b|＝|a|＋|b|，故选C.
二、填空题
7．答案　(1)　(2)
解析　(1)a＋b＋c＝＋＋＝.
(2)b＋d＋c＝＋＋＝.
8．答案　8
解析　∵|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8.
∴|a＋b|的最大值为8.
9．答案　2
解析　|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋＋|
＝|＋|＝2||＝2.
10．答案　0
解析　如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，
则＋＝，＋＝0，
∴＋＋＝0.
三、解答题
11．证明　∵＋＋＋
＝＋＋＋＋＋＋＋
＝4＋(＋＋＋)
＝4＋(＋)＋(＋)
＝4＋0＋0＝4.
∴＋＋＋＝4.

12．解　如图，∵||＝||＝3，
∴四边形OACB为菱形．
连接OC、AB，则OC⊥AB，设垂足为D.
∵∠AOB＝60°，∴AB＝||＝3.
∴在Rt△BDC中，CD＝.
∴||＝|a＋b|＝×2＝3.
13.证明　＝＋，＝＋，因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝，因为FD＝BE，且与的方向相同，所以＝，
所以＝，即AE与FC平行且相等，
所以四边形AECF是平行四边形．

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