因式分解题型分类解析.doc

(完整版)因式分解题型分类解析
因式分解
一、因式分解的概念：
因式分解(分解因式）：把一个多项式化为几个整式（ )的形式。

二、因式分解的方法：

1、提公因式法：

（1）公因式的构成一般情况下有三部分:
①系数一各项系数的最大公约数；
②字母——各项含有的相同字母；
③指数——相同字母的最低次数；

（2）提公因式法的步骤：
第一步是找出公因式；
第二步是提取公因式并确定另一因式。
（3)注意：①提取完公因式后,看另一个因式的项数与原多项式的项数是否一致，可用来检验是否漏项；
②提取公因式后各因式应该是最简形式,即分解到“底"；
③如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。
2、公式法：

运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用;

常用的公式:
①平方差公式: a2－b2＝

②完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝
a2－2ab＋b2＝

3、十字相乘法：x2+（a+b）x+ab=
特点：(1）二次项系数是1；
（2)常数项是两个数的乘积；
(3）一次项系数是常数项的两因数的和。

一、按知识点：

题型一： 概念的理解：
例1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解?哪些不是？请说出理由.
（1）、 （2)、
(3)、（4）、
(5）、

题型二: 提公因式法:
例2、（1) （2）、

（3） (4）

题型三： 完全平方公式：
例4、（1） （2)

（3) （4）

题型四： 平方差公式：

例3、下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
① ② ③ ④ ⑤ ⑥

题型五:十字相乘法：
例5、(1） (2) （3）

（4） (5） (6)

二、按解题技巧:

技巧一 :符号变换
例：(m+n）(x-y)+(m-n)(y—x） 分解因式:-a2-2ab-b2

技巧二 ：系数变换
例：分解因式 4x2—12xy+9y2 分解因式

技巧三 ：指数变换
例：分解因式x4—y4 分解因式 a4-2a4b4+b4

技巧四： 展开变换
例：a（a+2）+b(b+2)+2ab 分解因式x(x-1)-y(y-1)

技巧五 ：添项变换
例：分解因式x2+4x—12 分解因式x2-6x+8 分解因式a4+4

技巧六 :分组分解法

（1)分组后能直接提公因式：

例:分解因式： 分解因式

(2)分组后能直接运用公式：
例：分解因式: 分解因式：

因式分解在计算中的应用：
计算…+

应用扩展：
因式分解在解方程与等式变换中的应用:
解方程

因式分解题型总结：
题型一：求未知数
1. 若则=_____.
2. 若则=_____。
3. 把多项式分解成则a= ，n=
4. 已知多项式分解为则b= ,c=
5. 若是完全平方式,则m= 。
6. 若是完全平方式，则m= .
7. 若是完全平方式，则m= .
8. 若,则B=_______．

题型二：与因式有关的参数问题
例：1、若mx2+19x－14有一个因式是x+7,求m的值和另一个因式.

2、已知多项式有一个因式是，求的值。

3、若关于x的多项式含有因式，则实数p的值为？

4、已知多项式因式分解的结果是,求a+b+c的值

方法总结：
题型三：数学中看错问题
例：两位同学将一个二次三项式分解因式,一位同学因看错了一次项系数而分解成，而另一位同学因看错了常数项而分解成,求原多项式。

变式：分解因式时,一位同学因看错了a的值,分解的结果是，乙看错了b而分解成，求a+b的值。

题型四：利用因式分解简便计算
（1）2 0042－4×2 004； （2）39×37－13×34

（3）2015+20152-2015×2016 （4）121×0。13+12。1×0.9－12×1.21

（5） （6）

(7） （8)

（9)

题型五：利用因式分解化简求值
1、 已知2x－y=,xy=2，求2x4y3－x3y4的值

2、 已知，求的值。

选作:已知满足,求的值

3、 已知，求的值.

4、 已知，求的值。

5、已知：x3+x2+x+1=0，求1+x+x2+x3+x4+x5+…+x2007的值

6、 已知：，求（1)（2）的值。

题型六：与整除有关的问题
1、求证： 能被7整除。（同底数)

2、 求证：能被45整除。（不同底数）

变式：求证：能被250整除

1、 设n为整数，求证：（2n+1)2－25能被4整除.

2、 求证：对于任意正整数n, 一定是10的倍数。

思考1、两个连续奇数的平方差能被8整除吗？为什么

思考2、能被11至20直接的两个数整除,求这两个数

题型七:与三角形有关的问题
形状类问题：完全平方公式
1、已知是的三条边，且满足,试判断的形状。

变式：已知是的三条边，且满足，试判断的形状。

若上述满足条件改为：

3、若一个三角形的两边长满足，求第三边的取值范围．

符号类：平方差
2、 若是三角形的三条边,求证：①
②的符号

变式：已知a，b,c是三角形的三条边,那么代数式的值是（ ）
A. 小于零 B。 等于零 C. 大于零 D。 不能确定

题型八:利用完全平方公式证明非负性
1、证明：不论x取何值,多项式的值不会是正数。

题型九：与因式分解有关的创新性问题
1、有一串单项式：……，
（1）你能说出它们的规律是 吗?（2）第2006个单项式是 ；
（3）第（n+1）个单项式是 ．
2、找规律： 1×3+1=4=22，
2×4+1=9=32，
3×5+1=16=42，
4×6+1=25=52
……
请将找出的规律用公式表示出来

4、观察下列各式：

你发现了什么规律?请用含有n（n为正整数）的等式表示出来并说明期中的道

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