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等差数列（二）

[学习目标]　1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．

知识点一　等差数列与一次函数
1．等差数列的图象
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当d＝0时，an是关于n的常数函数；当d≠0时，an是关于n的一次函数，点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，且是这条直线上的一列孤立的点．
2．公差d与斜率
等差数列{an}的图象是一条直线上的孤立的点，而这条直线的斜率即为公差d，即d＝(n≥2，n∈N*)．
知识点二　推广的等差数列的通项公式
已知a1求an，则an＝a1＋(n－1)d.(n≥1)
已知am求an，则an＝am＋(n－m)d.(m≤n)
思考　已知等差数列{an}中的am和an，如何求d?
答案　由{an}的通项公式得
an＝a1＋(n－1)d，
am＝a1＋(m－1)d，
两式相减得an－am＝(n－m)d，
∴d＝.
知识点三　等差数列的性质
1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数　列
结　论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
2.等差数列的项的对称性
在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…….
3．下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
特别的，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap.
思考　等差数列{an}中，若a5＝7，a9＝19，则a2＋a12＝________，a7＝________.
答案　a2＋a12＝a5＋a9＝26　a7＝13

题型一　等差数列的性质及应用
例1　(1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8.
(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值．
解　(1)方法一　根据等差数列的通项公式，得
a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d.
由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝.
∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝.
方法二　根据等差数列性质
a2＋a10＝a4＋a8＝2a6.
由a2＋a6＋a10＝1，
得3a6＝1，解得a6＝，
∴a4＋a8＝2a6＝.
(2){an}是公差为正数的等差数列，设公差为d(d>0)，
∵a1＋a3＝2a2，∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，
∴a2＝5，又a1a2a3＝80，
∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16⇒d＝3或d＝－3(舍去)，
∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.

跟踪训练1　在等差数列{an}中：
(1)若a3＝5，则a1＋2a4＝________；
(2)a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列a1＋a20等于________．
答案　(1)15　(2)18
解析　(1)a1＋2a4＝a1＋(a3＋a5)＝(a1＋a5)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝15.
(2)由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝－24＋78⇒(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54⇒a1＋a20
＝18.
题型二　等差数列项的设法及运算
例2　已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．
解　设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则

又因为是递增数列，所以d>0，
所以解得a＝±，d＝，
此等差数列为－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.

跟踪训练2　已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
解　方法一　设这三个数为a，b，c，则由题意得
解得a＝4，b＝6，c＝8.
这三个数为4,6,8.
方法二　设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知可得

由①得a＝6，代入②得d＝±2，
∵该数列是递增的，∴d＝－2舍去，∴这三个数为4,6,8.
题型三　等差数列的综合问题
例3　已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列，并写出{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的通项公式及数列{an}中的最大项与最小项．
解　(1)因为an＝2－(n≥2，n∈N*)，
所以an－1＝，
所以＝＝1＋，
即－＝1.
因为bn＝，所以bn－bn－1＝1(n≥2，n∈N*)．
又a1＝，b1＝＝－，
所以数列{bn}是以b1＝－为首项，1为公差的等差数列．
故bn＝－＋(n－1)×1＝n－(n∈N*)．
(2)由(1)得an＝＋1＝1＋，当n≥3时，数列{an}是递减数列，且an>1.
又a1＝，a2＝－2，a3＝，所以在数列{an}中，最大项为a3＝，最小项为a2＝－2.

跟踪训练3　设等差数列{an}的公差为d.若数列{}为递减数列，则(　　)
A．d<0 B．d>0
C．a1d<0 D．a1d>0
答案　C
解析　设bn＝，则bn＋1＝，由于{}是递减数列，则bn>bn＋1，即>.∵y＝2x是单调增函数，∴a1an>a1an＋1，∴a1an－a1(an＋d)>0，∴a1(an－an－d)>0，即a1(－d)>0，∴a1d<0.
题型四　等差数列的实际应用
例4　某公司2009年经销一种数码产品，获利200万元，从2010年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解　记2009年为第一年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，则每年获利构成等差数列{an}，且当an<0时，该公司经销此产品将亏损．
设第n年的利润为an，因为a1＝200，公差d＝－20，
所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.
由题意知数列{an}为递减数列，令an<0，即an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，也就是从2020年开始，该公司经销此产品将亏损．

跟踪训练4　《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(　　)
A．1升 B.升 C.升 D.升
答案　B
解析　设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{an}，其首项为a1，公差为d，
由条件得，即，
解得，所以a5＝a1＋4d＝.

审题不仔细致误

例5　首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围为________．
错解　方法一　由a10>0得－24＋9d>0，∴d>.
方法二　由得，
∴<d<3.
答案　<d<3
错因分析　解答本题，应注意理解“从第10项开始为正数”的含义，它表明“a10>0”的同时还表明“a9≤0”这一条件．
正解　依题意得即
∴<d≤3.
答案　<d≤3
误区警示　解答此类问题，应注意仔细审题，认真挖掘题目中的隐含条件，并注意应用．

1．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7等于(　　)
A．5 B．8 C．10 D．14
2．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为(　　)
A．4 B．6 C．8 D．10
3．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(　　)
A．a1＋a101>0 B．a2＋a101<0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝51
4．下列是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列； p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列是递增数列；
p4：数列{an＋3nd}是递增数列；
其中的真命题为(　　)
A．p1，p2 B．p3，p4
C．p2，p3 D．p1，p4
5．在等差数列{an}中，已知a1＋2a8＋a15＝96，则2a9－a10＝________.

一、选择题
1．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于(　　)
A．0 B．37 C．100 D．－37
2．等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于(　　)
A．45 B．75 C．180 D．300
3．数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是(　　)
A．－2 B．－ C．2 D.
4．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…下列说法正确的是(　　)
A．新数列不是等差数列 B．新数列是公差为d的等差数列
C．新数列是公差为2d的等差数列 D．新数列是公差为3d的等差数列
5．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为(　　)
A. B．± C．－ D．－
6．在数列{an}中，a3＝2，a7＝1，如果数列{}是等差数列，那么a11等于(　　)
A. B. C. D．1

二、填空题
7．在公差为2的等差数列{an}中，a3＝12，则a8＝______.
8．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．
9．数列{an}满足递推关系an＝3an－1＋3n－1(n∈N*，n≥2)，a1＝5，则使得数列{}为等差数列的实数m的值为________．
10．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列.

第1列
第2列
第3列
…
第1行
1
2
3
…
第2行
2
4
6
…
第3行
3
6
9
…
…
…
…
…
…
那么位于表中的第n行第(n＋1)列的数是________．

三、解答题
11．已知数列{an}中，a1＝4.
(1)若an＝an＋1＋3，求a10.
(2)若数列{}为等差数列，且a6＝，求数列{an}的通项公式．

12．下表给出一个“等差数阵”
4
7
…
a1j
…
7
12
…
a2j
…
…
…
…
…
…
ai1
ai2
…
aij
…
…
…
…
…
…
其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．
(1)写出a45的值；
(2)写出aij的计算公式．

13．已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}．
(1)求b1和b2.
(2)求数列{bn}的通项公式．
(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？

当堂检测答案
1．答案　B
解析　方法一　设等差数列的公差为d，
则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，
所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.
方法二　由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.
2．答案　C
解析　由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，
∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.
3．答案　C
解析　∵a1＋a2＋…＋a101＝0，
又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，
∴a51＝0＝a3＋a99.
4．答案　D
解析　an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，因为d＞0，所以p1正确；an＋3nd＝4dn＋a1－d，因4d＞0，所以是递增数列，p4正确，故选D.
5．答案　24
解析　∵a1＋2a8＋a15＝4a8＝96，∴a8＝24.
∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.

课时精练答案
一、选择题
1．答案　C
解析　a1＋b1＝100＝a2＋b2，
∴{an＋bn}是常数列，
∴a37＋b37＝100.
2．答案　C
解　∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5
＝5a5＝450，∴a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.
3．答案　C
解析　∵an＋1－an＝3，
∴{an}为等差数列，且d＝3.
a2＋a4＋a6＝9＝3a4，∴a4＝3，
a5＋a7＋a9＝3a7＝3(a4＋3d)＝3(3＋3×3)＝36，
∴log6(a5＋a7＋a9)＝log636＝2.
4．答案　C
解析　∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，
∴数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．
5．答案　D
解析　由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，
∴a7＝.
∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan ＝tan ＝－.
6．答案　B
解析　依题意得＋＝2·，
∴＝－＝，
∴a11＝.
二、填空题
7．答案　22
解析　a8＝a3＋(8－3)×2＝12＋10＝22.
8．答案　－21
解析　设这三个数为a－d，a，a＋d，
则
解得或
∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.
∴这三个数的积为－21.
9．答案　－
解析　a1＝5，a2＝3×5＋32－1＝23，
a3＝3×23＋33－1＝95，
依题意得，，成等差数列，
∴2·＝＋，
∴m＝－.
10．答案　n2＋n
解析　观察可知，第n行的数构成以n为首项，n为公差的等差数列，所以第n行第(n＋1)列的数是n＋[(n＋1)－1]×n＝n2＋n.
三、解答题
11．解　(1)因为an＝an＋1＋3，所以an＋1－an＝－3，
所以数列{an}是首项为4，公差为－3的等差数列，
所以a10＝4＋9×(－3)＝－23.
(2)因为a1＝4，a6＝，所以＝，＝4，
设等差数列{}的公差为d，则＝＋5d，
所以4＝＋5d，解得d＝，
所以＝＋(n－1)×＝.
所以an＝.
12．解　(1)因为每行都成等差数列，
所以a15＝a11＋4(a12－a11)＝16.
a25＝a21＋4(a22－a21)＝27，
又因为每列成等差数列，
所以a45＝a15＋3(a25－a15)＝49.
(2)该“等差数阵”的第一行是首项为4，公差为3的等差数列，
所以a1j＝4＋(j－1)·3＝3j＋1，
第二行是首项为7，公差为5的等差数列，
所以a2j＝7＋(j－1)·5＝5j＋2，
第j列是首项为a1j，公差为d＝a2j－a1j＝2j＋1的等差数列，因此aij＝3j＋1＋(i－1)(2j＋1)＝2ij＋i＋j.

13．解　(1)由题意，等差数列{an}的通项公式为
an＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n，
设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项，
则需满足m＝4n－1，n∈N*，
所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，
b2＝a7＝8－5×7＝－27.
(2)由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20，
所以新数列{bn}也为等差数列，
且首项为b1＝－7，公差为d′＝－20，
所以bn＝b1＋(n－1)d′
＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n.
(3)因为m＝4n－1，n∈N*，所以当n＝110时，
m＝4×110－1＝439，
所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项．

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