等差数列(二).doc

等差数列（二）学习目标1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题知识点一等差数列与一次函数1等差数列的图象等差数列的通项公式ana1(n1)ddn(a1d)，当d0时，an是关于n的常数函数；当d0时，an是关于n的一次函数，点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，且是这条直线上的一列孤立的点2公差d与斜率等差数列an的图象是一条直线上的孤立的点，而这条直线的斜率即为公差d，即d(n2，nN*)知识点二推广的等差数列的通项公式已知a1求an，则ana1(n1)d.(n1)已知am求an，则anam(nm)d.(mn)思考已知等差数列an中的am和an，如何求d?答案由an的通项公式得ana1(n1)d，ama1(m1)d，两式相减得anam(nm)d，d.知识点三等差数列的性质1若an，bn分别是公差为d，d的等差数列，则有数列结论can公差为d的等差数列(c为任一常数)can公差为cd的等差数列(c为任一常数)anank公差为2d的等差数列(k为常数，kN*)panqbn公差为pdqd的等差数列(p，q为常数)2.等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和即a1ana2an1a3an2.3下标性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.特别的，若mn2p(m，n，pN*)，则有aman2ap.思考等差数列an中，若a57，a919，则a2a12_，a7_.答案a2a12a5a926a713题型一等差数列的性质及应用例1(1)已知等差数列an中，a2a6a101，求a4a8.(2)设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，求a11a12a13的值解(1)方法一根据等差数列的通项公式，得a2a6a10(a1d)(a15d)(a19d)3a115d.由题意知，3a115d1，即a15d.a4a82a110d2(a15d).方法二根据等差数列性质a2a10a4a82a6.由a2a6a101，得3a61，解得a6，a4a82a6.(2)an是公差为正数的等差数列，设公差为d(d0)，a1a32a2，a1a2a3153a2，a25，又a1a2a380，a1a3(5d)(5d)16d3或d3(舍去)，a12a210d35，a11a12a133a12105.跟踪训练1在等差数列an中：(1)若a35，则a12a4_；(2)a1a2a324，a18a19a2078，则此数列a1a20等于_答案(1)15(2)18解析(1)a12a4a1(a3a5)(a1a5)a32a3a33a315.(2)由已知可得(a1a2a3)(a18a19a20)2478(a1a20)(a2a19)(a3a18)54a1a2018.题型二等差数列项的设法及运算例2已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列解设四个数为a3d，ad，ad，a3d，则又因为是递增数列，所以d0，所以解得a，d，此等差数列为1,2,5,8或8，5，2,1.跟踪训练2已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数解方法一设这三个数为a，b，c，则由题意得解得a4，b6，c8.这三个数为4,6,8.方法二设这三个数为ad，a，ad，由已知可得由得a6，代入得d2，该数列是递增的，d2舍去，这三个数为4,6,8.题型三等差数列的综合问题例3已知数列an中，a1，an2(n2，nN*)，数列bn满足bn(nN*)(1)求证：数列bn是等差数列，并写出bn的通项公式；(2)求数列an的通项公式及数列an中的最大项与最小项解(1)因为an2(n2，nN*)，所以an1，所以1，即1.因为bn，所以bnbn11(n2，nN*)又a1，b1，所以数列bn是以b1为首项，1为公差的等差数列故bn(n1)1n(nN*)(2)由(1)得an11，当n3时，数列an是递减数列，且an1.又a1，a22，a3，所以在数列an中，最大项为a3，最小项为a22.跟踪训练3设等差数列an的公差为d.若数列为递减数列，则()Ad0Ca1d0答案C解析设bn，则bn1，由于是递减数列，则bnbn1，即.y2x是单调增函数，a1ana1an1，a1ana1(and)0，a1(anand)0，即a1(d)0，a1d0.题型四等差数列的实际应用例4某公司2009年经销一种数码产品，获利200万元，从2010年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解记2009年为第一年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，则每年获利构成等差数列an，且当an0时，该公司经销此产品将亏损设第n年的利润为an，因为a1200，公差d20，所以ana1(n1)d22020n.由题意知数列an为递减数列，令an0，即an22020n11，即从第12年起，也就是从2020年开始，该公司经销此产品将亏损跟踪训练4九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A1升 B.升 C.升 D.升答案B解析设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列an，其首项为a1，公差为d，由条件得，即，解得，所以a5a14d.审题不仔细致误例5首项为24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围为_错解方法一由a100得249d0，d.方法二由得，d3.答案d0”的同时还表明“a90”这一条件正解依题意得即d3.答案0 Ba2a1010Ca3a990 Da51514下列是关于公差d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列； p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列；其中的真命题为()Ap1，p2 Bp3，p4Cp2，p3 Dp1，p45在等差数列an中，已知a12a8a1596，则2a9a10_.一、选择题1设数列an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，则a37b37等于()A0 B37 C100 D372等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8的值等于()A45 B75 C180 D3003数列an满足3anan1且a2a4a69，则log6(a5a7a9)的值是()A2 B C2 D.4由公差d0的等差数列a1，a2，an组成一个新的数列a1a3，a2a4，a3a5，下列说法正确的是()A新数列不是等差数列 B新数列是公差为d的等差数列C新数列是公差为2d的等差数列 D新数列是公差为3d的等差数列5已知数列an为等差数列且a1a7a134，则tan(a2a12)的值为()A. B C D6在数列an中，a32，a71，如果数列是等差数列，那么a11等于()A. B. C. D1二、填空题7在公差为2的等差数列an中，a312，则a8_.8若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为_9数列an满足递推关系an3an13n1(nN*，n2)，a15，则使得数列为等差数列的实数m的值为_10在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列.第1列第2列第3列第1行123第2行246第3行369那么位于表中的第n行第(n1)列的数是_三、解答题11已知数列an中，a14.(1)若anan13，求a10.(2)若数列为等差数列，且a6，求数列an的通项公式12下表给出一个“等差数阵”47a1j712a2jai1ai2aij其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数(1)写出a45的值；(2)写出aij的计算公式13已知无穷等差数列an，首项a13，公差d5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列bn(1)求b1和b2.(2)求数列bn的通项公式(3)数列bn中的第110项是数列an中的第几项？当堂检测答案1答案B解析方法一设等差数列的公差为d，则a3a52a16d46d10，所以d1，a7a16d268.方法二由等差数列的性质可得a1a7a3a510，又a12，所以a78.2答案C解析由a2a4a6a8a105a680，a616，a7a8(2a7a8)(a6a8a8)a68.3答案C解析a1a2a1010，又a1a101a2a100a3a992a51，a510a3a99.4答案D解析ana1(n1)ddna1d，因为d0，所以p1正确；an3nd4dna1d，因4d0，所以是递增数列，p4正确，故选D.5答案24解析a12a8a154a896，a824.2a9a10a10a8a10a824.课时精练答案一、选择题1答案C解析a1b1100a2b2，anbn是常数列，a37b37100.2答案C解a3a4a5a6a7(a3a7)(a4a6)a55a5450，a590.a2a82a5180.3答案C解析an1an3，an为等差数列，且d3.a2a4a693a4，a43，a5a7a93a73(a43d)3(333)36，log6(a5a7a9)log6362.4答案C解析(an1an3)(anan2)(an1an)(an3an2)2d，数列a1a3，a2a4，a3a5，是公差为2d的等差数列5答案D解析由等差数列的性质得a1a7a133a74，a7.tan(a2a12)tan(2a7)tan tan .6答案B解析依题意得2，a11.二、填空题7答案22解析a8a3(83)2121022.8答案21解析设这三个数为ad，a，ad，则解得或这三个数为1,3,7或7,3，1.这三个数的积为21.9答案解析a15，a23532123，a332333195，依题意得，成等差数列，2，m.10答案n2n解析观察可知，第n行的数构成以n为首项，n为公差的等差数列，所以第n行第(n1)列的数是n(n1)1nn2n.三、解答题11解(1)因为anan13，所以an1an3，所以数列an是首项为4，公差为3的等差数列，所以a1049(3)23.(2)因为a14，a6，所以，4，设等差数列的公差为d，则5d，所以45d，解得d，所以(n1).所以an.12解(1)因为每行都成等差数列，所以a15a114(a12a11)16.a25a214(a22a21)27，又因为每列成等差数列，所以a45a153(a25a15)49.(2)该“等差数阵”的第一行是首项为4，公差为3的等差数列，所以a1j4(j1)33j1，第二行是首项为7，公差为5的等差数列，所以a2j7(j1)55j2，第j列是首项为a1j，公差为da2ja1j2j1的等差数列，因此aij3j1(i1)(2j1)2ijij.13解(1)由题意，等差数列an的通项公式为an3(n1)(5)85n，设数列bn的第n项是数列an的第m项，则需满足m4n1，nN*，所以b1a38537，b2a785727.(2)由(1)知bn1bna4(n1)1a4n14d20，所以新数列bn也为等差数列，且首项为b17，公差为d20，所以bnb1(n1)d7(n1)(20)1320n.(3)因为m4n1，nN*，所以当n110时，m41101439，所以数列bn中的第110项是数列an中的第439项第 16 页