等差数列.doc

《等差数列》教学设计

一．设计意图
随着科学技术的不断发展，数学已经不仅仅是学习后继课程和解决科技问题的工具，而且是培养理性思维的重要载体，成为科技人员科技水平的重要组成部分。但数学要跟上时代发展的步伐，满足社会发展的需要，就应该从传统的教学模式转变为以问题为中心，以探索为主线，以培养学生思维能力和创新意识为核心的数学素质教育的实践模式。课堂上采用学生“自主、合作、探索”的教学方式，教师是学生学习的组织者、合作者和服务者，以背景问题激发学生的学习兴趣及好奇心。以探索问题引导学生对数学问题进行自主观察、比较、分析、综合、抽象和概括。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，这正是新课程所倡导的数学理念。
本节课借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。
二．教材分析
本节内容是人教A版高中数学必修五第二章第二节——等差数列，两课时内容，本节是第一课时。研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。通过本节课的学习要求理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并且了解等差数列与一次函数的关系。 
本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。同时也是培养学生数学能力的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。
三．学情分析
学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。同时思维的严密性还有待加强。

四．教学目标
1．知识目标：理解等差数列概念，掌握等差数列的通项公式，了解等差数列与一次函数的关系。
2．能力目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。
3．情感目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，提高数学猜想、归纳的能力。
五．重点、难点
教学重点：等差数列的概念及通项公式的推导。
教学难点：对等差数列概念的理解及学会通项公式的推导及应用。
六．教学策略和手段
数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动共同发展的过程，结合学生的实际情况，及本节内容的特点，我采用的是“问题教学法”，其主导思想是以探究式教学思想为主导，由教师提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。
教学手段：多媒体计算机和传统黑板相结合。通过计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。而保留使用黑板则能让学生更好的经历整个教学过程。
七．课前准备
学生预习，教师做好课件并安装好。
八．教学过程
（一）创设情景，引入概念                   时间：10分钟
设计意图：希望学生能通过日常生活中的实际问题的分析对比，建立等差数列模型，体验数学发现和创造的过程。
师生活动：
 情景1：
【师】把班上学生学号从小到大排成一列 ：
【师】这是数列吗？你能归纳出它的通项公式吗？
【学生】是，
【师】把上面的数列各项依次记为 ，填空：
【学生】填空并归纳出一般规律： ，（ ）
【师】上面这个规律还有其他形式吗？
【学生】或者写成  ，（ ）
（注：要对强调 ，原因在于 有意义。—）
【师】你能用普通语言概括上面的规律吗？
【学生】自由发言，选择最恰当的语言。
上面的数列已找出这一特殊规律，下面再观察一些数列并也找出它们的规律。
情景2：看幻灯片上的实例
（1）2008年北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：
         48，53，58，63
（2）水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位18m，自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）
         18，15.5，13，10．5，8，5．5
（3）我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：
    本利和=本金 （1+利率 存期）
时间
年初本金（元）
年末本利和（元）
第1年
10000
10072
第2年
10000
10144
第3年
10000
10216
第4年
10000
10288
第5年
10000
10360
例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%，   那么按照单利，5年内各年末本利和分别是：如下表（假设5年既不加存款也不取款，且不扣利息税）
各年末本利和（单位：元）
   10072，10144，10216，10288，10360
【师】上面的三个数列又分别有什么规律呢？
【学生】（1） ， ，
（2） ， ，
（3） ， ，
【师】归纳上面数列的共同特征：
（d是常数）， ， ，
【师】满足这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字？
【学生（共同）】等差数列。
提出课题《等差数列》
【师】给出文字叙述的定义（学生叙述，板书定义）：
一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d为公差，a1为数列的首项。
    对定义进行分析，强调：①同一个常数；②从第二项起。
【师】这样的数列在生活中的例子，谁能再举几个？
【学生】某剧场前8排的座位数分别是
        52，50，48，46，44，42，40，38.
【学生】全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码分别是
21，21.5 ,22 ,22.5 ,23 ,23.5 ,24 ,24.5 ,25　
抢答：观察下列数列是否为等差数列
1，2，4，6，8，10，12，……
0，1，2，3，4，5，6，……
     3，3，3，3，3，3，3……
2，4，7，11，16，……
-8，-6，-4，0，2，4，……
3，0，-3，-6，-9，……
（注：常数列也是等差数列，公差是0。）
（二）   推进概念，发现性质                    时间：5分钟
设计意图：概括等差中项的概念。总结等差中项公式，用于发现等差数列的性质。
师生活动：
【师】想一想，一个等差数列最少有几项？它们之间有什么关系？
学生思考后回答，至少三项，然后老师引导学生概括等差中项的概念。
设三个数 成等差数列，则A叫a与b的等差中项。同时有A-a=b-A,
说明：（1）上面式子反过来也成立。
      （2）等差数列中的任意连续三项都构成等差数列 ，反之亦成立。
（三）探究通项公式                          时间：10分钟
设计意图：通过具体数列的通项公式，总结一般等差数列的通项公式，体会特殊到一般的数学思想方法。
师生活动：
【师】对于一个数列，我们最关心的是每一项，而这就要求我们能知道它的通项公式。下面一起来研究等差数列的通项公式。
先写出上面引例中等差数列的通项公式。再推导一般等差数列的通项公式。
【师】若一个数列 是等差数列，它的公差是d，那么数列  的通项公式是什么？
启发学生：（归纳、猜想）可用首项与公差表示数列中任意一项。
【学生】： 即：
即：
即：
……
由此可得：
【师】从第几项开始归纳的？
【学生】第二项，所以n≥2。
【师】n=1时呢？
【学生】当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式
  （ ）
【师】很好!
（归纳、猜想，培养学生合理的推理能力）还有没有其他的推导方法？
【学生】还可用下面的方法归纳：
当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式
  （ ）
【师】我们把这种方法称为迭代法。还有其他的推导方法吗？
（学生面露难色）
启发：看方法一的第一个式子
……
    有何规律？
【学生】可以用累加的方法，左边累加后得 ，右边累加的d+d+d+……+d共n-1个即 =d+d+d+…….+d
=（n-1）d 
【师】这种方法叫累加法
总结通项公式的推导方法：递推归纳法；迭代归纳法；累加法。
（注：通项公式中含有 四个量，其中 为基本量，当 确定后，通项公式就确定了。）
(四)通项公式的应用                      时间：10分钟
设计意图：通过具体问题，分析等差数列通项公式中的四个量，已知什么？求什么？怎么求？提高学生分析问题，解决问题的能力。
师生活动：教师板演，学生练习
例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项？
     （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
     （3）已知等差数列 中， ，求该数列的通项公式。
分析：（1）中求第20项，需要知道什么呢？——首项和公差
     （2）中怎样判断-401是不是数列中的项呢？ ——先求通项公式，再判断是否存在正整数n，使得-401 = 成立。
（3）中已知两项，求通项公式的关键还是先求首项和公差。这里可以通过列方程组求解。
 答案：(1) ；(2)-401是这个数列的第100项；(3) 。
(3)的补充说明：由列两个等式 可知 ，你能类似的推出等差数列中任两项的关系吗？
类比：
两式相减得 —等差数列的性质。
例2、已知数列的通项公式为 ，其中p，q是常数，且p≠0，那么这种数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？
【师】： 如何分析题意？
【学生】：由等差数列定义，要判定{an}是不是等差数列，只要看an-an-1（n≥2）是不是一个与n无关的常数就行了。
（学生叙述，教师板书）
解：取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an（n≥2）。
∴an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=(pn+q)-(pn-q+q)=p，
它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列，且公差为p。
在通项公式中，令n=1得a1=p+q，
所以这个等差数列的首项是p+q，公差是p。
【师】数列的通项公式给出的是an与n之间的一种关系，一个n都对应着一个an，这与我们以前学过的什么内容类似？由本例得到什么结论？
（引发学生联想、归纳，学生很自然会想到一次函数）
【学生】与一次函数内容类似，即an与n之间的关系是一次函数的关系；
由本例的结论可知，如果an是关于n的一次函数，那么数列{an}是等差数列。
【师】 本例题的逆命题，是否也成立？请同学们课下自己完成证明。
由上面例题实际上可以得出证明数列{an}是等差数列的一种方法。
（五）通项公式的图象                              时间：5分钟
设计意图：加深学生对等差数列与一次函数的联系的理解。
师生活动：在直角坐标系中作通项公式为an=3n-5的数列的图像，并观察图像有什么特点？
【师】用几何画板作图显示为下图：
该数列的图象是一群孤立的点。且都落在直线 的图象上。
【师】由图归纳出等差数列通项公式的图象的特点。
【学生】公差不为零的等差数列 的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点。
（注：当p=0时，an=q，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行x轴（或x上）的均匀公布的一群孤立点。）
（六）课时小结                                   时间：5分钟
提出问题：这节课你学到了什么？
    教师鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其它同学补充。以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。并用多媒体把学生的归纳用一张表展示出来。
①等差数列定义和通项公式:   （n∈ ）
②等差中项：A叫a与b的等差中项
③等差数列的性质：

④等差数列 的图象是直线 y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点。

九、板书设计
等差数列
一．概念
1．等差数列
2．等差中项
二．通项公式与性质
3．
4．
公式推导过程
三．等差数列与一次函数的关系
四．例题
五．小结

十、作业设计
（一）阅读作业：通读教材，复习巩固，等差数列的通项公式的求法。
（二）书面作业：课本45页习题2.2组A1，2，3，4题。
（三）弹性作业：模仿等差数列的定义，思考有没有“等和数列”.如果有，请探究它的定义、通项公式和相关的性质。
十一、教后反思
新课堂是活动的课堂，讨论合作交流的课堂，德育教育的课堂，应用现代技术的课堂。本节课的设计，把提出问题与解决问题、独立思考与合作交流等有机结合起来，从而使教学和谐有序地展开。在教学过程中，学生的知识结构被建构，数学思想方法被激活，创新意识被唤起。学生课后的评价是：有新鲜感，生动有趣，思路开阔。最大的感悟是学生的学习潜能是无穷的，只要我们积极地去开发引导，他们的智慧必定会放出耀眼的光芒，从而为数学教学增光添彩。