数列中奇偶项问题.doc

数列中的奇偶项问题
例1、已知数列满足：，设.
（1）求并证明：
（2）①证明：数列等比数列；②若成等比数列，求正整数k的值.
例2、设等差数列的前n项和为，且．数列的前n项和为，且，．
（I）求数列,的通项公式；
（II）设， 求数列的前项和．
3、 一个数列{an}，当n是奇数时，an＝5n＋1；当n为偶数时，an＝，则这个数列的前2m项的和是________．
练习
1．已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为(　　)
A．10 B．20 C．30 D．40
2、等比数列的首项为，项数是偶数，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则这个等比数列的项数为
（A） （B） （C） （D）
3、已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10＝________.
4、已知数列{an}满足a1＝5，anan＋1＝2n，则＝(　　)
A．2 B．4 C．5 D.
5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，设Sn是数列{an}的前n项和，则S2 014＝(　　)
A．22 014－1 B．3×21 007－3C．3×21 007－1 D．3×21 007－2
6. 于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
7、(2013·天津高考)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明Sn＋≤(n∈N*)．
8、已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18.
①求数列{an}的通项公式；
②是否存在正整数n，使得Sn≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．
解：（1）

（2）①因为所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列.
②由数列可得，，则，
因为成等比数列，所以，令，得，解得，得.
解：（Ⅰ）由题意，，得． …………3分
，，
，两式相减，得
数列为等比数列，． …………7分
（Ⅱ） ． 当为偶数时，
=．
当为奇数时，（法一）为偶数，
（法二）
．

解析：当n为奇数时，{an}是以6为首项，以10为公差的等差数列；当n为偶数时，{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以，
S2m＝S奇＋S偶＝ma1＋×10＋＝6m＋5m(m－1)＋2(2m－1)
＝6m＋5m2－5m＋2m＋1－2＝2m＋1＋5m2＋m－2.
解析：选A　设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即数列的项数为10.
解析：∵an＋an＋1＝bn，an·an＋1＝2n，∴an＋1·an＋2＝2n＋1，∴an＋2＝2an.
又∵a1＝1，a1·a2＝2，∴a2＝2，∴a2n＝2n，a2n－1＝2n－1(n∈N*)，∴b10＝a10＋a11＝64.
解析：选B　依题意得＝＝2，即＝2，故数列a1，a3，a5，a7，…是一个以5为首项、2为公比的等比数列，因此＝4.
解析：选B　由＝＝＝2，且a2＝2，得数列{an}的奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列，故S2 014＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 013)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 014)＝＋＝3×21 007－3.
对比： an＋1/an＝2n则用累乘法，
解析：∵an＋1－an＝2n∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝＝2n＋1－2.
[解题指导]　(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；
(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明．
[解]　(1)设等比数列{an}的公比为q，因为－2S2，S3,4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.
又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为an＝×n－1＝(－1)n－1·.
(2)证明：Sn＝1－n，Sn＋＝1－n＋＝
当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，
所以Sn＋≤S1＋＝.
当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，
所以Sn＋≤S2＋＝.
故对于n∈N*，有Sn＋≤.
解析：①设数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0.
由题意得
即解得
故数列{an}的通项公式为an＝3×(－2)n－1.
②由①有Sn＝＝1－(－2)n.
若存在n，使得Sn≥2 013，则1－(－2)n≥2 013，
即(－2)n≤－2 012.
当n为偶数时，(－2)n>0，上式不成立；
当n为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2 012，
即2n≥2 012，则n≥11.
综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．
点评：当数列涉及底数是负数时，要对指数n分奇偶讨论。