高三一轮复习：第六章数列第一节数列概念与简单表示.doc

第一节 数列的概念与简单表示
一、选择题(6×5分＝30分)
1．(2011·平顶山模拟)数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5，…的第100项是(　　)
A．14　　　　　　　　 B．12
C．13 D．15
解析：易知数字为n时共有n个，到数字n时，总共的数字的个数为1＋2＋3＋…＋n＝.易得n＝13时，最后一项为第91项，n＝14共有14个，故第100项为14.
答案：A
2．(2011·商丘一模)已知数列{an}中，a1＝b(b为任意正数)，an＋1＝－(n＝1,2,3，…)，能使an＝b的n的数值是(　　)
A．14 B．15
C．16 D．17
解析：a1＝b，a2＝－，a3＝－，a4＝b，
∴此数列的周期为3，
∴能使an＝b的n的数值满足n＝3k－2(k∈N*)．
答案：C
3．(2011·珠海月考)在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是(　　)
A. B.
C. D.
解析：由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，
∴a3·a2＝a2＋(－1)3，∴a3＝，
∴a4＝＋(－1)4，∴a4＝3，
∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝，
∴＝×＝.
答案：C
4．(2011·北京石景山高三模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝n3，则a5＋a6的值为(　　)
A．91 B．152
C．218 D．279
解析：a5＋a6＝S6－S4＝63－43＝152.
答案：B
5．已知数列{an}满足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，则当n≥1时，an等于(　　)
A．2n B.
C．2n－1 D．2n－1
解析：由an＝a0＋a1＋a2＋…＋an－1(n≥1)，得
an＋1＝a0＋a1＋a2＋…＋an－1＋an＝2an，
∴{an}(n∈N*)是公比为2的等比数列，a1＝a0＝1，
∴an＝2n－1.
答案：C
6．(2011·清远阶段测试)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<ak<8，则k等于(　　)
A．9 B．8
C．7 D．6
解析：∵Sn＝n2－9n，
∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，
a1＝S1＝－8适合上式，∴an＝2n－10(n∈N*)，
∴5<2k－10<8，得7.5<k<9.∴k＝8.
答案：B
二、填空题(3×5分＝15分)
7．(2011·佛山二模)已知{an}的前n项和为Sn，满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝________.
解析：由已知条件可得Sn＋1＝2n＋1.
∴Sn＝2n＋1－1，
当n＝1时，a1＝S1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n，
n＝1时不适合an，∴an＝
答案：
8．(2011·创新题)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a3的值为________，a1·a2·a3·…·a2 010的值为________．
解析：据已知数列递推公式得：a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2，…故已知数列为以4为周期的周期数列，故a1a2…a2 010＝(a1a2a3a4)502·a2 009·a2 010＝a1·a2＝－.
答案：－　－
9．(2009·北京高考)已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，则a2 009＝________，a2 014＝________.
解析：a2 009＝a4×503－3＝1，a2 014＝a1 007＝a252×4－1＝0.
答案：1　0
三、解答题(共37分)
10．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，若S1＝1，S2＝2，且Sn＋1－3Sn＋2Sn－1＝0(n∈N*且n≥2)，求该数列的通项公式．
解析：由S1＝1得a1＝1，又由S2＝2可知a2＝1.
∵Sn＋1－3Sn＋2Sn－1＝0(n∈N*且n≥2)，
∴Sn＋1－Sn－2Sn＋2Sn－1＝0(n∈N*且n≥2)，
即(Sn＋1－Sn)－2(Sn－Sn－1)＝0(n∈N*且n≥2)，
∴an＋1＝2an(n∈N*且n≥2)，故数列{an}从第2项起是以2为公比的等比数列．
∴数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*.
11．(12分)(2011·宿州模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)．
(1)求a2，a3；
(2)求数列{an}的通项公式．
解析：(1)由已知：{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)，
∴a2＝a1＋4＝5，a3＝a2＋7＝12.
(2)由已知：an＝an－1＋3n－2(n≥2)得：
an－an－1＝3n－2，由递推关系，
得an－1－an－2＝3n－5，…，a3－a2＝7，a2－a1＝4，
叠加得：
an－a1＝4＋7＋…＋3n－2
＝＝，
∴an＝(n≥2)．
当n＝1时，1＝a1＝＝1，
∴数列{an}的通项公式an＝.
12．(13分)(2011·潍坊质检)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－30.
(1)求数列的前三项，60是此数列的第几项？
(2)n为何值时，an＝0，an>0，an<0?
(3)该数列前n项和Sn是否存在最值？说明理由．
解析：(1)由an＝n2－n－30，得
a1＝1－1－30＝－30，
a2＝22－2－30＝－28，
a3＝32－3－30＝－24.
设an＝60，则60＝n2－n－30.
解之得n＝10或n＝－9(舍去)．
∴60是此数列的第10项．
(2)令n2－n－30＝0，解得n＝6或n＝－5(舍去)．
∴a6＝0.
令n2－n－30>0，解得n>6或n<－5(舍去)．
∴当n>6(n∈N*)时，an>0.
令n2－n－30<0，解得－5<n<6.
又n∈N*，∴0<n<6.
∴当0<n<6(n∈N*)时，an<0.
(3)由an＝n2－n－30＝(n－)2－30，n∈N*，
知{an}是递增数列，
且a1<a2<…<a5<a6＝0<a7<a8<a9<…，
故Sn存在最小值S5＝S6，Sn不存在最大值．