基于离散采样型的分数阶傅里叶变换的算法研究应用与实现.doc

西 南 交 通 大 学
毕 业 论 文

基于离散采样型分数阶FOURIER变换算法
研究与实现

年 级：
学 号：2627
姓 名：方威
专 业：自动化(交通信息工程及控制方向)
指引教师： 汪晓宁

二零一五年六月

院 系 专 业
年 级 姓 名

题 目

指引教师
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成 绩

答辩委员会主任 (签章)

年 月 日

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毕业设计（论文）任务书

班 级 学生姓名 学 号
发题日期： 年12月1日 完毕日期： 6 月 15 日
题 目 基于离散采样型分数阶Fourier变换算法研究与实现
1、本论文目、意义 近年来,分数阶 Fourier变换因其在光学、量子力学、模式辨认、时频分析、信号解决等领广泛应用得到了越来越多关注。分数阶Fourier变换可以看作是时频平面旋转,并且与其她时频分布具备密切联系。分数阶Fourier变换是老式Fourier变换推广,不但继承了老式傅里叶变换基本性质，还具备其她诸多长处。可以在介于时域和频域之间分数域上分析信号，可以展示出信号从时域逐渐变化到频域所有特性，从而突出问题某些方面本质特性。
由于分数阶Fourier变换离散算法不像离散Fourier变换那样可以简朴地通过在时域直接离散化采样得到，因而分数阶Fourier变换离散算法成为近年来研究重点。分数阶Fourier变换离散算法重要有三种类型：离散采样型、线性组合型和特性分解型，本设计重要针对离散采样型算法进行研究和算法实现。

2、学生应完毕任务
1、理解分数阶Fourier 变换应用及离散化算法发展动态；
2、学习和掌握分数阶Fourier变换机理及离散化算法基本类型，重点研究和掌握离散采样型算法。
3、基于MATLAB编程实现分数阶Fourier 变换离散采样型离散算法。
4、通过对一种典型非平稳信号进行分数阶Fourier变换分析，研究信号特性，并验证程序可行性和对的性。

3、论文各某些内容及时间分派：（共 17 周）
第一某些查阅资料，理解分数阶Fourier变换应用及离散化算法发呈现状
(1周)
第二某些学习和掌握分数阶Fourier变换原理及离散化算法，重点研究离散采样型算法 (3周)
第三某些采用MATLAB编程实现离散采样型离散化算法 (4周)第四某些调试程序实现算法，并对一典型非平稳信号进行分析，验证算法及程序可行性和对的性 ,并与线性组合型算法进行比较 (6周)
第五某些整顿数据、撰写论文 (2周)
评阅及答辩 (1周)
备 注

指引教师： 汪晓宁 年 12月 1日
审 批 人： 年 月 日

摘 要
自从法国科学家傅里叶提出Fourier变换以来，Fourier变换被广泛地运用在科学研究与工程技术领域。随着研究进一步，研究对象和研究范畴也不断扩展，Fourier变换局限性也被逐渐地暴露出来。这种局限性重要体当前Fourier变换是一种从时域到频域全局变换，无法表达出信号时域局部特性，而这种时域局部特性正是非平稳信号最主线和最核心性质。作为傅里叶变换推广，从分数阶Fourier域与时域、频域间关系可以看出分数阶Fourier变换实质上是一种统一时频变换，它可以同步反映信号在时域和频域信息，没有交叉项困扰，在解决非平稳信号时具备无可比拟优势。并且由于分数阶傅里叶变换具备较为成熟迅速离散化算法，因而在解决非平稳信号时，分数阶Fourier变换受到了广大科研人员青睐。
本文重点研究了分数阶Fourier 变换基本理论与离散化算法实现。在简朴地回顾了分数阶Fourier变换国内外研究进展基本上，进一步分析了分数阶Fourier 变换基本原理，详细研究了分数阶Fourier变换离散化算法，特别是对离散采样型分数阶Fourier变换算法给出了详细分解环节。基于以上所做工作，通过MATLAB编程实现了分数阶Fourier变换采样型离散化算法。并对各种类型chirp信号进行分析，研究信号特性，并验证程序可行性和对的性。

核心词：分数阶Fourier 变换； 离散化办法；离散采样型算法； chirp信号
Abstract
Since the French scientist Fourier put forward Fourier transform,Fourier transform is widely used in the field of scientific research and engineering technology.With further research,object and scope has also been expanded,limitations of Fourier Transform have been exposed.this limitation is mainly reflected by that Fourier transform is a global transformation from time domain to the frequency domain,it can not show the signal’s
time domain local properties,but this time domain local characteristics is the most fundamental and critical nature of the non-stationary signals.As the promotion of the Fourier transform,from the relationship of Fractional Fourier domain and time frequency domain,we can see that the fractional Fourier transform is essentially a uniform time-frequency conversion,it can simultaneously reflected signal information in the time domain and frequency domain,and it can avoid cross terms,so fractional Fourier transform has unparalleled advantages in dealing with non-stationary signals.And because the fractional Fourier transform has mature fast discrete algorithm,therefore，when dealing with non-stationary signals,fractional Fourier transform is favored by the majority of researchers.
The thesis is focused on the fractional Fourier transform basic theory and the realization of its discrete algorithms.In a brief review of the research progress of fractional Fourier transform,the basic principles of Fractional Fourier Transform is analyzed deeply,detailed study of the discrete fractional Fourier transform algorithm， especially gives detailed decomposition steps for the discrete sampling algorithm type Fractional Fourier Transform.Based on the work done by the above,through MATLAB software simulating discrete sampling Fractional Fourier Transform algorithm. On this basis,analyzed the various types of chirp signal,researching characteristics of signals,and validating the feasibility and correctness of the program.

Keywords：fractional Fourier transform；discrete ；discrete sampling type algorithm；chirp signal

目 录
摘 要 II
ABSTRACT III
目 录 IV
第1章 绪 论 1
1.1 研究分数阶Fourier变换背景和意义 1
1.2 分数阶Fourier研究现状与应用 2
1.3 本论文重要工作和构造安排 4
第2章 分数阶FOURIER变换有关理论基本 5
2.1 老式傅里叶变换 5
2.1.1 持续时间傅里叶变换 5
2.1.2 离散傅里叶变换 DFT 6
2.2 Wigner-Ville 分布 6
2.3 分数阶Fourier变换基本概念 6
2.4 分数阶Fourier变换基本性质 9
2.5 分数阶Fourier变换离散化办法 10
2.5.1 离散采样型DFRFT 11
2.5.2 线性组合型DFRFT 13
2.5.3 特性分解型DFRFT 14
2.5.4 三种离散化办法优缺陷 16
2.6 本章小结 17
第3章 离散采样型FOURIER变换程序设计 18
3.1 量纲归一化解决和实现办法 18
3.1.1 量纲归一化原理 18
3.1.2 两种实用量纲归一化办法 19
3.2 对离散采样型分数阶Fourier变换分解办法分析 21
3.3 程序流程图 24
3.4 本章小结 27
第4章 分数阶FOURIER变换实例分析 28
4.1 方波信号 28
4.2 chirp信号分数阶傅里叶变换分析 30
4.2.1 chirp信号产生 30
4.2.2 chirp信号分数阶傅里叶变换最优阶次p分析 30
4.2.3 单分量chirp信号分数阶傅里叶变换 33
4.2.4 多分量chirp信号解决 35
4.2.5 添加高斯白噪声下chirp信号进行分离解决 36
4.5 本章总结 37
结论与展望 38
致 谢 39
参照文献 40
附 录 1 标题 42
附 录 2 标题 43

第1章 绪 论

在信号解决领域，老式傅立叶变换是一种研究成熟，且被广泛使用数学工具。但是，老式傅里叶变换由于自身局限性，体现为老式傅里叶变换是一种全局变换，它把信号从时域旋转角度后变换到频域，不能同步体现出信号时频特性，因而不能满足非平稳信号解决规定。为了满足对非平稳信号解决需要，在1980年，V.Namias从特性值和特性函数角度出发，年提出了纯数学分数阶傅立叶变换概念FRFT(分数阶傅立叶变换)[1]。然后有研究者从光学角度来分析，提出了分数阶傅里叶变换概念。由于分数阶傅里叶变换可以通过简朴光学装置来实现，因此分数阶傅里叶变换一方面在光信号解决中得到应用。直到近来几年，研究者们发现了几种FRFT迅速算法，使得分数阶傅里叶变换在信号解决各个领域得到了应用。
1.1 研究分数阶Fourier变换背景和意义
随着当代信号解决理论飞速发展，信号解决已经逐渐从初期稳定信号发展到了非平稳、非高斯、非单采样率复杂信号，为了满足科学研究和工程技术需要，研究人员发展了大量新信号解决工具。
傅立叶变换把信号转换成具备不同频率正弦分量叠加，以获得该信号整体频谱，在持续时间信号和离散时间信号解决中起着重要作用，是分析和解决平稳信号强大工具，而在非平稳信号德解决中就变得无能为力了。作为非平稳信号解决理论一种重要分支，分数阶傅里叶变换由于其独特特点和性质，在量子光学、量子力学、模式辨认、时频分析、信号解决等领域得到了广大科学研究人员青睐，在过去十年里新研究成果不断涌现。
分数阶傅里叶变换可以被看作是时间—频率平面旋转，和其她时间—频率分布有着密切联系。分数傅里叶变换是老式傅立叶变换推广，不但继承了老式傅立叶基本性质，还具备诸多其她长处。分数阶傅里叶变换可以在介于时域和频域之间分数阶域上分析和解决信号，可以呈现出信号逐渐从时域到频域变换所有特性，从而在某一方面突出问题某个特性。
由于分数阶傅立叶变换离散化算法不同于老式傅里叶变换可以简朴地在时域通过直接抽样来得到，因此分数阶傅立叶变换离散化算法已经成为近来研究重点。分数阶傅立叶变换离散化算法重要有一下三种类型：离散采样型，线性组合和特性分解型分解型[5]。本文重要是针对离散采样型分数阶傅里叶变换算法进行重点研究。

1.2 分数阶Fourier研究现状与应用
傅里叶变换在研究线性系统和进行信号解决时具备非常重要作用，但是随着研究领域不断发展，并且傅里叶变换自身也具备局限性，普通傅里叶变换已经跟不上科学研究与工程技术需要，于是分数阶分数阶傅里叶变换应运而生。
作为傅里叶变换推广，分数阶傅里叶变换是广义上傅里叶变换。由于通过光学设备很容易实现分数阶傅里叶变换，因而分数阶傅里叶变换一方面在在光学领域特别是光信号解决中得到了广泛应用。研究工作者将数学中分数阶傅里叶变换引入光学，形成了当代光学新分支，它是傅里叶光学发展和延拓，通过度数阶傅里叶变换，咱们可以用一种新观点去审视光传播、成像、信息解决等问题，并且还可以作为一种新解决工具为咱们解决这些问题。由于具备分数阶这一参量，使得分数阶傅里叶变换比普通傅里叶变换具备更多功能，从而导致它在光学和信息解决中必将有更多应用。因而，分数傅里叶光学已成为近年来信息光学前沿研究一种热点。
分数阶傅里叶变换这一概念提出最早可以追溯到1929 年。众所周知，傅里叶变换特性函数是Hermite函数乘以，相应特性值为。在1929年，Wiener寻找到了这样一种变换核，它特性函数是Hermite-Gauss函数，但是它特性值形式比普通傅里叶变换更完备。最后，Wiener将这一特性值修改为，这大概就是分数阶傅里叶变换最早工作。在1937年，Condon开始独立地研究了分数阶傅里叶变换基本定义，尽管Condon在论文中没有使用分数阶傅里叶变换这一术语，也没有讨论分数阶傅里叶变换基本属性，但是Condon有也许世界上是第一种直接研究分数阶傅里叶定义人。初期，对分数阶傅里叶变换发展做出了较大贡献人尚有Kober。在1939年，她提出了此外一种不同于Wiener形式定义。在定义分数阶傅里叶变换时候，Kober采用了类似于傅里叶变换分数幂形式理论。在1956年，Guinand引用了Kober结论讨论了整数阶与分数阶傅里叶变换关系。在1961 年，Bargmann 指出了可以用厄米多项式和积分变换理论来分别定义分数阶傅里叶变换。1973年，De Bruijn也依照了Kober理论简要地在更广泛范畴内讨论了分数阶傅里叶变换。此外，Patterson也是一种有杰出贡献初期研究者。1959年，Patterson在一篇文章中提到广义变换工具中就涉及分数阶傅里叶变换。1974年，Patterson理论被Knare证明。1980 年V. Namias为理解决量子力学中各种条件下Schrodinger 方程，通过研究分析，提出了比较系统分数阶傅里叶变换数学定义和基本性质，并且还讨论了其本征函数[1]。1987 年，A. C. McBride 和F. H. Kerr 在前人基本上又更进一步研究了分数阶傅里叶变换，把分数阶傅里叶变换看作充分光滑函数构成向量空间中算子，由此建立了分数傅里叶变换完整顿论系统[2]。
虽然早在20世纪代，分数阶Fourier变换研究就已经开始了，但是，严格来说，分数阶傅里叶变换真正受到注重则是在1980 年Namis工作后开始。Namis 把分数阶傅里叶变换定义成老式傅里叶变换分数幂形式，并揭示了分数阶傅里叶变换几种性质，这是从数学意义上开始对分数阶傅里叶变换进行了严格定义。1992 年，Mendlovic、Lohamann和Ozaktas 再次开始了研究分数阶傅里叶变换工作，开始对分数阶傅里叶变换物理意义进行定义，即把分数阶傅里叶变换解释为信号表达轴在时频平面旋转。在1993-1994 年期间，Almeida也再次分析了分数阶傅里叶变换，最后把分数阶傅里叶变换解释成了一种“角度” 变换，在时频平面内，信号表达轴沿坐标轴绕原点逆时针旋转任意角度后构成分数阶傅里叶域上表达办法。始终到，土耳其大学Haldun M. Ozaktas 专家，在她专著The Fractional Fourier Transform with Application in Optics and Signal processing 中为分数阶傅里叶变换研究进行了一次全面简介和总结。
分数阶傅里叶变换具备诸多老式傅里叶变换所不具备性质，在科学研究和工程技术等诸多领域得到了广泛应用。然而，始终以来由于缺少分数阶傅里叶变换迅速算法，因此在电信号解决应用领域中，分数阶傅里叶变换始终没能占据其应有位置。直到20 世纪90年代中期，研究人员才提出了几种分数阶傅里叶变换离散化办法。其中，Ozaktas专家所提出分解型离散化迅速算法最具应用价值。Ozaktas将分数阶傅里叶变换离散化过程分解为离散卷积运算，并借助傅里叶变换迅速算法FFT 来实现，从而使离散FRFT 计算具备和DFT 计算相似运算量。这样，分数阶傅里叶变换理论和应用办法才可以在电信号解决领域得到广泛应用[7]。
研究人员之因此对分数阶傅里叶变换情有独钟，就是由于分数阶傅里叶变换具备诸多老式傅里叶变换所不具备特殊性质。自从分数阶傅里叶变换被引人光学研究以来，近十近年时间里，国内外研究学者环绕着分数阶傅里叶变换定义、光学实现、分数傅里叶变换域滤波、自成像效应、迅速算法等方面进行研究，并获得了很大突破。分数阶次是分数阶傅里叶变换最重要参量，分数阶次引入使得老式傅里叶变换成为了分数阶傅里叶变换一种特殊状况。同样可以说，分数阶傅里叶变换是傅里叶变换广义推广，老式傅里叶变换中每一种特性和每一种应用都是分数阶傅里叶变换一种特殊状况。因而，在发展已相对比较成熟状况下，分数阶Fourier变换已经被用在科学研究和工程技术诸多方面，如扫频滤波器、人工神经网络、小波变换、时频分析、时频滤波和多路传播等。

1.3 本论文重要工作和构造安排
本论文重要工作是：
一方面在学习老式傅里叶变换基本理论基本上，重点进一步理解分数阶傅里叶变换应用，以及分数阶傅里叶变换发展动态；然后重点学习分数阶傅里叶变换原理以及离散化算法基本类型，进一步探讨了基于离散采样型分数阶傅里叶变换离散化算法；并对采样型分数阶傅里叶变换分解过程进行了细致研究，给出了程序流程图，基于MATLAB编程，实现了分数阶傅里叶变换离散采样型算法。最后通过对典型非平稳信号进行分数阶Fourier变换分析，研究信号特性，并验证程序可行性和对的性。
论文组织构造安排如下
第一章是绪论，简要阐明本课题研究背景和意义。简要阐明了分数阶傅里叶变换研究进展与有关领域应用。
第二章讨论了分数阶FOURIER变换有关理论基本。先简朴简介了老式FOURIER变换发展与基本原理，从而引出分数阶FOURIER变换，简介分数阶傅里叶变换基本原理、基本性质。
第三章重要分析了分数阶Fourier变换离散化办法，并分析了各自优缺陷，然后着重讨论了离散采样型离散化办法，并给出了算法流程图。
第四章是对分数阶Fourier变换综合实例分析与计算，通过对不同类型非平稳信号进行分析计算，验证程序可行性，并与线性组合型算法进行比较，得出两者优缺陷。
最后总结与展望，对全文所做工作进行概括性总结，并展望此后研究方向。
第2章 分数阶Fourier变换有关理论基本
2.1 老式傅里叶变换
老式傅里叶变换特点是将两个相对独立时域和频域联系起来，将信号分解成若干正弦信号叠加，从整体上展示信号曾经浮现过所有频率成分，合用于对拟定性信号和平稳信号进行分析。在时频平面上，可以把老式傅里叶变换看作是从时间轴逆时针旋转角度后到频率轴一种旋转变换。
2.1.1 持续时间傅里叶变换
持续时间信号频域可以通过持续时间信号傅里叶变换给出
（2-1）
普通把持续傅里叶变换称为傅里叶谱，或者也可以称为持续时间信号谱。持续时间信号可以由其逆变换得来，采用是傅里叶积分：
（2-2）
在式（2-1）和（2-2）中，是实数，它表达是持续时间角频率变量，量纲为弧度。式（2-2）给出是傅里叶逆变换式，可将其理解成形如无穷小负指数信号线性组合，其权重是角频率满足从到复常量。由式（2-2）定义可以看出普通持续傅里叶变换都是角频率满足时复函数，可用极坐标表达为：

其中，

式中，量称为傅里叶变换幅度谱，量称为傅里叶变换相位谱，两者都是实函数[10]。
普通来说，由式（2-1）定义持续傅里叶变换若存在，则必要满足如下狄里克雷（Dirichlet）条件：
（1）在任意一种有限区间内，信号具备有限个不持续点，且极值数目有限。
（2）该信号绝对可积，即

2.1.2 离散傅里叶变换 DFT
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）实质是对有限长序列傅里叶变换有限点进行离散采样，从而实现频域离散化。在频域，可以采用数值计算办法来进行数字信号解决，这样就使得数字信号解决灵活性增长了。
设是一种有限长序列，它长度为M，则把N点离散傅里叶变换定义为
(2-3)
把离散傅里叶逆变换定义为
(2-4)
式（2-3）、（2-4）中， ，N表达为DFT变换区间长度，。普通把（2-3）和（2-4）称为离散傅里叶变换对[9]。
2.2 Wigner-Ville 分布
在简介分数阶傅里叶变换之前，先简介一种时频理论重要概念，Wigner-Ville分布。前面讲到，由于老式傅立叶变换在解决非平稳信号时具备局限性，因此人们又开始对时频理论进行了新摸索。在研究过程中，有人却发现一种早己存在Wigner分布对信号分析十分有效。Wigner分布是由E.Wigner 在1932 年提出，直到1948 年,Ville 才将其引入信号分析领域。因此，人们将Wigner 分布又称之为Wigner-Ville 分布。
Wigner-Ville分布定义为：
（2-5）
2.3 分数阶Fourier变换基本概念
老式傅里叶变换由于研究最为成熟，因此在信号解决领域中，老式傅里叶变换是一种应用最为广泛数学工具。可以把傅里叶变换看作是一种线性算子，如果把老式傅里叶变换看做是从时间轴逆时针旋转后到频率轴一种变换，那么则可以把分数阶傅里叶变换算子看作是任意角度算子，并因而得到信号新表达。分数阶傅里叶变换在保存了老式傅里叶变换原有性质基本上又添加了其特有新特点，因此可以以为分数阶傅里叶变换是一种广义傅里叶变换[3]。
可以由若干种不同定义方式来定义分数阶傅里叶变换。需要阐明是，不同定义方式有不同物理解释，在实际应用中也各有不同，因此咱们依照自己研究需要找到适当分数阶傅里叶变换定义方式。
普通地，函数阶分数阶傅里叶变换可以依照需要表达为或。可以看作算子作用在信号上。
下面从线性积分变换角度给出分数阶傅里叶变换基本定义。定义在时域函数阶分数阶傅里叶变换是一种线性积分运算
(2-6)
其中，，把称为分数阶傅里叶变换核函数，其中：，，，是整数。
通过变量代换和式（2-6）可以进一步地表达为
，，
（2-7）
其中，。式（2-7）中所给出分数阶傅里叶变换定义是线性，但是并不能阐明它是不变除外，由于核函数不但是函数，还是阶数函数。对=1，有，，且
（2-8）
可见，就是普通Fourier变换。同样可以看出就是老式傅里叶变换逆变换。由于只能出当前三角函数参数位置上，因此，觉得参数定义是以4为周期，因此只需要考察区间 即可。当 时，；当时，。
上述事实用算子表述为：

其中，是任意整数。
分数阶次可加性是分数阶傅里叶变换一种非常重要性质，可以这样表达为：
（2-9）
这一特性可以通过重复使用式（2-1）得以证明，但系数中平方根会使这一过程复杂化。通过运用高斯积分给出直接积分表达使运算更简朴，即：
（2-10）
综上所述，可以对分数阶傅里叶变换做出第一种解释，即仅考虑区间，时分数阶傅里叶变换就是原函数，时分数阶傅里叶变换就是普通傅里叶变换。当从0逐渐地变化到1时，其分数阶傅里叶变换则平滑地从原函数变化到普通傅里叶变换。
还可以把分数阶傅里叶变换定义成时间—频率平面旋转，阶分数阶傅里叶变换是由变换矩阵定义线性正则变换，变换矩阵为
(2-11)
其中，。依照Radon变换（在一种平面内沿不同直线（直线与原点距离为，方向角为）对f（x，y）做线积分，得到像就是函数Radon变换）定义，可以把该矩阵当作为时—频平面上二维旋转矩阵。

图2-1 平面旋转角到平面
如图2-1所示，可以把傅里叶变换以为是：在时—频平面上将函数由轴旋转角度后到轴表达形式，即本来函数通过傅里叶变换由时域映射到夹角为频域；以此为参照，对函数分别做、阶分数阶傅里叶变换时，即分数阶算子、将函数分别旋转角度（）和角度（）之后，再分别映射到和阶域上状况。
2.4 分数阶Fourier变换基本性质
与老式傅里叶变换变换性质类似，分数阶傅里叶变换也具备许多重要性质，依照分数阶傅里叶变换基本定义，可以总结出如下重要性质。
1. 线性性质
几种函数线性叠加分数阶傅里叶变换等于这几种函数同级次分数阶傅里叶变换线性叠加
（2-12）
其中，， 是任意复常数。
2. 持续性质
对一种函数作、两次分数阶傅里叶变换，有
（2-13）
3. 指数可加性和互换性
分数阶傅里叶变换可以变化其变换先后顺序，并且有可加性和互换性

（2-14）
4. 可逆性质
先对一种信号进行p 阶分数阶傅里叶变换，再对该信号进行－p 阶分数阶傅里叶变换，则可得到原函数
(2-15)
5. 周期性质
分数阶傅里叶变换以4为周期
(2-16)
特别是当(2-16)式中 时，有
(2-17)
这是变换面自成像。
6. 平移性质
分数阶傅里叶变换平移性质，即
(2-18)
其中是输入平移量。由此可见，输入信号平移不但会导致附加位相因子，还会使分数阶傅里叶变换输出信号产生了平移。
7. 相似性质
分数阶傅里叶变换输入信号发生尺度变换时，不但会带来与尺度因子关于二次位相，并且还会引起分数阶傅里叶变换级次变化
（2-19）
其中是输入信号尺度变化因子，，并且有。这和老式傅里叶变换有着非常大不同。
8. 某些卷积与有关
可如下定义函数,卷积操作:
(2-20)
同理可以定义分数阶卷积为：
(2-21)
9.帕色伐定律
与老式傅里叶变换同样，分数傅里叶变换同样遵守能量守恒定理，满足帕色伐定律，即