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矩阵对角化及其应用摘 要矩阵的理论与方法贯穿于行列式、线性方程组、线性空间、线性变换、二次型 等各个方面，高等代数的许多问题都可以转化为相应的矩阵问题来处理.可对角化 矩阵（即能够与对角矩阵相似的矩阵）作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上都 有着十分重要的意义.本论文首先介绍了矩阵及其运算的基本概念和结论以及矩阵的特征值与特征 向量的概念，然后对可对角化矩阵的条件（包括充分条件和充要条件）及方法进行 了归纳总结，并给出具体例题以详细说明每一种方法的步骤.论文的另一部分内容 是总结可对角化矩阵的应用，包括在矩阵计算中的应用（求方阵的高次幕和开方以 及矩阵函数等）、利用特征值求行列式的值、在微分方程、向量空间、线性变换等 方面的应用.通过本文总结的方法能使读者更加深刻的理解可对角化矩阵的本质及 不同对角化方法的区别和联系，进一步培养学生的发散思维，加强学生的计算能力.关键词：矩阵，矩阵的对角化，充要条件，应用I矩阵对角化及其应用AbstractTheories and solutions about matrix could be applied throughout any aspects of the determinant,linear equations,linear space,linear transformation,and quadratic forms etc.,Solutions for many of the questions of advanced algebra can be converted into the method of corresponding matrix to figure out.The diagonalizable matrix(that is similar to diagonal matrix)as a special sort of matrix,is significant in both theories and applications,This paper introduces basic concepts and conclusions of matrices,as well as the concepts of eigenvalues and eigenvectors.Concrete examples are given in details in order to justify the procedures and purposes of each kind of solution.The other part of this paper is to summarize the applications of the diagonalizable matrix,such as:the high-power special matrix,using eigenvalues to figure out determinant,using eigenvalues and eigenvectors to figure out the matrix in reverse,identifying the similarity between matrices,and applications for many other aspects like vector space,linear transformation and so on.This paper can help readers understand the essence of the diagonalizable matrix distinction and links to different solutions in depth.It therefore further cultivates the students5 divergent thinking,and enhances their abilities of numeration as well.Key words：Matrix,Diagonalizable matrix,sufficient and necessary condition,applicationii矩阵对角化及其应用目 录第一章前言.11.1 矩阵对角化及其应用的背景和意义.11.2 矩阵对角化及其应用的研究现状.11.3 论文的结构安排.2第二章矩阵的相关概念及定理.32.1 矩阵的相关概念、性质.32.2 矩阵的相关定理.42.3 矩阵的特征值与特征向量.52.4 X 矩阵的相关概念.6第三章矩阵对角化的条件及方法.73.1 特征值特征向量与矩阵对角化.73.2 相似变换与矩阵对角化.83.3 4一矩阵与对角化.11第四章 矩阵对角化的应用.124.1 矩阵对角化在矩阵计算中的应用.124.1.1 矩阵对角化在方幕中的应用.124.1.2 矩阵对角化在开方中的应用.154.1.3 矩阵对角化在矩阵函数中的应用.164.2 利用特征值求行列式的值.174.3 矩阵对角化在解常微分方程中的应用.174.4 矩阵对角化在向量空间的应用.184.5 矩阵对角化在线性变换的应用.19第五章结论.20参考文献.21致谢.22声明.23矩阵对角化及其应用第一章 前 言1.1 矩阵对角化及其应用的背景和意义线性代数以及高等代数是本科教学中很重要的一门课程，在高等代数中，矩 阵的理论与方法贯穿于行列式、线性方程组、线性空间、线性变换、二次型等各 个方面，高等代数的许多问题都可以转化为相应的矩阵问题来处理.同时，矩阵 也是许多其他数学分支和学科中研究问题的重要工具.因此归纳、总结、研究和 处理矩阵问题的各种方法，对解决多种线性代数问题有很大的意义.可对角化矩阵（即能够与对角矩阵相似的矩阵）作为一类特殊的矩阵，在理 论上和应用上都有着十分重要的意义，例如求方阵的高次幕、利用特征值求行列 式的值、由特征值和特征向量反求矩阵、判断矩阵是否相似、在向量空间、线性 变换等方面都有应用，同时也是实际工程中应用最为广泛的工具.在一般的线性代数和高等代数的教材中，对矩阵对角化都进行了较为详细的 介绍.但矩阵对角化的方法及其应用，在线形代数和高等代数教材中，解释的都 比较零散，因此对矩阵对角化方法及对角化矩阵的应用进行归纳和总结具有一定 的意义.对矩阵对角化的方法及其应用进行讨论、归纳、比较和总结是一件非常有意 义的事情.研究矩阵的对角化的方法，对具有不同性质的矩阵采取不同的方法，以便简 化对角化矩阵的过程，然后把矩阵对角化应用到解决矩阵的计算问题中去，简化 计算过程，降低计算难度.通过对矩阵对角化的方法及其应用进行总结和归纳，不仅可以加深对矩阵的 理解和认识，还能简便运算，在实际应用上得以利用.1.2 矩阵对角化及其应用的研究现状在代数学的发展史上，矩阵一直都是人们所关注的重要内容，研究矩阵对角 化及其应用的论文比比皆是，其中不乏有很多对矩阵对角化及其应用有独到见解 和深度的论文.例如，从矩阵可对角化的充要条件上看，文献1把判断矩阵是否对角化的 问题与求它的特征向量的问题联系了起来，在矩阵的不同特征根较少时，这个方 法比较方便.文献2给出了数域尸上阶矩阵可对角化的一个充分必要条件，而文献3则是利用高等代数和近世代数的有关理论给出了矩阵可对角化的一个 1矩阵对角化及其应用充分必要条件.在矩阵可以对角化时，对矩阵对角化的方法也有很多种，文献4中，使用 一种区别于传统方法的矩阵对角化技巧，是利用矩阵的初等变换在求得特征根的 同时，求得各特征根所属的全部线性无关的特征向量，包括：1、有个特征单 根的阶可对角化矩阵的对角方法；2、有特征重根的可对角化矩阵的对角化方 法.文献则是从线行变换的角度上，即线性变换的矩阵与线性变换所在空间的 基严格对应，然后转化为寻找合适的基，这个过程就是线性变换的相似对角化.在应用方面，文献6利用矩阵的对角化给出了两类数列的通项公式.文献7 则对可对角化矩阵做出了较为全面的概括和分析.1.3 论文的结构安排本论文是一篇综述型的论文，主要总结归纳了矩阵对角化的基本概念、性质，一些充要条件的判断及其应用等方面的知识.具体结构如下：在本文的第一章里，首先对涉及本论题的相关概念及背景知识做概括性的介 绍，并概述此问题的研究现状.第二章介绍的内容主要是矩阵的一些基础知识，是为后面的内容作一个铺垫.第三章和第四章是本篇论文的核心,第三章在矩阵 对角化的概念及条件上做了详细的讲解,其中包括很多种矩阵对角化的充要条件,比如利用矩阵几何重数与代数重数相等,矩阵的H个线性无关的特征向量等.第 四章是介绍矩阵对角化的应用,包括在线性代数,矩阵函数,微分方程等方面的应 用.2矩阵对角化及其应用第二章矩阵的相关概念及定理2.1矩阵的相关概念、性质定义2.1.1-X个数旬(i=1,2,，加=1,2，M排成”行一列的数表an an ainA。21 a22 a2H ci i a r am m2 mn称为WXK型的矩阵，记作A=(%).或记作人，(4)*“，数4为矩阵A的第 行第，列的元素，其中z称为行标，J称为列标.若A与3都是租x 型矩阵，则 称A与8是同型矩阵.定义2.1.3数；I与矩阵4=(4)的乘积，记作AA或?U,规定为定义2.1.2设矩阵A=(旬)，3=(%)都是wx 型的矩阵，4与8的和记作A+5,规定为a 1+如“12+，12 an+4”A+B=a2+%1 a 22+622 a2n+2”。川+%限+勾2 amn+bmn/Iq”为212 nAA=AA=21 22 2H *=()i助ml 及,2 .,mn定义2.1.4设矩阵A=(%)是一个mxs型的矩阵，矩阵3=(%)是一个sx 型的矩阵，规定矩阵A与8的乘积是一个mx孔型的矩阵C=(%),其中cij=aibj+ai2b2j+,+aisbsj=aikbkj(=1，2，m；j=l,2,，n).k=称矩阵C为矩阵A与5的乘积矩阵，记作C=A+B.定义2.1.5设型的矩阵3矩阵对角化及其应用A=%。21*a 1 _ mlan ana 22 a2n a o am2 mnmxn把矩阵A的行换成同序号的歹|J,得到一个X小型的矩阵a a2 ama2。22。m2 称为4的转置矩阵，记作_ain a2 nm _i nxt n定义2.1.6设A是阶方阵，由方阵A的元素按原来位置构成的行列式：a 1 12 anA _ a2i a22 a2n an Q2 ann称为方阵A的行列式，记作或defA定义2.1.7设A是阶方阵，如果存在阶方阵3,使43=84二石，则方阵A是可逆阵(或称A可逆)，称方阵8是4的逆阵.定义2.1.8如果线性空间中有个线性无关的向量，而没有更多的线性无关的向量，就称其是几维的.2.2矩阵的相关定理区定理2.2.1设A,B,C是同型的矩阵，厂与s为数，则有a.A+B=B+A；b.(A+B)+C=A+(B+C)；c.A+O=A；d.r(A+B)=rA+rB；e.(r+s)A=rA+sA；f.r(sA)=(rs)A.定理2.2.2设A为小xk矩阵，B、。的行数和列数使下列各式的乘积有定义.a.A(BC)=(AB)C；(乘法结合律)b.A(B+C)=AB+AC；(乘法左分配律)4矩阵对角化及其应用c.(B+C)A=BA+CA；(乘法右分配律)d.V(AB)=(rA)B=A(rB),厂为任意数；e.ImA=A=AIn；(矩阵乘法的恒等式)定理2.2.3设A与B表示矩阵，其行数和列数使下列和与积有定义，则A.(At)t=A.B.(A+BY=At+Bt.。.对任意实数r,(rA)T=rAT.d.(AB)t(I h定理2.2.4设4=,若ad-JcwO,则A可逆且c dad-bc_-c a_若Ad-Bc=O,则A不可逆.定理2.2.5若A是可逆x几矩阵，则对每一个R中的8,方程有唯 一解 x=4一%.定理2.2.6a.若A是可逆矩阵，则A-也可逆而且(A-广=4.b.若A和8都是x可逆矩阵，A3也可逆，且其逆是A和8的逆矩 阵按相反顺序的乘积，即(45=5-弘-1c.若A可逆，则也可逆，且其逆是A-1的转置，即(万)7=(4一丫.定理2.2.7 X 矩阵A是可逆的，当且仅当A行等价于/“，这时把A变 为In的一系列初等行变换同时把In变成A，2.3 矩阵的特征值与特征向量定义2.3.1设A是数域P上一八级矩阵，如果对于数域P中一数%,存 在一个非零维向量使得隹=常那么称为A的一个特征值，而自称为A的属于特征值的一个特征向量.定义2.3.2设A是数域尸上一 级矩阵，4是一个数字矩阵花-A的行列 式5矩阵对角化及其应用丸一%1-al2-an一 _ r._ a2E-A=U21 u22 u2nan-an2 -ann称为A的特征多项式，这是数域尸上的一个几次多项式.定义2.3.3对于数域尸上一级矩阵A的任一特征值4,全部适合条件Aa=4a的向量a所成的集合，也就是A的属于4的全部特征向量再添上零向量所成的集合，是V的一个子空间，称为A的一个特征子空间，记做匕。.2.4 4-矩阵的相关概念定义3.3.1 一个矩阵，如果它的元素是丸的多项式，即P幻的元素，就称 为几-矩阵.定义3.3.2下面的三种变换叫做4-矩阵的初等变换(1)矩阵的两行(列)互换位置；(2)矩阵的某一行(列)乘以非零的常数c；(3)矩阵的某一行(列)加另一行(列)的0(4)倍，夕(4)是一个多项式.定义3.3.3设2-矩阵A(A)的秩为r,对于正整数k,lk(a l)2(z+1)=/I=4-1,23=1.当；1=1时,(AE-A)x=0基础解系7=0,%=Wndim?=2.1(1当4=1 时，(2E-A)x=0 n 基础解系/=0 ndim=l.I因为dim/+dim=3(即矩阵A的特征子空间维数之和等于其阶数),所以A可对角化.、0 T,1 0令7=0 1J 0(I,则了AT为对角阵0I。0 01 00-b3.2 相似变换与矩阵的对角化u对于一个阶矩阵A,是否可以对角化，怎样获得相似矩阵尸，在一般的教 材上都采用相当繁琐的解方程的方法来解决.其实仅需矩阵的乘法运算就可以判 定矩阵是否相似于对角阵，并在矩阵对角化的同时，简洁地构造出相似变换矩阵 P,完全无须解线性方程组.定理3.2.1设4,4,4为阶矩阵A的全部相异特征根，其重数分别为%=n,则A相似于对角阵的充要条件是fl(4石-A)=0.i=l i=定理3.2.2 设4,4,4为阶矩阵A的全部相异特征根，其重数分别为%,4,s，f1rli=n，则A相似于对角阵的充要条件是 i=l叱=(4 A)的秩为 R(%)=%(j=1,2,s).推论3.2.1 设4,4,人为阶矩阵A的相异特征根，重数分别为“，松,4，则矩阵=口(4/-4)的列向量中有对应于人的%个线性无关的 特征向量.8矩阵对角化及其应用从定理3.3.1和定理3.3.2可以看出，矩阵对角化的判定以及求矩阵的线性 无关的特征向量可以归结为矩阵的乘法运算，设4?（=具体计算过程 归结如下算法3.1.算法3.1：Stepl 对（不作初等变换化为（。（及尸），其中 D（A）=diag（4（2）,刀,dn）,则A的特征值恰是d1（A）,4（47（团=。的 根；Step2 如果A的特征值全在厂内，且对每个4有0（4）中零行数目二4的重数，则A可以对角化，否则，A不可以对角化；Step3 对于每个4在尸（儿）中取出与。（4）中零行对应的行向量 记丁，得A属于4的线性无关的特征向量；Step4 若 A 可以对角化，作可逆矩阵 r=（4,%,4匕,七,以），则广四丁 二力微（4用儿生，4纥），国为单位阵.例3.2判断下列矩阵可否对角化,若可以，求可逆矩阵T,使二区丁为对角阵.(1)A=011)-1I3-2I 32-P-2 26-I(ATw,E)=0 0-1-100-100r-i002-1-1-12-110-12-10、01,2-12-2112-2012-2A2-2-A A-lA-lZ2-20才-A0-2(/1-I)20-110-11/p-1171A+l-11A+l-L01-2+20-12+3111(2)A=解：T01101001000100010100010712+1-22+2+179矩阵对角化及其应用故A的特征值为4=0，A2=1(2重根)，因为。中的零行数为1 w Z的重数2,所以4不可以对角化.(2)(atw,e)=U-3V-22-22/1-4-2124+2-2-3-62+10、02+122-4-A2+222-2+3100001010T100010100001010120A-222 4022-4-Z2+2A 2+3)10000110002-224 40A-2000-(2-2)(2+4)00-(A-2)(2+4)01-201-212-A+3?12,-2+l?001故村的特征值为4=2(2重根)，4=-4,又。(2)中零行数=2=%的重数;D(-4)的零行数=1=几2的重数，故A可以对角化，且由1 0 0 0 0 1、(D(2),P(2)=0 0 0 0 1 2,、0 0 0 1-2 3,可读出a=(0,1,2尸，=(1,-2,-3)7是4属于2的线性无关的特征向量，由 0 0 0 0 1)(D(-4),P(-4)=0-6 0 0 1 2,、0 0 0 1 2 3,得/=(L-2,3尸是A属于-4的现行无关的特征向量，令9 1 fT=1-2-2,、2.3 3,2、贝|JLAT=2、一4,10矩阵对角化及其应用3.3 4-矩阵与矩阵对角化力-矩阵可以进行加减乘除及多项式乘以矩阵的运算，其运算法则则与数字 矩阵的相应运算法则相同，并有类似的运算性质.由级单位矩阵E经过一次4-矩阵的初等变换得到的矩阵称为初等4-矩 阵，共三类(1)P(i,j)-一交换E的3/两行(列)所得的初等4-矩阵.(2)尸(湫)一-用上wO乘E的第，行(列)所得的初等-矩阵.(3)P(i,/(。()-一将E的第i行加上第j列的9(4)倍(或第j列加上第i列的 奴倍)所得的初等丸-矩阵.定理3.3.1复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是，4的初等因子 全为一次的.定理3.3.2复数矩阵人与对角矩阵相似的充分必要条件是，A的不变因子都没有重根.例3.3.1已知矩阵4=3-2、一 47-5-10-3、23,判断矩阵是否可对角化.解:AE-A=2-324-74+510-2I4-3 2 4-1(22+2A-1)0-22X、02+1/0乂丁+22-1)0、2riri2-0-1(/l-l)(/l2+1)3、1000000-1(/l2+2-1)0 j(A2-2/1-1)00b-22 A+1J100 0、-01 0.0 0(A-l)(22+l)?于是A的不变因子为4(2)=J2(A)=1,d3w=(A-1)(A2+1)=23-A2+2-1,而A的初等因子为A A i,A i,所以A可对角化.11矩阵对角化及其应用第四章矩阵对角化的应用4.1 矩阵对角化在矩阵计算中的应用以2同4.1.1 矩阵对角化在方幕中的应用一般说，求矩阵的高次塞比较困难，但若矩阵A能相似与对角矩阵(A可对 角化)，即若存在可逆矩阵P,使得尸一幺尸=5,其中8是对角阵则A=尸即，An=(PBP-丁=PBP-PBP-PBP-=PBnP x,而对角阵3的次塞是由各对 角元素的几次基组成，所以可通过A的相似对角阵来求4?.例4.1设某城市共有30万人从事农、工、商工作，假定这个总人数若干 年内保持不变，而社会调查表明：(1)在这30万就业人员中，目前约有15万人从事农业,9万人从事工业,6万人从事商业；(2)在从农人员中，每年约有20%改为从工，10%改为经商；(3)在从工人员中，每年约有20%改为从农，10%改为经商；(4)在从商人员中，每年约有10%改为从农，10%改为从工.现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多年之后，从事各业人员总 数之发展趋势.解:若用3维向量X，表示第i年后从事这三种职业的人员总数，则已知15、X=9而欲求Xl X?并考察在-8时X”的发展趋势，引进3阶矩阵人=%用以刻画从事这三种职业人员间的转移，例如：的3=0表明每年有10%0.7 0.2 0.1、的从工人员该去经商.于是有A=0.2 0.7 0.1、0.1 0.1 0.8,由矩阵乘法得12.9、X1=ArX=AX=9.9”,11.73、X2=AX1=A2X=10.23、8.04,所以X=At=AX,要分析X”就要计算A的次褰可先将A对角化,12矩阵对角化及其应用0.7-A 0.2 0.1A-AE=0.2 0.7-4 0.1=(l-)(0.7-/l)(0.5-A).0.1 0.1 0.8-/I故由4=1,%2=。7%3=0.5分别求出对应的特征向量令。=%,%,的，则有=纱。一从而有A=Q3Q-1再由X=AX,10 0、B=0 0.7 0、0 0 0.5,Bn0(0 0 0.51可知00时将趋于0I。0 0、0 00 Q)0001-V5P-,An=P1-V52 p.0o2 J1+62o0V14矩阵对角化及其应用由此得 an经计算得4=例4.4计算阶行列式a b cabcab,(bc 0,a2 w 4bc).解:这个行列式的特点是主对角线上的元素全是，上次对角线上的元素全是b,下次对角线的元素全是c,其余元素为0,按第一行展开得 由上式得Dn=aDn_x-bcDn_2.DnJ-bcY D0=AI*=A2I*=An-2二A 一 2(2 i a-be令A=10 J则b八 2-2,*a)因为w4儿所以4可对角化，只要求出A-可以了.4.1.2矩阵对角化在开方中的应用5-3 2、例4.5 已知A=6 4 4i-4 5)解:先求A的特征根求8,使得2-5XE-A=-6-432+44-2-4=(Z-1)(2-2)(2-3)2 515矩阵对角化及其应用特征根4=1,4=2,4=3,A可对角化.1 1)取尸=2 12,尸的列向量是4=1,2,3所对应的特征向量，则11 0 2J，-2 2-1、P=2-10J T L(I则A=尸2fl所以，B=P V2 P 1、5-2+2在+百-4+2及+26-2+2732-V2-V3-1+73 4-72-273-2+2732-273-1+27374.1.3矩阵对角化在矩阵函数中的应用4 6 0、例 4.6 已知 A=-3-5 0,求 e，,cos A.3-6 1?解:可求的def/A)=(2+2)(；l 1了,即A的特征值为4=-2,4=4=1.对应4=-2的特征向量为片=(-1,1,1尸，对应4=%=1的两个线性无关的特征向量为 g=(2,1,0尸，=(),0,1尸.于是-1-2 0、P=1 1 0 使得1。1J-2PAP=1b0、0,cos(-2),cos A=P cosl pi1)为数域P上次数小于几的多项式及零多项式的全 体，则微分变换在尸X“的任何一组基下的矩阵都不是对角阵.2 H-1证明：取尸x的一组基1,X,，,贝Ur在这组基下的矩阵 2!(n-1)!(o R 为o J)所以1花一川=儿若c在某一组基下的矩阵B为对角矩阵，由A8知A可对角化，存在可逆矩阵T使得1)丁=8,所以A=由t的特征值全为零知3二0,所以A=0,这不可能.所以微分变换在PX”的任何一组基 下的矩阵都不是对角阵.19矩阵对角化及其应用第五章结论本文在介绍矩阵的一些相关概念和结论的基础上，对矩阵对角化的若干问题 进行了归纳总结，包括矩阵可对角化的条件和可对角化矩阵对角化的方法以及矩 阵对角化的一些应用.矩阵对角化的条件和方法，主要分为三部分，第一部分为矩阵的特征值和特 征向量与矩阵对角化的关系.矩阵A有个线性无关的特征向量是矩阵A可对 角化的充要条件，以此为基础，又介绍了矩阵特征值无重根和有重根两种情形下 矩阵可对角化的条件并分别举例说明.第二部分是利用相似变换讨论矩阵的对角 化，即对于一个阶矩阵4给出仅需矩阵乘法运算就可判定矩阵是否相似于对 角阵的方法，在此方法中，矩阵对角化的同时，还可简洁的构造出相似变换矩阵 P,完全无须解线性方程.本文介绍了该方法的详细步骤，并举例说明.第三部 分介绍了由4-矩阵的知识得到的矩阵可对角化的条件，即复矩阵A可对角化的 充要条件是它的初等因子全为一次的.这说明判定矩阵是否可对角化可以转化为 求矩阵的初等因子的问题.止匕外,本文还通过例子对矩阵对角化的应用进行了说明，主要包括矩阵计算、行列式计算、求解微分方程、向量空间、线性变换等5方面的应用.20 2115靳廷昌.有两个特征根矩阵的对角化J.数学通报，1997(11):34-3514DavidC.Lay.线性代数及其应用M.机械工业.2005.8.courseM.第八版.高等教育.2005.7.13BernardKoIman,DavidR.Hill.Linearalgebraanappliedfirst12史荣昌，魏丰.矩阵分析(第二版)M.北京:北京理工大学.2005.20(4):248-25111李佩贞.矩阵的对角化与相似变换矩阵J.中山大学学报，2000,10姚慕生.高等代数学M.上海:复旦大学.1995.电子.2004.107-1249DavidC.Lay.LinearAlgearaAndItsApplicationsM.第三版.北京：8石生明，王萼芳.高等代数第三版M.高等教育.2004.5.7张正成.可对角化矩阵的应用J.科技资讯.2007,24:2522536岳噪.利用矩阵对角化求数列通项J.高等数学研究.2007,10(4):6668数学研究.2007,10(4):33355彭德艳，金传榆.“相似对角阵”与“合同对角阵”求解过程辩析J.高等4耿翊翔.矩阵对角化方法讨论曲靖师专学报.2000,19(3):293128：10113周明旺.关于矩阵可对角化的一个充要条件J.通化师范学院学报.2007,报.2007,9(1)2富成华，崔殿军.矩阵可对角化的一个充分必要条件J.辽宁师专学1贾秀芹.矩阵可对角化的充要条件J.文化教育.2007,36(4):150参考文献矩阵对角化及其应用