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中考试题分析(一）
---—新浙教版八下1---3章
和平中学 杨建兵

第一章 二次根式
中考声音：本章主要讲述了二次根式的意义和性质，运算和应用两个方面.在各地中考中,本章知识主要以选择题，填空题，计算化简题的形式进行考查。有时也穿插在解答题中加以运用，特别是（）2=（≥0）， =||这两个公式在解题中的应用,更是考查的重点.另外有关二次根式的混合运算也是历年来考生容易失分的内容.与过去相比，降低了对二次根式的化简要求(分母有理化），而对数形结合和实际问题的应用更为注重。

典型例题：
一、二次根式的意义和性质
例1、（2005 杭州）若化简｜1-x ｜— =2x -5,则的取值范围为：（ ）
A、x为任意实数 B、1≤x≤4 C、 x≥1 D、x≤4
分析:此例是对公式 =|｜的考查，但在公式的应用时有一定的逆向思维，具有一定的困难,并结合了不等式的知识。
解: ｜1—x ｜- =|1-x ｜- =｜1-x |-｜x- 4|
要使｜1—x ｜-｜x- 4|=2x -5，那么只有当|1-x ｜=x-1, |x— 4|=4-x时才能成立.
∴1-x≤0，且x- 4≤0
∴x≥ 1且x≤4
∴1≤ x≤4
故选B。

例2、(2005 深圳)实数a， b在数轴上的位置如图所示， b 0 a
则化简 ｜a－b｜－的结果是：( ）
A、2a﹣b B、b C、﹣b D、﹣2a+b
分析：此例是利用数形结合获得a， b数值的信息，从而应用 =｜|进行化简。
解：原式=｜a－b｜-=｜a－b|—｜a|
由数轴可知：a＞0，b＜0
故原式=a－b—a=－b
故选C.

例3、（2004 河南省实验区）若｜a﹣b+1|与 互为相反数,则(a+b）2004=
分析：此例主要是对（）2=（≥0）的考查，并对初中阶段的几种常见的非负数
(≥0，｜｜ ≥0，2≥0)的特性的应用.这一知识点在近几年的教学中是经常出现的,应使学生引起高度重视。
解:由|a﹣b+1|与 互为相反数可得：|a﹣b+1|+=0
又∵|a﹣b+1|≥0，≥0 ∴｜a﹣b+1|=0 ，=0
即:a﹣b+1=0，a+2b+4=0 得:a=—2，b=—1
∴（a+b）2004=3 2004

二、二次根式的运算和应用
例4、（2005 浙江金华）计算(1+）－()0 +(）－1
说明：公式 a0 =1（a≠0） , a－n =（a≠0) 同样适合于二次根式。
解：原式=+2—1=+1

例5、(2004 绵阳）请先化简下面的式子，再选一个你最喜欢的数字代入式子进行求值。
÷
分析：此试题是一道开放性题目,但x的取值并不是随意的，那么我们在化简正确的前提下，必须找准x的取值，而x的取值范围可由不等式组x-1＞0，x2-x＞0确定.
又 ∵ x-1>0
x2-x>0

∴ x>1 x>1
x>0 或 x<0
x-1>0 x-1<0

∴ x>1
∴ 令x=4（x的植大于1即可）时，原式==2
解:原式 = ÷
= ×
= ××
=

说明：随着课改的不断深入，像本例这类试题，越来越成为中考的热点试题，但如果一不小心，的取值很容易取错,平时在教学中应加以强调和训练。

文理畅想
谈祥柏（中国人民解放军军医大学数学教授），在科普领域辛勤耕耘的同时,对文学诗歌也很有研究。有一次，他将我国近代著名作家徐志摩一首很有名的新诗《再别康桥》中的一句诗句“轻轻的，我走了。正如我轻轻的来”组成了一个有趣的数学题目,使数学渗入了诗歌领域.经改编,上述两句诗变成了如下的等式组：

= + 走了
正 – 如÷ 我 = ÷

这里，相同的汉字代表0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中相同的数字，开平方得出的数，均为整数,你知道这个等式组的解吗？

第二章 一元二次方程
中考声音：本章主要讲述了一元二次方程的定义,解法和应用三个方面。重点是一元二次方程的解法,难点是一元二次方程的应用；是每年中考必考的内容之一.常见的题型有填空、选择和中档题，而且经常和其它知识相结合,作为综合题或压轴题.占总分值的10%—20%。在一元二次方程中还经常涉及到根的判别式（△=b2-4ac）的应用，而对于原来比较重要的内容，根与系数的关系（韦达定理）在中考中已不再要求，当然此内容可作为课外探索性学习的内容，让学有余力的学生去研究。（中考信息：对于这些删减的知识点，据了解在中考中可能会作一定的放宽处理，也就是说，只要学生能在解题时说明清楚，也可得分。具体大家可以参考有关的初三复习资料说明）

典型例题：
一、一元二次方程的解法和应用
例1、（2005 北京)用配方法解方程x2﹣4x+1=0。
解：移项,得x2﹣4x= ﹣1
配方，得x2﹣ 4x+（﹣2）2= ﹣1+(﹣2)2
即（x﹣2)2=3 ∴ x﹣2=±
∴ x1=2+ ，x2=2﹣
说明：用配方法解一元二次方程，步骤较复杂，又易出错，所以平时学生极少用.但教师应该提醒学生引起重视，因为配方法不仅是推出公式法的基础，而且每种方法都有它特有的作用。象本例就指定用配方法解方程,足见它的重要性。

例2、（2005 吉林）一条长64cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的面积和为160cm2，求两个正方形的边长。
解：设一个正方形的边长为x cm，根据题意得,
X2+（）2=160，解得x1 =12，x2 =4
经检验,两个根均符合题意。
答：两个正方形的边长分别为12cm和4cm。

例3、（2005 宜昌)我国年人均用纸量约为28kg，每个初中毕业生离校时大约有10kg废纸，用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树。
（1） 若我市2005年初中生中环保意识较强的5万人，能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐。
（2） 宜昌市从2001年初开始实施天然林保护工程，到2003年初收到显著成效，森林面积大约由1374。094万亩增加到1500.545万亩，假使我市年用纸量的15%可以作为废纸回收，森林面积年增长率保持不变，请你按宜昌市总人口约为415万计算:在从2005年到2006年初这一年度内,我市新增加的森林面积与回收废纸所能保护的森林面积之和最多可能达多少亩？(精确到1亩）

解：（1）、5万初中毕业生利用废纸回收使森林免遭砍伐的最少亩数是：
5×104×10÷1000×18÷80=112。5（亩）.
或分步骤计算：5万初中毕业生:
① 废纸回收的数量：5×104×10=5×105（公斤)=500（吨）；
② 因废纸回收使森林免遭砍伐的数量:500×18=9000；
③ 因废纸回收使森林免遭砍伐的最少亩数：9000÷80=11。5(亩)。
(2）、设2001年初到2003年初我市森林面积年均增长率为x,根据题意可得：
1374.94×（1+x）2=1500。545
解得，x=0。045=4.5％
∴2005年初到2006年初全市新增加的森林面积：
1500。545×104×（1+4。5％）2×4。5％=737385（亩）。
又全市因回收废纸所能保护最多的森林面积：
415×104×28×15％÷1000×18÷50=6275（亩）.
∴新增加的森林面积与保护的森林面积之和最多可能达到的亩数为：
737385+6275=743660（亩）

说明：列一元二次方程解应用题，和以往一样，在新教材中主要就介绍了这两种类型（面积和增长性问题），应该是今后命题的主要方向。另外，与经济、生活有关的类型还有打折、营销、方案设计等等。这类问题不仅要有生活经验的积累，了解掌握一些经济规律，还要灵活运用相应知识、实际要求等对求出的解进行检验.上述例3中,虽然文字长、数据多，但题目并不难;关键在于审题，分析数据，找到数与数间的关系.不要因为文字长，教学中操作难而忽视了对学生阅读能力的培养。同时,本题渗透的保护森林，废纸回收利用等意识反映了现实生活的热点，这启示我们，社会生活的热点是考题设置的背景素材,平时应关注，有助于理解题意，扩展解题思路。

二、一元二次方程根的判别式
例4、（2004 南通市）已知关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m=0。请选取一个你喜欢的m值，使方程有两个不相等的实数根，并说明它的正确性。
解:∵△=9﹣4（1﹣m）=5+4m＞0，∴m＞﹣.
故选取m的值大于﹣均符合题意，此时可考虑m的取值让计算简便。如取m=0,原方程变为x2+3x+1=0.此时△=32﹣4×1＞0，∴此方程有两个不相等的实数根。
说明：此例因为选取的m值不唯一，答案就有多种情况，所以，△的大小是解题的关键。

三、一元二次方程与不等式(组）、函数的综合应用
方程、不等式、函数是初中数学中最主要的三种数学模型,它们的结合历来是中考命题的重点方向，是学习代数的重点话题；同时也揭示了方程思想在初中数学中的地位和作用。
例5、已知拋物线y=–x2+2（m–1）x+m+1
（1）、求证此拋物线与x轴有两个不同的交点。
（2）、当x=2时,求以拋物线与坐标轴的交点为顶点的三角形的面积。
（3）、当x=2时，求不等式–x2+2（m–1）x+m+1＞0的解。

解:（1)、∵△=4（m﹣1)2+4（m+1）=4m2﹣4m+8=4(m﹣1)2+4＞0
∴无论m取何值,此拋物线与x轴总有两个不同的交点.
3
-1
（2）、∵x=2，∴y=–x2+2x+3 y
令y=0，则–x2+2x+3=0，得x1 =–1，x2 =3
∴拋物线与x轴的交点坐标为：(–1，0），（3，0） 3
令x=0,则y=3
∴拋物线与y轴的交点坐标为：（0,3） O x
如图所示:S△=×4×3=6
（3)、∵–x2+2(m–1）x+m+1＞0，即y＞0
∴应取X轴上方的拋物线部分，此时所对应的x的范围为–1＜x＜3
说明:本例充分体现了方程、不等式、函数之间的内在联系,在平时的教学中应让学生明确这一点,明确方程、不等式、函数之间可以相互转化。对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）,
当y=0时，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0） 就转化为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）；
当y＞0或y＜0时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） 就转化为一元二次不等式ax2+bx+c＞0
或ax2+bx+c＜0 （a≠0）。

第三章 频数及其分布
中考声音：本章是继七上“数据与图表”,八上“样本与数据分析初步"的基础上进一步学习统计知识。统计学的知识在近几年的教材改革中可以说是异军突起，几乎遍布初中数学学习的各个阶段。在中考中的地位也越来越明显,这也正是新课程理念的充分体现，体现了“数学来源于生活，又应用于生活”和“人人学有价值的数学”。本章的主要知识点是頻数分布直方图和頻数分布折线图的学习，重点考查了学生对数据分析、整理、运用的能力。

典型例题:
以下是有关本章内容的几个中考题，供大家在今后的教学作参考。

例1、(2006 湖州）初三某班对最近一次数学测试成绩（得分取整数）进行统计分析，将所有成绩由低到高分成五组，并绘制成如下图所示的頻数分布直方图，请结合直方图提供的信息，回答以下问题：
2
9
(1）、该班共有 名学生参加测试; 人数
（2)、在该頻数分布直方图中画出頻数 15 14
折线图; 12
（3)、这次测试成绩的中位数在 10
分数段内; 9
(4）、若这次测试中,成绩在80分以上 6 5
（不含80分）为优秀，
那么该班这次数学测试的优秀率是多少？ 3 成绩(分)

50。5 60。5 70.5 80。5 90。5 100。5

例2、(2006 金华)某年级组织学生参加夏令营活动,本次夏令营分为甲、乙、丙三组进行活动.下面两幅统计图反映了学生报名参加夏令营的情况，请你根据图中的信息回答下列问题：
报名人数分布直方图 报名人数扇形分布图
人数（人）

25
25 甲组
30％
20 15 丙组
15 50%
乙组
甲 乙 丙 组别
10 20%

(1）、该年级报名参加丙组的人数为 ；
（2)、该年级报名参加本次活动的总人数为 ，并补全頻数分布直方图;
（3）、根据实际情况，需从甲组抽调部分学生到丙组,使丙组人数是甲组人数的3倍,应从甲组抽调多少名学生到丙组？