2021中考数学热点题型专练-反比例函数.docx

2021中考数学热点题型专练 反比例函数

2021中考数学热点题型专练 反比例函数

年级：
姓名：

热点08 反比例函数
【命题趋势】
1．反比例函数解析式的确定；
2．反比例函数中k的几何意义；
3．反比例函数与一次函数结合，根据图象解答相关问题．
【满分技巧】
一、反比例函数的图象及性质
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
二、反比例函数的图象与几何图形的关系
1．常见的有：（1）双曲线与三角形的关系；（2）双曲线与四边形的关系；（3）双曲线与圆的关系；（4）两条双曲线之间的关系．
2．在平面直角坐标系中与几何图形相联系时，通常要构造一个三角形，以坐标轴上的边为底，相对顶点的横坐标（或纵坐标）的绝对值为高；如果没有坐标轴上的边，则用坐标轴将其分割后求解．
【限时检测】（建议用时：30分钟）
一、选择题
1．在反比例函数y=﹣图象上的点是
A．（﹣2，3） B．（4，﹣2）
C．（6，1） D．（2，3）
【答案】A
【解析】A．把x=﹣2代入y=﹣得：y=﹣=3，即A项正确，
B．把x=4代入y=﹣得：y=﹣≠﹣2，即B项错误，
C．把x=6代入y=﹣得：y=﹣=﹣1≠1，即C项错误，
D．把x=2代入y=﹣得：y=﹣=﹣3≠3，即D项错误，
故选A．
2．对于反比例函数，当时，y的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵k=–6<0，
∴的图象在第二象限上，y随x的增大而增大，
∴时，∴．
故选A．
3．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是
A．y3<y2<y1 B．y2<y1<y3
C．y1<y3<y2 D．y1<y2<y3
【答案】C
【解析】∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y=的图象上，∴y1==﹣6，y2==3，y3==2，又∵﹣6<2<3，∴y1<y3<y2．故选C．
4．已知反比例函数，下列结论错误的是
A．随的增大而减小 B．图象位于二、四象限内
C．图象必过点 D．当时，
【答案】A
【解析】在反比例函数y=–中，
∵k=–8<0，∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项A错误；
∵k=–8<0，∴图象在二，四象限内，故B选项正确；
∵–2×4=–8，∴图象必经过（–2，4），故C选项正确；
∵k=–8<0，每一象限内，y随x的增大而增大，当–1<x<0时，y>8，故D选项正确，
故选A．
5．若反比例函数y=的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是
A．k<2 B．k>﹣2
C．k<﹣2 D．k>2
【答案】A
【解析】∵y=的图象位于第一、第三象限，
∴2﹣k>0，k<2．
故选A．
6．如图，一次函数y1=k1x+b1与反比例函数的图象交于点A（1，3），B（3，1）两点，若y1<y2，则x的取值范围是

A．x<1 B．x<3
C．0<x<3 D．x>3或0<x<1
【答案】D
【解析】一次函数图象位于反比例函数图象的下方，
由图象可得当x>3或0<x<1时，y1<y2，故选D．
7．如图，已知双曲线y=经过Rt△OAB的直角边AB的中点P，则△AOP的面积为

A． B．1
C．2 D．4
【答案】B
【解析】∵双曲线y=经过P，
∴S△ABP==1，
∵P为AB边上的中点，
∴S△AOP=S△ABP=1，
故选B．
8．如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，反比例函数的图象过D点和边BC的中点E，连接DE，若△CDE的面积是1，则k的值是

A．3 B．4
C． D．6
【答案】B
【解析】设E的坐标是，
则C的坐标是（m，2n），
在中，令，解得：，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
故选B．
二、填空题
9．在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y=上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y=，则k1+k2的值为__________．
【答案】0
【解析】∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y=上，∴k1=ab；
又∵点A与点B关于x轴对称，∴B（a，–b），
∵点B在双曲线y=上，∴k2=–ab；∴k1+k2=ab+（–ab）=0；
故答案为：0．
10．已知反比例函数（为常数，）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值为__________．
【答案】–1（答案不唯一）
【解析】∵比例函数（为常数，）的图象位于第二、第四象限，
∴k<0，∴k可以为–1，
故答案为：–1（答案不唯一）．
11．已知反比例函数y=的图象在每一象限内y随x的增大而增大，则k的取值范围是__________．
【答案】k<6
【解析】∵反比例数的图象在每一象限内y随x的增大而增大，
∴k﹣6<0，解得k<6．
故答案为：k<6．
12．如图，已知直线y=2x﹣2与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=（x>0）的图象交于点C，过点C作CD⊥x轴于点D，若OA=AD，则k的值为__________．

【答案】4
【解析】∵直线y1=2x﹣2与坐标轴交于A、B两点，
∴A（1，0），B（0，﹣2），
∴OA=1，OB=2，
在△OBA和△DCA中，，
∴△OBA≌△DCA，
∴AD=OA=1，CD=OB=2，
∴C（2，2），
∵点C在y=上，
∴k=4．
故答案为：4．
13．如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影=2，则S1+S2=__________．

【答案】6
【解析】根据题意得S1+S阴影=S2+S阴影=5，
而S阴影=2，所以S1=S2=3，
所以S1+S2=6．故答案为：6．
三、解答题
14．已知反比例函数和一次函数y=kx﹣1的图象都经过点P（m，﹣3m）．
（1）求点P的坐标和这个一次函数的解析式；
（2）若点M（a，y1）和点N（a+1，y2）都在这个一次函数的图象上．试通过计算或利用一次函数的性质，说明y1大于y2．
【解析】（1）将点P（m，﹣3m）代入反比例函数解析式可得：﹣3m=﹣3，
即m=1，故P的坐标（1，﹣3），
将点P（1，﹣3）代入一次函数解析式可得：﹣3=k﹣1，故k=﹣2，
故一次函数的解析式为y=﹣2x﹣1．
（2）∵M、N都在y=﹣2x﹣1上，
∴y1=﹣2a﹣1，y2=﹣2（a+1）﹣1=﹣2a﹣3，
∴y1﹣y2=﹣2a﹣1﹣（﹣2a﹣3）=﹣1+3=2>0，
∴y1>y2．
15．如图直线y1=–x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．
（1）求k的值；
（2）直接写出当x>0时，不等式x+b>的解集；
（3）若点P在x轴上，连接AP，且AP把△ABC的面积分成1∶2两部分，求此时点P的坐标．

【解析】（1）把A（1，m）代入y1=–x+4，可得m=–1+4=3，∴A（1，3），
把A（1，3）代入双曲线y=，可得k=1×3=3．
（2）∵A（1，3），
∴当x>0时，不等式x+b>的解集为：x>1．
（3）y1=–x+4，令y=0，则x=4，
∴点B的坐标为（4，0），
把A（1，3）代入y2=x+b，可得3=×1+b，∴b=，
∴y2=x+，
令y=0，则x=–3，即C（–3，0），
∴BC=7，
∵AP把△ABC的面积分成1：2两部分，
∴CP=BC=，或BP=BC=，
∴OP=3–=，或OP=4–=，
∴P（–，0）或（，0）．
16．如图，一次函数y1=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y2=（m为常数，m≠0）的图象相交于点M（1，4）和点N（4，n）．
（1）反比例函数与一次函数的解析式．
（2）函数y2=的图象（x>0）上有一个动点C，若先将直线MN平移使它过点C，再绕点C旋转得到直线PQ，PQ交x轴于点A，交y轴点B，若BC=2CA，求OA·OB的值．

【解析】（1）将点M（1，4）代入y2=（m为常数，m≠0），
∴m=1×4=4，∴反比例函数的解析式为y=，
将N（4，n）代入y=，∴n=1，
∴N（4，1），
将M（1，4），N（4，1）代入y1=kx+b，
得到，∴，
∴一次函数的解析式为y=﹣x+5．
（2）设点C（a，b），则ab=4，过C点作CH⊥OA于点H．
①当点B在y轴的负半轴时，如图1，

∵BC=2CA，∴AB=CA．
∵∠AOB=∠AHC=90°，∠OAB=∠CAH，
∴△ACH∽△ABO．
∴OB=CH=b，OA=AH=a，
∴OA•OB=ab=2．
②当点B在y轴的正半轴时，如图2，当点A在x轴的正半轴时，

∵BC=2CA，
∴
∵CH∥OB，
∴△ACH∽△ABO．
∴，
∴OB=3b，OA=a，
∴；
③当点A在x轴的负半轴时，BC=2CA不可能．
综上所述，OA•OB的值为18或2．
17．如图，直线l：y=x+1与y轴交于点A，与双曲线（x>0）交于点B（2，a）．
（1）求a，k的值．
（2）点P是直线l上方的双曲线上一点，过点P作平行于y轴的直线，交直线l于点C，过点A作平行于x轴的直线，交直线PC于点D，设点P的横坐标为m．
①若m=，试判断线段CP与CD的数量关系，并说明理由；②若CP>CD，请结合函数图象，直接写出m的取值范围．

【解析】（1）∵直线l：y=x+1经过点B（2，a），
∴a=2+1=3，
∴B（2，3），
∵点B（2，3）在双曲线（x>0）上，
∴k=2×3=6．
（2）①∵点P的横坐标为，把x=代入y=得，y==4，代入y=x+1得，y=+1=，
∴P（，4），C（，），
∵直线l：y=x+1与y轴交于点A，
∴A（0，1），
∴D（，1），
∴CP=4﹣=，CD=﹣1=，
∴CP=CD；
②由图象结合①的结论可知，若CP>CD，m的取值范围为0<m<．
18．模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy=4，即y=；由周长为m，得2（x+y）=m，即y=–x+．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第__________象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数y=（x＞0）的图象如图所示，而函数y=–x+的图象可由直线y=–x平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线y=–x．
（3）平移直线y=–x，观察函数图象
①当直线平移到与函数y=（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长m的值为__________；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为__________．

【解析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，故点（x，y）在第一象限，答案为：一；
（2）图象如下所示：

（3）①把点（2，2）代入y=–x+得：
2=–2+，解得：m=8；
②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，
联立y=和y=–x+并整理得：x2–mx+4=0，
=m2–4×4≥0时，两个函数有交点，
解得m≥8，
即：0个交点时，m<8；1个交点时，m=8；2个交点时，m＞8．
（4）由（3）得：m≥8．