中考数学折叠问题讲义.doc

(完整版)中考数学折叠问题讲义中考数学-六种类型折叠问题类型1 直角三角形的翻折或翻折后产生直角三角形的问题例1如图，RtABC中，AB9，BC6，B90，将ABC折叠,使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为(）【分析】设BNx，则由折叠的性质可得DNAN9x，根据中点的定义可得BD3，在RtBND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解【解答】设BNx，由折叠的性质可得DNAN9x，D是BC的中点，BD3，在RtNBD中，x +3 （9x）,解得x4即BN4故选:A例1变式1如图，在RtABC中，直角边AC6，BC8，将ABC按如图方式折叠，使点B与点A重合,折痕为DE，则CD的长为（）A25/4 B22/3 C7/4 D5/3【解析】由题意得DBAD；设CDx，则ADDB(8x）,C90，AD CD AC ,（8x）x 36,解得x7/4;即CD7/4故选:C例1变式2如图，矩形ABCD中,AB4，AD6，点E为BC上一点,将ABE沿AE折叠得到AEF，点H为CD上一点，将CEH沿EH折叠得到EHG，且F落在线段EG上,当GFGH时，则BE的长为_【解析】由折叠可得AEH1/2BEC90,进而得出RtAEH中，AE +EH2 AH ,设BEx，则EFx,CE6xEG，再根据勾股定理，即可得到方程x +4 +（6x）+（62x）（2x2）+6 ,解该一元二次方程,即可得到BE的长BE的长为2【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程的综合运用，解决问题的关键是连接AH构造直角三角形AEH，这种折叠问题常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案方法策略模式：在折叠后产生的直角三角形中，把某条边设成未知数根据勾股定理列方程求解。类型2 翻折前有平行线这一条件的问题例2如图，在长方形纸片ABCD中，AD4cm,把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若OC5cm，则CD的长为（）A6cm B7cm C8cm D10cm【分析】由折叠的性质可得：BACEACACD，可得AOCO5cm,根据勾股定理可求DO的长，即可求CD的长【解答】折叠,BACEAC，四边形ABCD是矩形,ABCD，BACACD，EACACD,AOCO5cm，在直角三角形ADO中,利用勾股定理可求得DO3cm，CDDO+CO3+58cm故选：C例2变式如图，矩形纸片ABCD中,AB4，BC8，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则图形中重叠部分AEF的面积为_【解析】设AEx，由折叠可知,ECx,BE8x，在RtABE中,AB +BE AE ，即4 +（8x）x ，解得：x5，由折叠可知AEFCEF，ADBC，CEFAFE，AEFAFE,即AEAF5，SAEF1/2AFAB1/25410故答案为：10方法策略模式：图形折叠后，相当于出现了角平分线，有角平分线,有平行，就会产生等腰三角形，我们去找那个等腰三角形一般就会使得问题得到解决。类型3直角三角形的翻折，利用三垂直模型解答例3如图，平面直角坐标系中，已知矩形OABC，O为原点，点A、C分别在x轴、y轴上,点B的坐标为（1，2）,连接OB，将OAB沿直线OB翻折，点A落在点D的位置,则cosCOD 的值是(）A3/5 B1/2 C3/4 D4/5【分析】根据翻折不变性及勾股定理求出GD、CG的长,再根据相似三角形的性质，求出DF的长，OF的长即可解决问题;【解答】作DFy轴于F，DEx轴于E，BD交OC于G在BCG与ODG中，BCGODF,OD=BC, DOFGBC，BCGODG，GOGB，设GOGBx，则CGGD2x,于是在RtCGB中,（2x)+1 x ；解得x5/4GD2x25/43/4；BCy轴,DFy轴，BCGDFG，BGCDGF，CBGFDG，DF/BC=DG/BG，DF3/5；【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型例3变式如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸,使得顶点D落在边BC上的点F处（折痕为AE)已知该纸片AB为8cm,BC为10cm，则EC的长度为(）A6cm B5cm C4cm D3cn【解析】由四边形ABCD是矩形，可得BCAD10cm，BCD90，又由由折叠的性质可得：AFAD10cm，AFED90，利用勾股定理即可求得BF的长,继而可得FC的长，然后由ABFFCE，利用相似三角形的对应边成比例,即可求得EC的长度EC3cm，故选：D方法策略模式：如果图形中折叠的是一个直角，我们的处理方法一般是构造三垂直模型,找到一对相似三角形，根据相似的性质来解决问题.类型4等边三角形的翻折一线三等角例4如图，等边ABC中，D是BC边上的一点，把ABC折叠,使点A落在BC边上的点D处,折痕与边AB、AC分别交于点M、N,若AM2，AN3，那么边BC长为_【分析】设BDx，DCy由BMDCDN，可得(BM+MD+BD）：（DN+NC+CD）DM:DN2：3，推出(2x+y）：（x+2y）2：3,推出y4x，推出ABBCAC5x，MB5x2,CN5x3，再根据BM/CD=DM/DN=2/3，构建方程即可解决问题;【解答】解:设BDx,DCy，ABC是等边三角形，ABBCACx+y，ABCACBBAC60,由折叠的性质可知：MN是线段AD的垂直平分线，AMDM2，ANDN3，BM+MD+BD2x+y，DN+NC+DCx+2y，MDNBACABC60,NDC+MDBBMD+MBD120，NDCBMD，ABCACB60，BMDCDN,(BM+MD+BD）:（DN+NC+CD）DM：DN2:3，（2x+y）：(x+2y）2：3，y4x,ABBCAC5x,MB5x2，CN5x3，BM/CD=DM/DN=2/3，(5x-2）/4x=2/3，x6/7，BC5x30/7，故答案为30/7【点评】本题考查了等边三角形的性质、X相似三角形的判定和性质以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等例4变式如图所示，等边ABC中，边长为4,P、Q为AB、AC上的点，将ABC沿着PQ折叠,使得A点与线段BC上的点D重合，且BD:CD1：3，则AQ的长度为_【解析】易得BPDCDQ,可得BD/CQ=DP/DQ=BP/CD，由BD：DC1：43,BC4，推出DB1,CD3，设AQx,则CQ4x,构建方程即可解决问题;AQ=13/5。方法策略模式：等边三角形折叠后,会出现三个60度的角，一般情况下我们会找到一对相似三角形，根据相似的性质来解决问题。类型5过一定点的翻折与隐形圆例5如图，在边长为8的菱形ABCD中，A60，M是边AD的中点，N是AB上一点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN,连接AB，则AB的取值范围_【分析】连接BM,BD，依据M是边AD的中点，AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN，即可得到点A的轨迹为以AD为直径的半圆M，依据AB+AMBM，即可得出ABBMAM434，当点N与点A或点D重合时，AB的最大值为8,即可得到AB的取值范围【解答】如图所示，连接BM，BD，M是边AD的中点,AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN，点A的轨迹为以AD为直径的半圆M，AMAM4，A60,ABAD，ABD是等边三角形,BMAD，ABM30，BM3AM43，AB+AMBM，ABBMAM434，当点N与点A或点D重合时，点A与点A或点D重合，此时AB的最大值为8，AB的取值范围为：434AB8,故答案为：434AB8例5变式.如图，在矩形ABCD中，AD2,AB3，点E是AD边的中点，点F是射线AB上的一动点，将AEF沿EF所在的直线翻折得到AEF，连接AC，则AC的最小值为_【解析】根据点F是射线AB上的一动点，将AEF沿EF所在的直线翻折得到AEF,可得点A的运动路径为以E为圆心，AE长为半径的半圆，再根据两点之间线段最短,即可得出当点A、C、E三点共线时，AC的长最小，最后根据勾股定理进行计算即可即AC的最小值为101方法策略模式:如果翻折的折痕是过一定点的，就会出现隐形圆，一般我们用点圆最值模型来求最值.类型6 折叠后图形不确定的多解的折叠问题例6如图，正方形ABCD的边长是2，点E是CD边的中点，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把C沿直线EF折叠，使点C落在点C处当ADC为等腰三角形时，FC的长为_【分析】首先证明DCDA,只要分两种情形讨论即可:如图1中，当ADAC2时,连接AE构建方程即可；如图2中，当点F在BC中点时，易证ACDC,满足条件;【解答】由题意DEECEC1,DC1+1DCDA,只要分两种情形讨论即可：如图1中，当ADAC2时,连接AEAEAE,ADAC，DEDC，ADEACE，ADEACE90，CFCE90，ACE+FCE180，A、C、F共线，设CFx，则BF2x，AF2+x,在RtABF中，2+（2x）（2+x），解得x1/2如图2中，当点F在BC中点时，易证ACDC,满足条件,此时CF1综上所述，满足条件的CF的长为1/2或1故答案为1/2或1【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考填空题中的压轴题例6变式如图,在RtABC中,C90，AC6,BC8，点 E，F分别为AB,AC上一个动点,连接EF，以EF为轴将AEF折叠得到DEF，使点D落在BC上，当BDE为直角三角形时，BE的值为_【解析】分两种情形分别求解：如图1中，当EDB90时,设BEx则AEED10x利用平行线的性质，构建方程即可解决问题；如图2中，当DEB90，设BEx,则AEED10x根据tanDBEDE/BEAC/BC,构建方程即可；满足条件的BE的值为25/4或40/7方法策略模式：此类题目往往涉及知识点多，综合性强，大部分情况下还需分类讨论.同学们在这类题上得分率较低，反思其原因，无法准确画出所需要的图形是导致错误的重要原因之一，因此要明确分折叠操作后图形是否确定，可能出现情况有那些。总结提升经过以上六个类型问题分析，我们不难得到解决这类问题思维模式.具体如下：1。折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等,能够重合的三角形全等,折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。2.折叠类问题中，如果翻折的是直角,那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题；3。折叠类问题中,如果有平行线,那么翻折后就有可能出现等腰三角形，或者角平分；4.折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，我们可以设未知数，根据勾股定理列方程求解;5。折叠类问题中，如果折痕过某一定点，这是往往用辅助圆来解决问题，一般试题考查的是点圆最值问题。6.折叠后图形不明确,应明确分析出可能出现情形,一次分析验证，可借助纸片模拟分析.