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2021年中考数学压轴题提升训练 圆中证明及计算问题

2021年中考数学压轴题提升训练 圆中证明及计算问题

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圆中证明及计算问题
【例1】如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：AB•CP＝BD•CD；
（3）当AB＝5 cm，AC＝12 cm时，求线段PC的长．

【答案】见解析.
【解析】（1）证明：连接OD．

∵∠BAD＝∠CAD，
∴弧BD=弧CD，
∴∠BOD＝∠COD＝90°，
∵BC∥PA，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
即OD⊥PA，
∴PD是⊙O的切线．
（2）证明：∵BC∥PD，
∴∠PDC＝∠BCD．
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠PDC，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，
∴∠ABD＝∠PCD，
∴△BAD∽△CDP，
∴，
∴AB•CP＝BD•CD．
（3）∵BC是直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵AB＝5，AC＝12，
由勾股定理得：BC＝13，
由（1）知，△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝，
∵AB•CP＝BD•CD．
∴PC＝．
【变式1-1】如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，延长BC到点D，使CD=CA，连接AD交⊙O于点E．
（1）求证：△ABE≌△CDE；
（2）填空：
①当∠ABC的度数为 时，四边形AOCE是菱形；
②若AE=6，BE=8，则EF的长为 ．

【答案】（1）见解析；（2）60；.
【解析】（1）证明：连接CE，

∵AB=AC，CD=CA，
∴∠ABC=∠ACB，AB=CD，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ECD+∠BCE=∠BAE +∠BCE=180°，
∴∠ECD=∠BAE，
同理，∠CED=∠ABC，
∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，
∴∠CED=∠AEB，
∴△ABE≌△CDE；
（2）①60；

连接AO、OC，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠AEC=180°，
∵∠ABC=60，
∴∠AEC=∠AOC=120°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠ACB=∠CAD+∠D，AC=CD，
∴∠CAD=∠D=30°，
∴∠ACE=30°，
∴∠OAE=∠OCE=60°，
即四边形AOCE是平行四边形，
∵OA=OC，
∴四边形AOCE是菱形；
②由（1）得：△ABE≌△CDE，
∴BE=DE=8，AE=CE=6，∠D=∠EBC，
由∠CED=∠ABC=∠ACB，
得△ECD∽△CFB，
∴=，
∵∠AFE=∠BFC，∠AEB=∠FCB，
∴△AEF∽△BCF，
∴，
即，
∴EF=．
【例2】如图，AB为⊙O的直径，点C为AB上方的圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点A作直线l的垂线AD，交⊙O于点D，连接OC，CD，BC，BD，且BD与OC交于点E．
（1）求证：△CDE≌△CBE；
（2）若AB＝4，填空：
①当弧CD的长度是　　 时，△OBE是等腰三角形；
②当BC＝　 　时，四边形OADC为菱形．

【答案】（1）见解析；（2）；2．
【解析】（1）证明：延长AD交直线l于点F，

∵AD垂直于直线l，
∴∠AFC＝90°，
∵直线l为⊙O切线，
∴∠OCF＝90°，
∴∠AFC＝∠OCF＝90°，
∴AD∥OC，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠OEB＝90°，
∴OC⊥DB，
∴DE＝BE，∠DEC＝∠BEC＝90°，
∵CE＝CE，
∴△CDE≌△CBE；
（2）①如图2，连接OD，

由（1）知∠OEB＝90°，
当△OBE是等腰三角形时，
则△OEB为等腰直角三角形，
∴∠BOE＝∠OBE=45°，
∵OD＝OB，OE⊥BD，
∴∠DOC＝∠BOE＝45°，
∵AB＝4，
∴OD＝2，
∴弧CD的长==；
②当四边形OADC为菱形时，
则AD＝DC＝OC＝AO＝2，
由（1）知，BC＝DC，
∴BC＝2.
【变式2-1】（2019·河南南阳一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则弧AC的长为（ ）

A. 2π B. π C. D.
【分析】根据弧长公式，需先确定弧AC所对的圆心角∠AOC的度数，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到∠AOC=2∠D，根据圆内接四边形对角互补，求出∠D=180°－∠B=45°，再代入弧长公式求解即可.
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D=180°－∠B=45°，
∴弧AC所对圆心角的度数为：2×45°=90°，
∵⊙O的半径为2，
∴弧AC的长为：=π，
故选B.

1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O，与斜边AB交于点D，E为BC边的中点，连接DE.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）填空：①若∠B=30°，AC=，则BD=
②当∠B= 时，以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形.

【答案】见解析.
【解析】解：（1）连接OD，

∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，∠CDB=90°，
∵E是BC的中点，
∴DE=CE=BE，
∴∠DCE=∠EDC，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=90°，
即∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）3；45°，理由如下：
①∵∠B=30°，AC=，∠BCA=90°，
∴BC= AC÷tan30°=6，
∴DE=3，
②由∠B=∠A=45°，
OA=OD，得∠ADO=∠AOD=45°，
∴∠AOD=90°，∴∠DOC=90°，
又∠ODE=90°，∴四边形ODEC是矩形，
∵OD=OC，
∴四边形ODEC是正方形.
2.已知△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，且DA∶AB=1∶2．
（1）求∠CDB的度数；
（2）在切线DC上截取CE=CD，连接EB，判断直线EB与⊙O的位置关系，并证明．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）如图，连接OC，

∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°．
∵DA：AB=1：2，
∴DA=OC，DO=2OC．
在Rt△DOC中，sin∠CDO=，
∴∠CDO=30°，
即∠CDB=30°．
（2）直线EB与⊙O相切．
证明：连接OC，
由（1）可知∠CDO=30°，
∴∠COD=60°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CD=CB，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°，
∴∠ECB=60°，
又∵CD=CE，
∴CB=CE，
∴△CBE为等边三角形，
∴∠EBA=∠EBC+∠CBD=90°，
∴EB是⊙O的切线．
3.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以 AC 为直径的⊙O与斜边AB交于点D，E为BC边上一点，且DE是⊙O的切线．
（1）求证：BE=EC；
（2）填空：①若∠B=30°，AC=2则DE= ；
②当∠B= °时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．

【答案】（1）见解析；（2）①3；②45.
【解析】解：
（1）证明：如图，连接OD，

∵∠ACB=90°，AC为⊙O的直径，
∴EC为⊙O的切线，
∵DE为⊙O的切线，
∴EC=ED，
∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∵OD=OA，
∴∠ADO=∠A，
∴∠BDE+∠A=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴BE=EC；
（2）①3；②45，理由如下：
①在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=2，
∴BC=6，
由（1）知，E是BC中点，
∴DE=BC=3；
②∵ODEC为正方形，
∴∠DEC=90°，
DE=CE=BE，
∴∠B=45°，
故答案为：3；45.
4.如图，AB为⊙O的直径，C为半圆上一动点，过点C作⊙O的切线l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E，连接OC，CE，AE，AE交OC于点F．
（1）求证：△CDE≌△EFC；
（2）若AB=4，连接AC．
①当AC= 时，四边形OBEC为菱形；
②当AC= 时，四边形EDCF为正方形．

【答案】见解析．
【解析】（1）证明：如图，
∵BD⊥CD，
∴∠CDE=90°，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵CD是切线，
∴∠FCD=90°，
∴四边形CFED矩形，
∴CF=DE，EF=CD，
∵CE=CE，
∴△CDE≌△EFC．
（2）解：①当AC=2时，四边形OCEB是菱形．
理由：连接OE．

∵AC=OA=OC=2，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠CAO=∠AOC=60°，
∵∠AFO=90°，
∴∠EAB=30°，
∵∠AEB=90°，
∴∠B=60°，
∵OE=OB，
∴△OEB是等边三角形，
∴∠EOB=60°，
∴∠COE=180°﹣60°﹣60°=60°，
∵CO=OE，
∴△COE是等边三角形，
∴CE=CO=OB=EB，
∴四边形OCEB是菱形．
故答案为2．
②当四边形DEFC是正方形时，

∵CF=FE，∴∠CEF=∠FCE=45°，
∵OC⊥AE，∴弧AC=弧CE，
∴∠CAE=∠CEA=45°，
∴∠ACE=90°，
∴AE是⊙O的直径，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AC=2．
∴AC=2时，四边形DEFC是正方形．
故答案为2．
5.如图，AB是半圆O的直径，D为半圆上的一个动点（不与点A，B重合），连接AD，过点O作AD的垂线，交半圆O的切线AC于点C，交半圆O于点E．连接BE，DE．
（1）求证：∠BED＝∠C．
（2）连接BD，OD，CD．
填空：
①当∠ACO的度数为 时，四边形OBDE为菱形；
②当∠ACO的度数为 时，四边形AODC为正方形．

【答案】（1）见解析；（2）30；45．
【解析】解：
（1）证明：设AD，OC交于点P，

∵OC⊥AD，
∴∠APC＝90°．
∴∠C+∠CAP＝90°
∵AC是半圆O的切线，
∴∠CAO＝∠CAP+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∵∠BED＝∠BAD，
∴∠BED＝∠C；
（2）①30，理由如下：
连接BD，如图：

∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝∠ACO＝30°，
∴∠DBA＝60°，
∵OE⊥AD，
∴弧AE=弧AD，
∴∠DBE＝∠ABE＝30°
∵∠DEB＝∠DAB＝30°，
∴∠DEB＝∠ABE，DE∥AB
∵∠ADB＝90°，即BD⊥AD，OE⊥AD，
∴OE∥BD，
∴四边形OBDE 是平行四边形
∵OB＝OE
∴四边形OBDE是菱形；
故答案为30°；
②45，理由如下：
连接CD、OD，

∵∠BED＝∠ACO＝45°，
∴∠BOD＝2∠BED＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∵OC⊥AD，
∴OC垂直平分AD，
∴∠OCD＝∠OCA＝45°，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ACO＝90°，
∴四边形AODC是矩形，
∵OA＝OD，
∴四边形AODC是正方形，
故答案为45°．
6.如图，CD是⊙O的直径，且CD＝2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，切点分别为A、B．
（1）连接AC，若∠APO＝30°，试证明△ACP是等腰三角形；
（2）填空：
①当弧AB的长为 cm时，四边形AOBD是菱形；
②当DP＝ cm时，四边形AOBP是正方形．

【答案】（1）见解析；（2）；.
【解析】解：（1）连接AO，

∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°，
∵∠APO＝30°，
∴∠AOP＝60°，
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠CAO＝30°，
∴∠C＝∠APO=30°，
∴△ACP是等腰三角形；
（2）①若四边形AOBD是菱形，则AO＝AD，
∵AO＝OD，
∴△AOD是等边三角形，∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵CD=2，
∴圆O的半径为1，
∴弧AB的长为：=.
②若四边形AOBP为正方形时，则PA＝AO＝1，
则OP=，
∵OD=1，
∴PD=－1，
所以答案为：－1．
7.如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．
（1）求证：AC∥DE；
（2）连接CD，若OA=AE=2时，求出四边形ACDE的面积．

【答案】见解析．
【解析】证明：（1）∵F为弦AC（不是直径）的中点，
∴AF=CF，OD⊥AC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴AC∥DE．
（2）连接CD，

∵AC∥DE， OA=AE=2，
∴OF=FD，
∵AF=CF，∠AFO=∠CFD，
∴△AFO≌△CFD，
∴S△AFO=S△CFD，
∴S四边形ACDE=S△ODE
∵OD=OA=AE=2，
∴OE=4，
由勾股定理得：DE=2，
∴S四边形ACDE=S△ODE
= ×OD×OE
=×2×2
=2．
8.已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
（1）求证：∠DAC＝∠DBA；
（2）求证：P是线段AF的中点；
（3）连接CD，若CD＝3，BD＝4，求⊙O的半径和DE的长．

【答案】见解析．
【解析】（1）证明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD＝∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC＝∠CBD，
∴∠DAC＝∠DBA；
（2）证明：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ADE+∠BDE＝∠DBE+∠BDE＝90°，
∴∠ADE＝∠DBE＝∠DAC，
∴PD＝PA，
∵∠DFA+∠DAF＝∠ADE+∠BDE＝90°，
∴∠PDF＝∠PFD，
∴PD＝PF，
∴PA＝PF，即P是线段AF的中点；
（3）解：∵∠CBD＝∠DBA，CD＝3，
∴CD＝AD＝3，
由勾股定理得：AB＝5，
即⊙O的半径为2.5，
由DE×AB＝AD×BD，
即：5DE＝3×4，
∴DE＝2.4．
即DE的长为2.4．
9.如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若tan∠ACB＝，BC＝4，求⊙O的半径．

【答案】见解析．
【解析】（1）直线CE与⊙O相切，

证明：连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠AEO＝∠ACB＝∠DCE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
∴∠ACB＝∠DAC，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠DAC＝∠DCE，
由∠D＝90°，得：∠DCE+∠DEC＝90°，
∴∠AEO+∠DEC＝90°，
∴∠OEC＝90°，即OE⊥EC，
∵OE为半径，
∴直线CE与⊙O相切；
（2）解：在Rt△ACB中，AB＝tan∠ACB×BC=×4＝2，
由勾股定理得：AC＝2，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴tan∠DCE＝tan∠ACB＝，
在Rt△DCE中，CD＝AB＝2，DE＝DC×tan∠DCE＝2×＝1，
由勾股定理得：CE＝，
在Rt△COE中，CO2＝CE2+OE2，OE=OA，
（2﹣OA）2＝OA2+（）2，
解得：OA＝，
即⊙O的半径是．
10.如图，在△ABC中，AC＝BC，AB是⊙C的切线，切点为点D，直线AC交⊙C于点E、F，且CF=AC，
（1）求证：△ABF是直角三角形；
（2）若AC＝6，则直接回答BF的长是多少．

【答案】见解析.
【解析】（1）证明：连接CD，则CF＝CD，

∵AB是⊙C的切线．
∴CD⊥AB，∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt△ACD中，CF=AC，
∴CD＝CF=AC，∴∠A＝30°
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠A＝30°，
∴∠ACB＝120°，∠BCD＝∠BCF＝60°，
∵BC＝BC，
∴△BCD≌△BCF，
∴∠BFC＝∠BDC＝90°，
∴△ABF是直角三角形．
（2）解：由（1）知：AC＝BC，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝BF，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝6，
∴CD＝3，∴AD=CD＝3．∴BF＝3.