全国各地中考数学压轴题专集标准答案反比例函数.doc

2012年全国各地中考数学压轴题专集答案
三、反比例函数
1．（北京模拟）如图，直线AB经过第一象限，分别与x轴、y轴交于A、B两点，P为线段AB上任意一点（不与A、B重合），过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为C、D．设OC＝x，四边形OCPD的面积为S．
（1）若已知A（4，0），B（0，6），求S与x之间的函数关系式；
（2）若已知A（a，0），B（0，b），且当x＝ 时，S有最大值 ，求a、b的值；
P
B
O
C
A
x
y
D
（3）在（2）的条件下，在直线AB上有一点M，且点M到x轴、y轴的距离相等，点N在过M点的反比例函数图象上，且△OAN是直角三角形，求点N的坐标．
1．解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx＋b
由A（4，0），B（0，6），得
解得
∴直线AB的解析式为y＝－ x＋6
∵OC＝x，∴P（x，－ x＋6）
∴S＝x(－ x＋6)
即S＝－ x 2＋6x（0＜x＜4）
（2）设直线AB的解析式为y＝mx＋n
∵OC＝x，∴P（x，mx＋n）
∴S＝mx 2＋nx
∵当x＝ 时，S有最大值
∴ 解得
∴直线AB的解析式为为y＝－2x＋3
∴A（ ，0），B（0，3）
即a＝ ，b＝3
（3）设点M的坐标为（xM ，yM），
∵点M在（2）中的直线AB上，∴yM＝－2xM＋3
∵点M到x轴、y轴的距离相等，
∴xM＝yM 或xM＝－yM
当xM＝yM 时，易得M点的坐标为（1，1）
∴过M点的反比例函数的解析式为y＝
∵点N在y＝ 的图象上，OA在x轴上，且△OAN是直角三角形
∴点N的坐标为（ ，）
当xM＝－yM 时，M点的坐标为（3，－3）
过M点的反比例函数的解析式为y＝－
∵点N在y＝－ 的图象上，OA在x轴上，且△OAN是直角三角形
∴点N的坐标为（ ，－6）
综上，点N的坐标为（ ，）或（ ，－6）
2．（北京模拟）已知点A是双曲线y＝ （k1＞0）上一点，点A的横坐标为1，过点A作平行于y轴的直线，与x轴交于点B，与双曲线y＝ （k2＜0）交于点C．点D（m，0）是x轴上一点，且位于直线AC右侧，E是AD的中点．
（1）如图1，当m＝4时，求△ACD的面积（用含k1、k2的代数式表示）；
（2）如图2，若点E恰好在双曲线y＝ （k1＞0）上，求m的值；
（3）如图3，设线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，当m＝2时，若△BDF的面积为1，且CF∥AD，求k1的值，并直接写出线段CF的长．
图2
E
B
O
C
A
x
y
D
图3
E
B
O
C
A
x
y
D
F
图1
E
B
O
C
A
x
y
D

解：（1）由题意得A，C两点的坐标分别为A（1，k1），C（1，k2）
∵k1＞0，k2＜0，∴点A在第一象限，点C在第四象限，AC＝k1－k2
当m＝4时，S△ACD ＝ AC·BD＝ ( k1－k2)
E
B
O
C
A
x
y
D
G
（2）作EG⊥x轴于点G，则EG∥AB
∵E是AD的中点，∴G是BD的中点
∵A（1，k1），B（1，0），D（m，0）
∴EG＝ AB＝ ，BG＝ BD＝ ，OG＝OB＋BG＝
∴点E的坐标为E（ ，）
∵点E恰好在双曲线y＝ （k1＞0）上
∴· ＝k1 ①
∵k1＞0，∴方程①可化为 ＝1，解得m＝3
（3）当m＝2时，点D的坐标为D（2，0），由（2）可知点E的坐标为E（ ，）
E
B
O
C
A
x
y
D
F
∵S△BDF ＝1，∴ BD·OF＝1，∴OF＝2
设直线BE的解析式为y＝ax＋b（a≠0）
∵B（1，0），E（ ，）
∴ 解得
∴直线BE的解析式为y＝k1x－k1
∵线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，k1＞0
∴点F的坐标为F（0，－k1），∴OF＝k1
∴k1＝2
线段CF的长为
3．（上海模拟）Rt△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，tan∠BAC＝ ，反比例函数y＝ （k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．
（1）求反比例函数和直线AB的解析式；
B
O
C
A
x
y
D
E
F
（2）设直线AB与y轴交于点F，点P是射线FD上一动点，是否存在点P使以E、F、P为顶点的三角形与△AEO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵点D（4，m）、E（2，n）在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上
B
O
C
A
x
y
D
E
H
F
∴ 得n＝2m
过点E作EH⊥BC于H，连接DE
在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠BAC＝ ，EH＝2，∴BH＝1
∴D（4，m），E（2，2m），B（4，2m＋1）
∵S△BDE ＝ BD·EH＝ ( m＋1)×2＝2，m＝1
∴D（4，1），E（2，2），B（4，3）
∵点D（4，1）在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上，∴k＝4
∴反比例函数的解析式为y＝
设直线AB的解析式为y＝k′x＋b，把B（4，3），E（2，2）代入
得 解得
∴直线AB的解析式为y＝ x＋1
B
O
C
A
x
y
D
E
F
P
（2）∵直线y＝ x＋1与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），
∴FD∥x轴，∠EFP＝∠EAO
因此以E、F、P为顶点的三角形与△AEO相似有两种情况：
①若 ＝ ，则△FEP∽△AEO
∵E（2，2），F（0，1），∴EF＝
∵直线y＝ x＋1与x轴交于点A，∴A（0，－2）
B
O
C
A
x
y
D
E
F
P
∴ ＝ ，∴FP＝1
∴P（1，1）
②若 ＝ ，则△FPE∽△AEO
∴ ＝ ，∴FP＝5
∴P（5，1）
4．（安徽某校自主招生）如图，直角梯形OABC的腰OC在y轴的正半轴上，点A（5n，0）在x轴的负半轴上，OA : AB : OC＝5 : 5 : 3．点D是线段OC上一点，且OD＝BD．
（1）若直线y＝kx＋m（k≠0）过B、D两点，求k的值；
（2）在（1）的条件下，反比例函数y＝ 的图象经过点B．
①求证：反比例函数y＝ 的图象与直线AB必有两个不同的交点；
x
y
O
C
A
B
E
F
②设反比例函数y＝ 的图象与直线AB的另一个交点为E，已知点P（p，－n－1），Q（q，－n－2）在线段AB上，当点E落在线段PQ上时，求n的取值范围．
解：（1）∵A（5n，0），OA : OC＝5 : 3，点C在y轴的正半轴上
∴C（0，－3n）
∵BC∥OA，∴点B的纵坐标为－3n
过点B作BG⊥OA于G，则BG＝－3n
x
y
O
C
A
B
E
F
G
D
设OG＝x，在Rt△ABG中，(－5n－x )2＋(－3n )2＝(－5n )2
解得x＝－n或x＝－9n（舍去）
∴B（n，－3n）
设OD＝t，∵点D是线段OC上一点，且OD＝BD
∴t 2＝(－3n－t )2＋(－n )2，∴t＝－ n
∴D（0，－ n）
把B、D的坐标代入y＝kx＋m，得
解得k＝－
（2）①∵比例函数y＝ 的图象经过点B，∴m＝n(－3n )＝－3n 2
∴y＝－
由A（5n，0），B（n，－3n）可得直线AB的解析式为y＝ x－ n
由y＝－ 和y＝ x－ n消去y并整理得：3x 2－15nx＋12n 2＝0
∵△＝(－15n )2－4×3×12n 2＝9n 2＞0
∴反比例函数y＝－ 的图象与直线AB必有两个不同的交点
联立 解得
∴E（4n，－ n）
当点E过点P时，有－n－1＝－ n，∴n＝－4
当点E过点Q时，有－n－2＝－ n，∴n＝－8
∴当点E落在线段PQ上时，n的取值范围是：－8≤n ≤－4
5．（浙江杭州）在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k( x 2＋x－1)的图象交于点A（1，k）和点B（－1，－k）．
（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．
解：（1）当k＝－2时，A（1，－2）
设反比例函数为y＝ ，则k′＝1×(－2)＝－2
∴反比例函数的解析式为y＝－
（2）要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大
则反比例函数只能在二、四象限，k′＝k ＜0
此时二次函数开口向下，故x ≤－ ＝－ 才满足要求
综上所述，k ＜0且x ≤－
（3）∵y＝k( x 2＋x－1)＝k( x＋ )2－ k，∴Q（－ ，－ k）
∵A（1，k），B（－1，－k），∴A、B两点关于原点O对称，即O是AB的中点
又∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，∴OQ＝OA
∴(－ )2＋( － k )2＝1 2＋k 2，解得k＝±
6．（浙江义乌）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数y＝ 在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA＝ ．
（1）求反比例函数的解析式；
G
B
F
C
x
O
y
A
H
D
E
（2）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正轴交于点H、G，求线段OG的长．
解：（1）在Rt△BOA中，∵OA＝4，tan∠BOA＝
∴AB＝OA·tan∠BOA＝2，∴B（4，2）
∵点D为对角线OB的中点，∴D（2，1）
G
B
F
C
x
O
y
A
H
D
E
∵点D在反比例函数y＝ 的图象上，∴1＝ ，∴k＝2
∴反比例函数的解析式为y＝
（2）设点F（a，2），则2a＝2，∴CF＝a＝1
连接FG，设OG＝t，则OG＝FG＝t，CG＝2－t
在Rt△CGF中，FG 2＝CF 2＋CG 2
∴t 2＝12＋( 2－t )2，解得t＝
∴OG＝t＝
7．（浙江某校自主招生）已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P重合），以PQ为边，∠PQM＝60°作菱形PQMN，使点M落在反比例函数y＝－ 的图象上．
（1）如图所示，若点P的坐标为（1，0），图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN，若另一个菱形为PQ1M1N1，求点M1的坐标；
（2）探究发现，当符合上述条件的菱形只有两个时，一个菱形的顶点M在第四象限，另一个菱形的顶点M1在第二象限．通过改变P点坐标，对直线MM1的解析式y＝kx＋b进行探究可得k＝__________，若点P的坐标为（m，0），则b＝__________（用含m的代数式表示）；
（3）继续探究：①若点P的坐标为（m，0），则m在什么范围时，符合上述条件的菱形分别有两个、三个、四个？
x
y
O
备用图
②求出符合上述条件的菱形刚好有三个时，点M坐标的所有情况．
x
y
P
O
Q
M
N

x
y
P
O
Q
M
N
Q1
M1
N1
H

解：（1）过M1作M1H⊥PQ1于H，设Q1（x，0），
显然点Q1在x轴的负半轴上，点M1在第二象限
∵P（1，0），∴M1Q1＝PQ1＝1－x
∵∠PQM1＝60°，∴Q1H＝ (1－x )，M1H＝ (1－x )
∴OH＝－x－ (1－x )＝－ (1＋x )
∴M1（ (1＋x )，(1－x )）
x
y
P
O
Q3
M3
N3
(Q1)
M1
N1
Q6
M6
N6
∵点M1在反比例函数y＝－ 的图象上
∴(1＋x )· (1－x )＝－2 ，解得：x＝3（舍去）或x＝－3
∴M1（－1，2 ）
（2）k＝－ ，b＝ m
提示：连接PM1、PM，则∠M1PQ1＝∠OPN＝∠MPN＝60°
∴∠M1PM＝180°，即M1、P、M三点共线且∠M1MN＝60°
可得直线MM1的解析式为y＝－ x＋b，∴k＝－
若点P的坐标为（m，0），则直线MM1的解析式为y＝－ x＋ m
∴b＝ m
（3）①若符合条件的菱形有三个，则其中必有一个菱形的一条边PN或对角线PM所在直线与双曲线只有一个交点
由∠QPM＝60°或∠PNM＝60°，P（m，0），得直线PM或直线PN的解析式为y＝ x－ m
x
y
P
O
Q5
M5
N5
(Q4)
N2
Q2
M2
M4
N4
令y＝ x－ m＝－ ，得x 2－mx＋2＝0
△＝m 2－8＝0，得m＝±2
∴当－2 ＜m ＜2 时，△＜0，满足条件的菱形有两个
当m＝±2 时，△＝0，满足条件的菱形有三个
当m ＞2 或m ＜－2 时，△＞0，满足条件的菱形有四个
②由①知，当符合条件的菱形刚好有三个时，m＝±2
当m＝2 时，点P的坐标为（2 ，0）
把m＝2 代入x 2－mx＋2＝0，得x 2－2 x＋2＝0
解得x＝ ，∴M1（，－ ）
设Q（x，0），由（1）知，(2 ＋x )· (2 －x )＝－2
解得：x＝4或x＝－4
∴M2（2－ ，－2 － ），M3（－2＋ ，2 ＋ ）
当m＝－2 时，由对称性可得：M4（－ ， ），M5（－2－ ，2 － ），M6（2＋ ，－2 ＋ ）
8．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A坐标为（1，3），A、B两点关于直线y＝x对称，反比例函数y＝ （x＞0）图象经过点A，点P是直线y＝x上一动点．
（1）填空：B点的坐标为（______，______）；
（2）若点C是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是线段OP上一点（Q不与O、P重合），当四边形AOBP为菱形时，过点Q分别作直线OA和直线AP的垂线，垂足分别为E、F，当QE＋QF＋QB的值最小时，求出Q点坐标．
B
x
O
y
A
B
x
O
y
A
备用图

B
x
O
y
A
P
C
图1
解：（1）（3，1）
（2）∵反比例函数y＝ （x＞0）图象经过点A（1，3）
∴k＝1×3＝3
∴反比例函数的解析式为y＝
∵点P在直线y＝x上，∴设P（m，m）
①若PC为平行四边形的边
∵点A的横坐标比点B的横坐标小2，点A的纵坐标比点B的纵坐标大2
∴若点C在点P下方，则点C的坐标为（m＋2，m－2），如图1
若点C在点P上方，则点C的坐标为（m－2，m＋2），如图2
B
x
O
y
A
P
C
图2
把C（m＋2，m－2）代入反比例函数的解析式，得：
m－2＝ ，解得m＝±
∵m＞0，∴m＝
∴C1（＋2，－2）
同理可得另一点C2（－2，＋2）
②若PC为平行四边形的对角线，如图3
∵A、B关于直线y＝x对称，∴OP⊥AB
此时点C在直线y＝x上，且为直线y＝x与双曲线y＝ 的交点
B
x
O
y
A
P
C
图3
由 解得 （舍去）
∴C3（，）
综上所述，满足条件的点C有三个，坐标分别为：
C1（＋2，－2），C2（－2，＋2），C3（，）
（3）连接AQ，设AB与OP的交点为D，如图4
∵四边形AOBP是菱形，∴AO＝AP
∵S△AOP ＝S△AOQ ＋ S△APQ
B
x
O
y
A
P
图4
Q
D
E
F
∴ OP·AD＝ AO·QE＋ AP·QF
∴QE＋QF＝ 为定值
∴要使QE＋QF＋QB的值最小，只需QB的值
当QB⊥OP时，QB最小，所以D点即为所求的点
∵A（1，3），B（3，1），∴D（2，2）
∴当QE＋QF＋QB的值最小时，Q点坐标为（2，2）
9．（浙江模拟）已知点P（m，n）是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的动点，PA∥x轴，PB∥y轴，分别交反比例函数y＝ （x＞0）的图象于点A、B，点C是直线y＝2x上的一点．
（1）请用含m的代数式分别表示P、A、B三点的坐标；
（2）在点P运动过程中，连接AB，△PAB的面积是否变化，若不变，请求出△PAB的面积；若改变，请说明理由；
B
x
O
y
A
P
C
y＝
y＝
y＝2x
（3）在点P运动过程中，以点P、A、B、C为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
A
B
P
O
x
Q
y
图1
解：（1）P（m，），A（ ，），B（m，）
（2）∵PA＝m－ ＝ ，PB＝ － ＝
∴S△PAB ＝ PA·PB＝ ×× ＝
∴△PAB的面积不变
（3）①若AP是平行四边形的边，如图1、图2
则AP∥BQ且AP＝BQ
得Q（，）或Q（，）
∵点Q在直线y＝2x上
A
B
P
O
x
Q
y
图3
A
B
P
O
x
Q
y
图2
∴ ＝2× 或 ＝2×
解得m＝ 或m＝1（舍去负值）
∴P（，2）或P（1，6）
②若AP是平行四边形的对角线，如图3
则QA∥PB且QA＝PB
得Q（， ＋ ）
∵点Q在直线y＝2x上
∴ ＋ ＝2× ，解得m＝3（舍去负值）
∴P（3，2）
10．（江苏徐州）如图，直线y＝x＋b（b＞4）与x轴、y轴分别相交于点A、B，与反比例函数y＝－ 的图象相交于点C、D（点C在点D的左侧），⊙O是以CD长为半径的圆．CE∥x轴，DE∥y轴，CE、DE相交于点E．
（1）△CDE是______________三角形；点C的坐标为______________，点D的坐标为_____________（用含有b的代数式表示）；
（2）b为何值时，点E在⊙O上？
（3）随着b取值逐渐增大，直线y＝x＋b与⊙O有哪些位置关系？求出相应b的取值范围．
－5
5
－4
－2
2
4
x
O
y
备用图
－5
5
－4
－2
2
4
B
x
O
y
A
D
C
E
y＝－
y＝x＋b

解：（1）等腰直角 C（，），D（，）
（2）当点E在⊙O上时，如图1，连接OE，则OE＝CD
∵直线y＝x＋b与x轴、y轴相交于点A（－b，0），B（0，b），CE∥x轴，DE∥y轴
－5
5
－4
－2
2
4
B
x
O
y
A
D
C
E
y＝－
y＝x＋b
F
图1
∴△DCE、△BAO是等腰直角三角形
∵整个图形是轴对称图形，∴OE平分∠AOB，∠AOE＝∠BOE＝45°
∵CE∥x轴，DE∥y轴，∴四边形CAOE、OEDB为等腰梯形
∴OE＝AC＝BD
∵OE＝CD，∴OE＝AC＝BD＝CD
过点C作CF⊥x轴于F，则△AFC∽△AOB
∴ ＝ ＝ ，∴yC＝CF＝ BO＝ b
∴ ＝ b，解得b＝±3
∵b＞4，∴b＝3
∴当b＝3 时，点E在⊙O上
（3）当⊙O与直线y＝x＋b相切于点G时，如图2，连接OG
∵整个图形是轴对称图形，∴点O、E、G在对称轴上
－5
5
－4
－2
2
4
B
x
O
y
A
D
C
E
y＝－
y＝x＋b
H
G
图2
∴GC＝GD＝ CD＝ OG＝ AG
∴AC＝CG＝GD＝DB，∴AC＝ AB
过点C作CH⊥x轴于H，则△AHC∽△AOB
∴ ＝ ＝ ，∴yC＝CH＝ BO＝ b
∴ ＝ b，解得b＝±
∵b＞4，∴b＝
∴当b＝ 时，直线y＝x＋b与⊙O相切
当4＜b ＜ 时，直线y＝x＋b与⊙O相离
当b ＞ 时，直线y＝x＋b与⊙O相交
11．（江苏泰州）如图，已知一次函数y1＝kx＋b的图象与x轴相交于点A，与反比例函数y2＝ 的图象相交于B（－1，5）、C（ ，d）两点．点P（m、n）是一次函数y1＝kx＋b的图象上的动点．
（1）求k、b的值；
（2）设－1＜m ＜ ，过点P作x轴的平行线与函数y2＝ 的图象相交于点D．试问△PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
B
x
O
y
A
D
C
P
（3）设m＝1－a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围．
解：（1）将点B（－1，5）代入y2＝ ，得5＝ ，∴c＝－5
∴y2＝－
将点C（ ，d）代入y2＝－ ，得d＝－ ＝－2
∴C（ ，－2）
将B（－1，5），C（ ，－2）代入y1＝kx＋b，得
解得
（2）存在
由（1）知，y1＝－2x＋3，令y1＝0，即－2x＋3＝0，得x＝
∴A（ ，0）
∵－1＜m ＜ ，∴点P在线段AB上运动（不含A、B）
设P（ ，n）
∵DP∥x轴，且点D在y2＝－ 的图象上，∴D（－ ，n）
∴S△PAD ＝ DP·yP＝ ( ＋ )·n＝－ ( n－ )2＋
∵－ ＜0，∴S△PAD 有最大值
∵n＝－2m＋3，－1＜m ＜ ，∴0＜n ＜5
∴当n＝ 时，△PAD的面积最大，最大值为 ，此时点P的坐标为（ ， ）
（3）∵m＝1－a，∴n＝1＋2a
∵在m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，∴m≠n
即1－a≠1＋2a，∴a≠0
①当a ＞0时，则1－a ＜1＜1＋2a
∵在m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数
∴ 解得0＜a ≤
②当a ＜0时，则1＋2a ＜1＜1－a
∵在m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数
∴ 解得－ ≤a ＜0
综上所述，实数a的取值范围是－ ≤a ＜0或0＜a ≤
12．（江苏模拟）如图，双曲线y＝ （x＞0）与过A（1，0）、B（0，1）的直线交于P、Q两点，连接OP、OQ．点C是线段OA上一点（不与O、A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．设CA＝a．
（1）求证：△OAQ≌△OBP；
（2）当a为何值时，CE＝AC？
x
y
C
A
B
E
P
Q
D
O
F
（3）是否存在这样的点C，使得△OEF为等腰三角形？若存在，求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）证明：设直线AB的解析式为y＝kx＋b
∴ 解得 ∴y＝－x＋1
x
y
C
A
B
E
P
Q
D
O
G
M
N
F
联立 解得
∴P（ ，），Q（ ，）
过P作PM⊥y轴于M，过Q作QN⊥x轴于N
则PM＝QN＝
∵OA＝OB＝1，∴∠OAB＝∠OBA＝45°
∴AQ＝QN，BP＝PM，∴AQ＝BP
在△△OAQ和△OBP中
∴△△OAQ≌△OBP
（2）解：过D作DG⊥OA于G
∵∠OAB＝45°，CD⊥AB，∴△CDA是等腰直角三角形
∴DG＝ CA＝ a
∵DE⊥OB，∴四边形OEDG是矩形，∴OE＝DG＝ a
∵CE＝AC，∴(1－a )2＋( a)2＝a 2
解得：a＝4＋2（舍去）或a＝4－2
∴当a＝4－2 时，CE＝AC
（3）存在
由（2）知，C（1－a，0），E（0，）
可得直线EC的解析式为y＝ x＋
x
y
C
A
B
E
P
Q
O
F
N
H
D
由Q（ ，），得直线OQ的解析式为y＝ x
解方程组 得
∴F（ ，）
①若EF＝OF
过F作FH⊥OE于H，则OH＝ OE，∴ ＝ a
∵a≠0，∴ ＝ ，解得a＝
∴C1（ ，0）
x
y
C
A
B
E
P
Q
D
O
F
H
②若OE＝OF，则OF＝ a
过F作FH⊥OC于H
∵F（ ，），∴FH＝ OH
∴FH＝ OF＝ a，∴ ＝ a
∵a≠0，∴＝ ，解得a＝
∴C2（ ，0）
x
y
C
A
B
E
P
Q
D
O
F
H
K
③若OE＝EF
过E作EK⊥OF于K，则OK＝ OF＝ FH
易证△EOK∽△OFH，得OE＝OK＝5FH
即FH＝ OE，∴ ＝ a
∵a≠0，∴ ＝ ，解得a＝
∴C3（ ，0）
综上所述，存在点C1（ ，0），C2（ ，0），C3（ ，0），使得△OEF为等腰三角形
13．（河北）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（3，1），C（3，3）．反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点D，点P是一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）通过计算，说明一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0）的图象一定过点C；
（3）对于一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0），当y随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围（不必写出过程）．
B
x
O
y
A
D
C
P

解：（1）由题意，AD＝BC＝2，故点D的坐标为（1，2）
∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点D（1，2）
∴2＝ ，∴m＝2
反比例函数的解析式为y＝
（2）当x＝3时，y＝3k＋3－3k＝3
∴一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0）的图象一定过点C
（3）设点P的横坐标为a， ＜a ＜3
B
x
O
y
A
D
C
14．（山东济南）如图，已知双曲线y＝ 经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限分支上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．
（1）求k的值；
（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；
（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
解：（1）∵双曲线y＝ 经过点D（6，1）
∴1＝ ，∴k＝6
（2）设点C到BD的距离为h
∵点D的坐标为（6，1），DB⊥y轴，∴BD＝6
∴S△BCD＝ ×6×h＝12，∴h＝4
B
x
O
y
A
D
C
E
F
∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1
∴点C的纵坐标为－3
∴－3＝ ，∴x＝－2
∴点C的坐标为（－2，－3）
设直线CD的解析式为y＝kx＋b
则 解得
∴直线CD的解析式为y＝ x－2
（3）AB∥CD
理由如下：
设直线CD与x轴，y轴分别交于点E，F，则E（4，0），F（0，－2）
∴OE＝4，OF＝2，∴tan∠EFO＝ ＝2
∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，C（－2，－3），D（6，1）
∴A（－2，0），B（0，1），∴OA＝2，OB＝1，∴tan∠ABO＝ ＝2
∴∠ABO＝∠EFO，∴AB∥CD
15．（山东淄博）如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y＝－ x＋b过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；
（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．
A
B
D
O
C
E
F
y
x
（4）若点P是x轴上的动点，点Q是（1）中的反比例在第一象限图象上的动点，且使得△PDQ为等腰直角三角形，直接写出点P的坐标．
解：（1）设反比例函数的解析式为y＝
∵反比例函数的图象过点E（3，4），∴4＝
∴k＝12，∴y＝
（2）由题意，点D的横坐标为4
把x＝4代入y＝ ，得y＝3，∴D（4，3）
把D（4，3）代入y＝－ x＋b，得3＝－ ×4＋b
A
B
D
O
C
E
F
y
x
G
∴b＝5，∴y＝－ x＋5
把y＝4代入y＝－ x＋5，得4＝－ x＋5
∴x＝2，∴F（2，4）
（3）∠AOF＝ ∠EOC
证明：在AO上取点G，使GC＝GF，连接GF
则∠GOF＝∠GFO，∴∠AGF＝2∠AOF
设GC＝GF＝x，则AG＝4－x
在Rt△AGF中，2 2＋(4－x )2＝x 2
解得x＝ ，∴AG＝4－ ＝
∴tan∠AGF＝ ＝ ＝
∵tan∠AEO＝ ＝ ，∴∠AGF＝∠AEO
∴∠AEO＝2∠AOF
又AB∥OC，∴∠AEO＝∠EOC
∴∠EOC＝2∠AOF，即∠AOF＝ ∠EOC
（4）P1（ ，0），P2（5，0），P3（ ，0）
16．（湖北某校自主招生）在直角坐标系中，O为坐标原点，A是双曲线y＝ （k＞0）在第一象限图象上的一点，直线OA交双曲线于另一点C．
（1）如图1，当OA在第一象限的角平分线上时，将OA向上平移 个单位后与双曲线在第一象限的图象交于点M，交y轴于点N，若 ＝ ，求k的值；
O
C
A
B
x
y
图2
D
（2）如图2，若k＝1，点B在双曲线的第一象限的图象上运动，点D在双曲线的第三象限的图象上运动，且使得四边形ABCD是凸四边形时，求证：∠BCD＝∠BAD．
O
C
A
N
x
y
M
图1

解：（1）依题意，可得直线MN的解析式为y＝x，MN的解析式为y＝x＋
解方程组 得点A的坐标为（，）
设点M的坐标为（x1，y1），则 ＝ ＝2
∴x1＝ ，y1＝2 ，代入y＝x＋ 中，解得k＝1
（2）作BE⊥x轴交AD于E，作DH⊥x轴交BC于H
O
C
A
B
x
y
D
E
H
F
设A（a，），B（b，），D（d，），则C（－a，－ ）
得直线AC的解析式为y＝ x
设BE交直线AC于点F，则F（b，）
∴ ＝ ＝
＝ ＝
∴ ＝ ，∴BF平分∠ABC
同理，DH平分∠ADC
∴在△ABE和△CDH中
∠ABE＝∠EBC＝∠DHC，∠AEB＝∠ADH＝∠CDH
∴∠BCD＝∠BAD
17．（湖北模拟）如图，反比例函数y＝ 的图象经过点A（a，b）且| a＋2|＋( b－2)2＝0，直线y＝2x－2与x轴交于点B，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将线段BC绕坐标平面内的某点M旋转180° 后B、C两点恰好都落在反比例函数的图象上，求点M的坐标；
C
B
y
x
y＝2x－2
A
O
C
B
y
x
y＝2x－2
备用图
A
O
（3）在反比例函数的图象上是否存在点P，使以PB为直径的圆恰好过点C？若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）∵| a＋2|＋( b－2)2＝0，∴a＝－2，b＝2
∴k＝ab＝－2×2＝－12
∴反比例函数的解析式为y＝－
（2）∵直线y＝2x－2与x轴交于点B，与y轴交于点C
∴B（1，0），C（0，－2）
设线段BC绕坐标平面内的某点M旋转180° 后B、C两点的对应点
分别为D、E，并设D（m，n），则E（m＋1，n＋2），代入y＝－
解得： 或
∴D（2，－6）或D（－3，4）
易知M为BD的中点
由B（1，0），D（2，－6），得M（ ，－3）
由B（1，0），D（－3，4），得M（－1，2）
C
B
y
x
y＝2x－2
A
D
E
M
O
C
B
y
x
y＝2x－2
A
D
E
M
O
∴点M的坐标为（ ，－3）或（－1，2）
C
B
y
x
y＝2x－2
A
P
P
O
H
（3）假设存在点P，使以PB为直径的圆恰好过点C
则∠PCB＝90°
设P（x，－ ），过P作PH⊥y轴于H，易证△CHP∽△BOC
得 ＝ （或 ＝ ）
解得x1＝－2＋2 ，x2＝－2－2
∴P1（－2＋2 ，－1－ ），P2（－2－2 ，－1＋ ）
18．（广西北海）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（－2，0）、B（0，1）、C（d，2）．
（1）求d的值；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′ 正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′ 的解析式；
（3）在（2）的条件下，设直线B′C′ 交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′ 是平行四边形．如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
O
B
C
A
G
A′
B′
C′
x
y

解：（1）作CN⊥x轴于N
在Rt△CNA和Rt△AOB中，∵NC＝OA＝2，AC＝AB
∴Rt△CNA≌Rt△AOB
O
B
C
A
G
A′
B′
C′
x
y
K
Q
P′
E
H
F
M′
N
∴AN＝BO＝1，NO＝NA＋AO＝3，且点C在第二象限
∴d＝－3
（2）设反比例函数为y＝ ，点C′ 和B′ 在该比例函数图像上
设C′（m，2），则B′（m＋3，1）
把C′ 、B′ 的坐标分别代入y＝ ，得k＝2m，k＝m＋3
∴2m＝m＋3，m＝3，则k＝6
∴反比例函数解析式为y＝
得点C′（3，2），B′（6，1）
设直线B′C′ 的解析式为y＝ax＋b，把C′ 、B′ 的坐标分别代入，得
解得：
∴直线B′C′ 的解析式为y＝－ x＋3
（3）设Q是GC′ 的中点，易知G（0，3）
由G（0，3），C′（3，2），得Q（ ，）
过点Q作直线l与x轴交于M ′ 点，与y＝ 的图象交于P′ 点
若四边形P′GM′C′ 的是平行四边形，则有P′Q＝QM ′
易知点M ′ 的横坐标大于 ，点P′ 的横坐标小于
作P′H⊥x轴于H，QK⊥y轴于K，P′H与QK交于点E
作QF⊥x轴于F，则△P′EQ≌△QFM ′
设EQ＝FM ′＝t，则点P′ 的横坐标为 －t，点P′ 的纵坐标为 ＝
∴P′（ －t，），M ′（ ＋t，0），∴P′E＝ －
由P′E＝QF，得 － ＝
解得t＝ （经检验，它是分式方程的解）
∴ －t＝ ， ＝5， ＋t＝
∴P′（ ，5），M ′（ ，0）
则点P′ 为所求的点P，点M ′ 为所求的点M
19．（广西玉林、防城港）如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y＝ 的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．
（1）填空：双曲线的另一支在第_________象限，k的取值范围是_______________；
（2）若点C的坐标为（2，2），当点E在什么位置时，阴影部分面积S最小？
B
x
O
y
A
D
C
E
（3）若 ＝ ，S△OAC ＝2，求双曲线的解析式．
解：（1）三