初等数学研究(补充版).doc

初等数学研究
1.（P383例4）在△ABC中,∠C=90°，∠A=30°，在△ABC的外侧分别以AB、AC为一边作正△ABE，正△ACD,如图，连接DE交AB于F。求证：EF=FD 。
证明：作EH⊥AB交AB于H点。
∵∠CAD=60°，∠BAC=30°
∴∠EHF=∠DAF=90°
设BC=a，则AC=EH=a
又∵∠EFH=∠DFA(对顶角)
∴△EFH≌△DFA(AAS)
∴EF=FD
2.(P395例6)已知设H是△ABC的垂心，O是外心。OD⊥BC于D。如图，求证：AH=2OD 。
证明：取AB、H的中点M、N，连接OM,MN,DN
则MN∥AH∥OD ND∥CH∥OM
∴四边形MNDO是平行四边形。
∴OD=MN=AH
即AH=2OD
3.（P423例21）在△ABC的三边AB、BC、和CA上分别取点M、K和L，使MK∥AC，ML∥BC；设BL、MK交于P,AK、ML交于Q。如图，求证：PQ∥AB。
证明：∵ML∥BC MK∥AC
∴
∴ 因此PQ∥AM 即PQ∥AB

4.（P430例26）设A、B为平面上的二定点，C为平面位于直线AB同侧的一动点，各以AC、AB为边，在△ABC之外作正方形CADI、CBEJ，如图。
求证：无论C点取在直线AB同侧的任何位置，DE的中点M的位置不变。
证明：自D、E、C和M分别作AB的垂线，设其垂足依次
为G、H、K和N。
∵AD=AC ∠1=∠2 ∠CKA=∠AGD=90°
∴△ADG≌△CAK（AAS）
∴AG=CK DG=AK
同理： CK=BH EH=BK
∴AG=BH
∵N平方HG（MN是梯形中位线）
∴N平分AB
∵EH+DG=BK+AK=AB
∴MN=(EH+DG)=AB
又∵MN⊥AB ∴DE的中点M是定点。
5.（P437例28）在任一三角形中，外心、垂心和重心共线。
证明：∵G为三角形重心
∴AG=2DG
又由P395例6知AH=2DO
又∵OD∥AH
∴∠1=∠2
∴△DOG∽△AHG
∴∠OGD=∠HGA
∴H、G、O三点共线
6.（P437例29）三角形外接圆上任一点向三边作垂线，则三垂点共线。
证明：假定：任意点P位于弧BC上，如图，设X、Y
和Z分别是自P向BC，CA和AB所引垂线之垂足，
再连结B、PC，则有
P、X、Z、B共圆 ∴ +∠ABP=180°
ABPC内接于圆 ∴∠ABP=
P、X、C、Y共圆 ∴=
∴180° 即X、Y、Z共线
7.（P443例30）在直角梯形ABCD中，以垂直的一腰AB为直径之半圆切另一腰于E，自E作EF⊥AB于F，连结AC交EF于M。求证：AC平分EF 。
证明：∵AD∥EF∥BC
∴
∵DE=AD ∴
又∵△ACD∽△MCE
∴
∴ ∴
又∵CE=BC
∴ ∴FM=EM
即AC平分EF 。
8.（P457例42）在等腰Rt△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，连结BD，过A作BD的垂线交BC于E，连结DE，如图，求证：∠ADB=∠CDE 。
证明：作FC⊥AC交AC于C点，交AE延长线于F点，则
Rt△ACF≌Rt△BAD（ASA） ∴∠1=∠2 CF=AD=DC
∵∠ECF=∠DCE=45° ∴△CFE≌△CDE ∴∠3=∠2
∴∠1=∠3
即∠ADB=∠CDE
9.（P475例1.48蝴蝶定理）设AB是圆O的弦，M是AB的中点，现过M任作二弦CD、EF，记P、Q为AB依次与CF、ED的交点。如图，求证：PM=MQ 。
证明：将MF沿直线OM翻转至MF’，则有
MF=MF’ , ∠1=∠1’
∵D、E、F、F’四点共圆
∴∠5=∠4
又∵AB∥FF’
∴∠5=∠1=∠1’
∴∠1’=∠4
∴M、F’、D、Q四点共圆
∴∠2’=∠3=∠2
∴△MFP≌△MF’Q(ASA)
∴MP=MQ
10.（P481例1.49）在△ABC中，AB=AC，D是BC上的一点，E是AD上的一点，且∠BED=2∠CED=∠A,
求证：BD=2CD 。
证明：在BE上取BF=AE
∵∠BED=∠BAC
+∠BAE=∠A
+∠BAD=∠BED
∴=
∴△ABF≌△CAE(SAS)
∴∠1=∠2 ∠AFB=∠CEA
∴∠3=∠4=∠A
∠5=∠BAC-(∠2+)=∠BAC-∠4=∠A
∴∠3=∠5 ∴AE=FE
∴BE=2AE
∴
11.（P492题13）在矩形ABCDA中，M是AD的中点，N是BC的中点，在CD的延长线上取PD点，记Q为PM与AC的交点，求证：∠QNM=∠MNP 。
证明：设O为矩形中心，则O为MN中点，延长QN交DC的延长线于R点
则C又是PR的中点
故NC平分∠PNR
而MN⊥NC
∴MN平分∠QNP
即∠QNM=∠MNP

12.（P492题15）在等腰直角△ABC的二直角边CA、CB上取点D、E使CD=CE,从C、D引AE的垂线，并延长它们分别交AB于K、L，求证：KL=KB 。
证明：延长AC到F使CF=CE，则
在△ACE与△BCF中
AC=BC ∠ACB=∠BCF CE=CF
∴△ACE≌△BCF（SAS）
∴∠CBF=∠CAE ∠F=∠CEA
又∵∠CAE+∠CEA=90°
∴∠F+∠CAE=90° ∴AE⊥BF
又∵CK⊥AE DL⊥AE
∴DL∥CK∥BF
∴在梯形DFBC中
∵DC=CF
∴ 即LK=KB
13.（P493题20）在锐角△ABC中，过各顶作其外接圆的切线，A、C处的二切线分别交B处的切线于M、N，设BD是△ABC的高（D为垂足），求证：BD平分∠MDN 。
证明：作MM’⊥AC交AC于M’作NN’⊥AC交AC于N’
设AM=m CN=n
∵∠MAM’=∠ABC=∠NCN’
∴∠MAM’=∠NCN’
又∵∠MM’A=∠NN’C=90°
∴△MAM’ ∽△NCN’
∴
又∵MM’ ∥BD∥NN’
∴
∴△ADM∽△CDN
∴ 即
∴BD平分∠MDN 。
14.（P493题22）已知：AD是△ABC的高，P是AD上任一点，连结BP—CP，延长分别交AC、AB于E、F，求证：DA平分∠EDF 。
证明：过E作EH⊥BC，垂足为H，EH交CF于I
过F作FG⊥BC，垂足为G，FG交BE于J
∵EH⊥BC，AD⊥BC，FG⊥BC ∴FH∥AD∥FG
∴ ∴
又∵ ∴△EIP∽△JFP ∴
因此△EHD∽△FGD
∴∠DFJ=∠DEI
∴∠FDB=∠EDC 即∠ADF=∠ADE
∴DA平分∠EDF 。
15.（P497题1）I是△ABC的内心，AI、BI和CI的延长线分别交△ABC的外接圆于D、E和F。
求证：EF⊥AD
证明：∵AI、BI和CI分别是∠BAC、∠ABC和∠ACB的角平分线
∴∠1=∠BAC ∠2=∠ABC ∠3=∠ACB
∴∠5=∠1+∠2=∠BAC+∠ABC
又∵∠3=∠4=∠ACB
∴∠4+∠5=∠BAC+∠ABC+∠ACB=90°
即EF⊥AD 。
16.（P498题6）在正方形ABCD内任取一点E，连结AE、BE，在△ABE外分别以AE、BE为边作正方形AEMN和EBFG，连结NC、AF。求证：NC∥AF 。
证明：连结DN与CF
∵AN=AE AD=AB ∠NAE=∠EAB
∴∠NAD=∠EAB
∴△ADN≌△ABE(SAS) ∴ND=EB
同理△ABE≌△CDF（SAS）
∴BF=BE=DN ∠CBF=∠AND
∴∠CDN=∠ABF
∵AB=CD
∴△CDN≌△ABF（SAS） ∴AF=NC
∴四边形ANCF是平行四边形
∴AF∥NC
17.（P500题3）设P、M分别在正方形ABCD的边DC、BC上，PM与圆A（半径为AB）相切，线段PA、MA分别交对角线BD于Q、N。求证：五边形PQNMC内接于圆 。
证明：连结MQ、AT 
∴∠1＝∠1′，∠2＝∠2′ 
∴∠1′＋∠2′＝45° 
∴α=45°＋∠2   β＝∠MAP＋∠2＝45°＋∠2 
∴α＝β 
∴A、B、M、Q共圆  
∴∠ABM＋∠MQA＝180°且∠ABM＝90° 
∴∠MQA＝90° 
∴M、C、P、Q共圆 
同理P、N、M、C共圆 
∴M、C、P、Q、N五点共圆。
18.（P518例3）已知：O是△ABC的外心，AO或AO的延长线交BC边于M。求证： 。
证明：∵∠AOB=2∠C ∠AOC=2∠B
∴
又∵
∴
19.(P531例10)证明：对任意的x，y，z∈（0,1），皆有x（1-y）+y(1-z)+z(1-x)<1
证明：∵(1-x)(1-y)(1-z)=1-xyz-x(1-y)-y(1-z)-z(1-x)
即x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=1-xyz-(1-x)(1-y)(1-z)
∴x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1
20.(P545题1)在平行四边形ABCD在，E是BC的中点，G是AE、BD的交点若，求。
解：∵BC∥AD BE=AD
∴=4=4
∵AG:GE=2：1
∴=2
∴
∴
21.(P545题2)在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD的角平分线交AD于E，CE⊥AD，DE=2AE，若=1，求。
解：延长DA、CB交于F点，作FN⊥CD，垂足为N，交AB于M点
∵CE平分∠BCD CE⊥AD
∴DE=EF=2AE =1
∵AB∥CD
∴
∴=1：16
又∵=2 ∴==
∴

22.（P545题4）已知：在平行四边形ABCD中，P、Q分别在边BC、CD上，且PQ∥BD、连结AP、AQ，
求证： 。
证明：连结AC交BD于O点，交PQ于E点
∵PQ∥BD
∴
又∵BO=OD ∴PE=EQ
∴
即 ∴
23.（P547题1）如图，AB∥EF∥CD，已知AB=20，CD=80，BC=100那么，EF的值是多少？
解：∵AB∥EF∥CD
∴
又∵
∴ 即
∴EF=16
24.（P548题2）如图，正方形OPQR内接于△ABC，已知,,,那么，正方形OPQR的边长是什么？
解：设正方形OPQR的边长为x
则BP=，QC=，PQ=x，h=，H=x+
则=1+3+1+=（）（）
即 10+2=+10+
∴ =16
∵x>0 ∴x=2
25.（P548题3）如图，长方形ABCD中，F为边CD的中点，BC=3BE，则(阴影部分的面积)的多少倍？
解：设长方形长为a，宽为b
则ab=ab
a）（b）=ab
因此ab
而ab 即
26.(P549题6)如图，在△ABC中，DE∥BC,且,则
解：∵
∴
∵DE∥BC
∴
∴
∴
27.（P549题7）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O，在BC上取点E，使EC=BC，DE交AC于F，则AO:OF:FC=？
解：∵BC∥AD CE=BC=AD
∴
设FC=1，则FA=4 AO=（FC+FA）=2.5
∴OF=1.5
∴AO:OF:FC=5：3：1
28.(P549题8)如图，AB是圆O的直径，AB=4，弦BC=3，∠ABC的角平分线交半圆于D，AD、BC的延长线交于E，则是的多少倍?
解：作DF⊥CE交CE于F点
∵BD是∠ABE的角平分线 BD⊥AE
∴BE=AB=4
∴CE=1 BC=3
∴
即
29．（P550题11）如图，ABCD是面积为1的正方形。△PBC为正三角形，则△PBD的面积是什么？
解：
=
=
30.(P550题13)如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB边上的高线，∠A=45°，那么，
解：设AE=m ，AF=n
∵∠A=45°，∠AEB=∠AFC=90°
∴AB=m AC=n
∴
∴
∴
31.（P576例3）设E在正方形ABCD内，且∠ECD=∠EDC=15°，求证：△EAB是正三角形。
证明：将E点沿CD反射到E’则ECE’D是含30°的菱形
∵sin30°=
∴
∴
又∵∠ADE=∠DEE’=75°
∴△ADE∽△DEE’
∴AE=AD 即△ABE是正三角形。
32.（P577例4）在△ABC中，M是BC的中点。求证：AB+AC>2AM 。
证明：延长AM到D，使得AM=MD
则四边形ABDCA是平行四边形
∴BD=AC AD=2AM
又∵AB+BD>AD
∴AB+AC>2AM
33.（P58例8）设正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、AD上的一点，如图，若△APQ的周长为2.求∠PCQ 。
解：将△CDQ绕C点旋转90°，至△CBQ’，如图
则△CDQ≌△CBQ’
∴CQ=CQ’ DQ=BQ’
∵△APQ的周长是2
∴PQ=PB+DQ 即PQ=PQ’
又∵CQ=CQ’ PC公用
∴△CPQ≌△CPQ’
∴∠PCQ=∠PCQ’
又∵∠QCQ’=90°
∴∠PCQ=45°
34.（P589题6）在正方形ABCD中，E为BC的中点，过E引EF⊥AE交∠C的外角平分线于F点，
求证：AE=EF 。
证明：取AB中点M，连结EM
则AM=EC 且∠BME=∠NCE=45°
∴∠AME=∠ECF=135°
∵∠1+∠AEB=90° AE⊥EF
∴∠2+∠AEB=90°
∴∠1=∠2
∴△AME≌△ECF(ASA)
∴AE=EF
补充
1.（P500题2）四圆顺次外切，求证：四切点共圆。
证明：由题意知：∠ABD=∠ ∠CBD=∠
∠CDB=∠ ∠ABD=∠
∴∠ABC+∠ADC=∠+∠+∠+∠
=(∠+∠+∠+∠)
=180°
∴A、B、C、D四点共圆。
2.（P523例6）已知：在△ABC中，D、E和F分别位于边BC、CA和AB上，且,
求证： 。
证明：∵
同理
∴
即
3.（P573例1）在以O为圆心的半圆的直径AB上，取异于A、B和O的点C，过C引与AB成等角的射线CD、CE分别交半圆于D、E，过D引与DC垂直的直线，与半圆交于另一点K。求证：当K≠E时，KE∥AB 。
证明：将E点关于AB反射到F点，
则EF⊥AB且KF为圆O的直径
即KE⊥EF
∴KE∥AB

4. (P577例5)在四边形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，且MM=(AB+CD)。
求证：ABCD是平行四边形 。
证明：连结AC，取AC中点O 连结MO,NO
则MO平行且等于CD
NO平行且等于AB
∴MO+NO=（AB+CD）
而MO+NO≥MN=(AB+CD)
∴M、O、N共线
因此AB∥CD 即ABCD是平行四边形。
5.（P579例6）设P、Q为线段BC上两定点，且BP=CQ，A为BC外的一动点，当A运动到使∠BAP=∠CAQ时，△ABC是什么三角形？
解：作AA’平行且等于BQ，连结A’Q、A’C
则△A’QC≌△ABP
∴∠QA’C=∠BAP=∠QAC
∴AQCA’内接于圆
作AA’∥QC
则梯形AQCA’等腰
∴AC=A’Q=AB
∴△ABC等腰。