初等数学研究(补充版).doc

初等数学研究1.（P383例4）在ABC中,C=90，A=30，在ABC的外侧分别以AB、AC为一边作正ABE，正ACD,如图，连接DE交AB于F。求证：EF=FD 。证明：作EHAB交AB于H点。CAD=60，BAC=30EHF=DAF=90设BC=a，则AC=EH=a又EFH=DFA(对顶角)EFHDFA(AAS)EF=FD2.(P395例6)已知设H是ABC的垂心，O是外心。ODBC于D。如图，求证：AH=2OD 。证明：取AB、H的中点M、N，连接OM,MN,DN则MNAHOD NDCHOM四边形MNDO是平行四边形。OD=MN=AH即AH=2OD3.（P423例21）在ABC的三边AB、BC、和CA上分别取点M、K和L，使MKAC，MLBC；设BL、MK交于P,AK、ML交于Q。如图，求证：PQAB。证明：MLBC MKAC 因此PQAM 即PQAB4.（P430例26）设A、B为平面上的二定点，C为平面位于直线AB同侧的一动点，各以AC、AB为边，在ABC之外作正方形CADI、CBEJ，如图。求证：无论C点取在直线AB同侧的任何位置，DE的中点M的位置不变。证明：自D、E、C和M分别作AB的垂线，设其垂足依次为G、H、K和N。AD=AC 1=2 CKA=AGD=90ADGCAK（AAS）AG=CK DG=AK同理： CK=BH EH=BKAG=BHN平方HG（MN是梯形中位线）N平分ABEH+DG=BK+AK=ABMN=(EH+DG)=AB又MNAB DE的中点M是定点。5.（P437例28）在任一三角形中，外心、垂心和重心共线。证明：G为三角形重心 AG=2DG又由P395例6知AH=2DO又ODAH 1=2 DOGAHG OGD=HGA H、G、O三点共线6.（P437例29）三角形外接圆上任一点向三边作垂线，则三垂点共线。证明：假定：任意点P位于弧BC上，如图，设X、Y和Z分别是自P向BC，CA和AB所引垂线之垂足，再连结B、PC，则有P、X、Z、B共圆 +ABP=180ABPC内接于圆 ABP=P、X、C、Y共圆 =180 即X、Y、Z共线7.（P443例30）在直角梯形ABCD中，以垂直的一腰AB为直径之半圆切另一腰于E，自E作EFAB于F，连结AC交EF于M。求证：AC平分EF。证明：ADEFBC DE=AD 又ACDMCE 又CE=BC FM=EM即AC平分EF 。8.（P457例42）在等腰RtABC中，AB=AC，D是AC的中点，连结BD，过A作BD的垂线交BC于E，连结DE，如图，求证：ADB=CDE 。证明：作FCAC交AC于C点，交AE延长线于F点，则RtACFRtBAD（ASA） 1=2 CF=AD=DCECF=DCE=45 CFECDE 3=21=3即ADB=CDE9.（P475例1.48蝴蝶定理）设AB是圆O的弦，M是AB的中点，现过M任作二弦CD、EF，记P、Q为AB依次与CF、ED的交点。如图，求证：PM=MQ 。证明：将MF沿直线OM翻转至MF，则有MF=MF , 1=1 D、E、F、F四点共圆 5=4 又ABFF 5=1=1 1=4 M、F、D、Q四点共圆 2=3=2 MFPMFQ(ASA) MP=MQ10.（P481例1.49）在ABC中，AB=AC，D是BC上的一点，E是AD上的一点，且BED=2CED=A,求证：BD=2CD 。证明：在BE上取BF=AEBED=BAC +BAE=A +BAD=BED=ABFCAE(SAS)1=2 AFB=CEA3=4=A 5=BAC-(2+)=BAC-4=A3=5 AE=FEBE=2AE11.（P492题13）在矩形ABCDA中，M是AD的中点，N是BC的中点，在CD的延长线上取PD点，记Q为PM与AC的交点，求证：QNM=MNP 。证明：设O为矩形中心，则O为MN中点，延长QN交DC的延长线于R点 则C又是PR的中点 故NC平分PNR 而MNNC MN平分QNP 即QNM=MNP12.（P492题15）在等腰直角ABC的二直角边CA、CB上取点D、E使CD=CE,从C、D引AE的垂线，并延长它们分别交AB于K、L，求证：KL=KB 。证明：延长AC到F使CF=CE，则在ACE与BCF中AC=BC ACB=BCF CE=CFACEBCF（SAS）CBF=CAE F=CEA又CAE+CEA=90 F+CAE=90 AEBF又CKAE DLAE DLCKBF 在梯形DFBC中 DC=CF 即LK=KB13.（P493题20）在锐角ABC中，过各顶作其外接圆的切线，A、C处的二切线分别交B处的切线于M、N，设BD是ABC的高（D为垂足），求证：BD平分MDN 。证明：作MMAC交AC于M作NNAC交AC于N 设AM=m CN=n MAM=ABC=NCN MAM=NCN 又MMA=NNC=90 MAM NCN 又MM BDNN ADMCDN 即 BD平分MDN 。14.（P493题22）已知：AD是ABC的高，P是AD上任一点，连结BPCP，延长分别交AC、AB于E、F，求证：DA平分EDF 。证明：过E作EHBC，垂足为H，EH交CF于I 过F作FGBC，垂足为G，FG交BE于J EHBC，ADBC，FGBC FHADFG 又 EIPJFP 因此EHDFGD DFJ=DEI FDB=EDC 即ADF=ADEDA平分EDF 。15.（P497题1）I是ABC的内心，AI、BI和CI的延长线分别交ABC的外接圆于D、E和F。求证：EFAD证明：AI、BI和CI分别是BAC、ABC和ACB的角平分线 1=BAC 2=ABC 3=ACB 5=1+2=BAC+ABC又3=4=ACB 4+5=BAC+ABC+ACB=90 即EFAD 。16.（P498题6）在正方形ABCD内任取一点E，连结AE、BE，在ABE外分别以AE、BE为边作正方形AEMN和EBFG，连结NC、AF。求证：NCAF 。证明：连结DN与CFAN=AE AD=AB NAE=EABNAD=EABADNABE(SAS) ND=EB同理ABECDF（SAS）BF=BE=DN CBF=ANDCDN=ABFAB=CDCDNABF（SAS） AF=NC四边形ANCF是平行四边形AFNC17.（P500题3）设P、M分别在正方形ABCD的边DC、BC上，PM与圆A（半径为AB）相切，线段PA、MA分别交对角线BD于Q、N。求证：五边形PQNMC内接于圆 。证明：连结MQ、AT11，221245=452MAP2452A、B、M、Q共圆ABMMQA180且ABM90MQA90M、C、P、Q共圆同理P、N、M、C共圆M、C、P、Q、N五点共圆。18.（P518例3）已知：O是ABC的外心，AO或AO的延长线交BC边于M。求证： 。 证明：AOB=2C AOC=2B 又 19.(P531例10)证明：对任意的x，y，z（0,1），皆有x（1-y）+y(1-z)+z(1-x)1证明：(1-x)(1-y)(1-z)=1-xyz-x(1-y)-y(1-z)-z(1-x) 即x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=1-xyz-(1-x)(1-y)(1-z) x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)0 x=225.（P548题3）如图，长方形ABCD中，F为边CD的中点，BC=3BE，则(阴影部分的面积)的多少倍？解：设长方形长为a，宽为b则ab=ab a）（b）=ab因此ab而ab 即26.(P549题6)如图，在ABC中，DEBC,且,则解：DEBC27.（P549题7）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O，在BC上取点E，使EC=BC，DE交AC于F，则AO:OF:FC=？解：BCAD CE=BC=AD设FC=1，则FA=4 AO=（FC+FA）=2.5OF=1.5AO:OF:FC=5：3：128.(P549题8)如图，AB是圆O的直径，AB=4，弦BC=3，ABC的角平分线交半圆于D，AD、BC的延长线交于E，则是的多少倍?解：作DFCE交CE于F点BD是ABE的角平分线 BDAEBE=AB=4 CE=1 BC=3 即29（P550题11）如图，ABCD是面积为1的正方形。PBC为正三角形，则PBD的面积是什么？解： = =30.(P550题13)如图，在ABC中，BE、CF分别是AC、AB边上的高线，A=45，那么，解：设AE=m ，AF=nA=45，AEB=AFC=90AB=m AC=n 31.（P576例3）设E在正方形ABCD内，且ECD=EDC=15，求证：EAB是正三角形。证明：将E点沿CD反射到E则ECED是含30的菱形 sin30= 又ADE=DEE=75 ADEDEE AE=AD 即ABE是正三角形。32.（P577例4）在ABC中，M是BC的中点。求证：AB+AC2AM 。证明：延长AM到D，使得AM=MD 则四边形ABDCA是平行四边形 BD=AC AD=2AM又AB+BDAD AB+AC2AM33.（P58例8）设正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、AD上的一点，如图，若APQ的周长为2.求PCQ 。解：将CDQ绕C点旋转90，至CBQ，如图则CDQCBQCQ=CQ DQ=BQAPQ的周长是2PQ=PB+DQ 即PQ=PQ 又CQ=CQ PC公用CPQCPQPCQ=PCQ 又QCQ=90 PCQ=4534.（P589题6）在正方形ABCD中，E为BC的中点，过E引EFAE交C的外角平分线于F点，求证：AE=EF 。证明：取AB中点M，连结EM 则AM=EC 且BME=NCE=45 AME=ECF=135 1+AEB=90 AEEF 2+AEB=90 1=2 AMEECF(ASA) AE=EF补充1.（P500题2）四圆顺次外切，求证：四切点共圆。证明：由题意知：ABD= CBD= CDB= ABD= ABC+ADC=+ =(+) =180 A、B、C、D四点共圆。2.（P523例6）已知：在ABC中，D、E和F分别位于边BC、CA和AB上，且,求证： 。证明： 同理 即3.（P573例1）在以O为圆心的半圆的直径AB上，取异于A、B和O的点C，过C引与AB成等角的射线CD、CE分别交半圆于D、E，过D引与DC垂直的直线，与半圆交于另一点K。求证：当KE时，KEAB 。证明：将E点关于AB反射到F点，则EFAB且KF为圆O的直径即KEEFKEAB4. (P577例5)在四边形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，且MM=(AB+CD)。求证：ABCD是平行四边形 。证明：连结AC，取AC中点O 连结MO,NO 则MO平行且等于CD NO平行且等于AB MO+NO=（AB+CD） 而MO+NOMN=(AB+CD) M、O、N共线 因此ABCD 即ABCD是平行四边形。5.（P579例6）设P、Q为线段BC上两定点，且BP=CQ，A为BC外的一动点，当A运动到使BAP=CAQ时，ABC是什么三角形？解：作AA平行且等于BQ，连结AQ、AC则AQCABPQAC=BAP=QACAQCA内接于圆作AAQC则梯形AQCA等腰AC=AQ=ABABC等腰。