基于偏微分方程的图像平滑方法的研究.doc

成都理工大学毕业设计（论文）
基于偏微分方程的图像平滑方法的删除
研究
作者姓名：刘洋 专业班级：信息与计算科学 2008070201 指导教师：王茂芝
摘 要
在信息化的社会里，图像在信息传播中所起的作用越来越大。所以，消除在图像采集和传输过程中而产生的噪声，保证图像受污染度最小，成了数字图像处理领域里的重要部分，图像平滑作为图像处理中的重要环节，也逐渐受到人们的关注，图像平滑的目的主要是消除噪声。
本文详细介绍了图像平滑的发展，图像平滑方法按空间域和频率域的分类及各种方法的特点，由于传统的这些方法在去噪的同时会破坏图像的重要特征从而引出了基于偏微分方程的图像平滑方法。首先介绍图像处理应用时的常用函数及其用法；其次详细阐述了几种去噪算法原理及特点；最后运用Matlab软件对一张含噪图片（含高斯噪声或椒盐噪声）进行仿真去噪，本文分别从各向同性扩散方程和各向异性扩散方程对基于偏微分方程的图像平滑方法进行研究，进一步完善图像平滑方法，以达到平滑效果更理想的目的。

关键词：图像平滑；偏微分方程；各向同性扩散；各向异性扩散
Based on partial differential equations for image smoothing method image smoothing method research based on partial differential equations

Abstract In the information society, the role of image in the dissemination of information. Therefore, to eliminate the noise in the image acquisition and transmission process to ensure that an important part of the image contaminated minimum, has become the field of digital image processing, image smoothing as an important link in image processing, but also gradually by the attention, smooth the image main purpose is to eliminate noise.
This paper describes the development of image smoothing, image smoothing method according to the classification of the space and frequency domains and the characteristics of the various methods, these methods due to the traditional denoising will also undermine the image of the important characteristics which leads based on partial differential equationsimage Smoothing Method. First introduced the common functions and their usage in image processing applications; elaborated the principle and characteristics of several denoising algorithm; Matlab software on a noisy image (with Gaussian noise or salt and pepper noise) simulation denoising In this paper, research from the isotropic diffusion equation and anisotropic diffusion for image smoothing method based on partial differential equations, and further improve the image smoothing method in order to achieve the purpose of better smoothing effect

Key words: Image smoothing; partial differential equations; isotropic diffusion; anisotropic diffusion
目 录
第1章 前 言 1
1.1 课题研究背景 1
1.2 图像平滑的研究现状 2
1.2.1 领域平均法 2
1.2.2 低通滤波法 3
1.2.3 多图像平均法 4
1.2.4 中值滤波法 4
1.2.5 各向同性扩散方程 6
1.2.6 各向异性扩散方程 6
1.3 本文的研究目标和主要内容 7
第2章 偏微分方程基础知识 8
2.1 偏微分方程的导出与定解 8
2.1.1 偏微分方程的概念 8
2.1.2 几个典型的数学物理方程 8
2.1.3 初边值问题 9
2.2 热传导方程初值问题的求解 12
2.3 二阶偏微分方程的分类与化简 13
2.3.1 二阶偏微分方程的分类 13
2.3.2 二阶偏微分方程的化简 15
2.4 与图像处理有关的偏微分方程的例子 15
第3章 图像的基本知识 17
3.1 图像介绍 17
3.1.1 图像概述 17
3.1.2 图像分类 18
3.2 静态灰度图像的数学模型 18
3.2.1 静态灰度图像的连续模型 18
3.2.2 灰度图像的离散模型 20
3.3 静态彩色图像的数学模型 20
3.3.1 静态灰度图像的连续模型 20
3.3.2 彩色图像的数学模型 20
3.4 动态图像的数学模型 21
3.5 数字图像的采集 21
3.6 图像格式 23
第4章 数字图像处理的基本知识 27
4.1 数字图像处理的概述 27
4.1.1 数字图像处理技术的发展 27
4.1.2 数字图像处理技术的流程 27
4.1.3 低层图像处理 28
4.2 滤波和滤波器 29
4.3 图像增强算法 30
4.3.1 平滑空间滤波 30
4.3.2 锐化空间滤波 30
4.4 图像还原算法 31
4.4.1 噪声模型 31
4.4.2 去噪算法 32
第5章 基于偏微分方程的图像平滑 34
5.1 偏微分方程的概述 34
5.2 基于偏微分方程的图像平滑处理 34
5.2.1 各向同性扩散方程 35
5.2.2 各向异性扩散方程 37
5.3 图像平滑的实验分析 38
5.3.1 传统图像平滑方法分析 38
5.3.2 偏微分方程图像平滑方法分析 42
结 论 48
致 谢 50
参考文献 51

55

第1章 前 言
1.1 课题研究背景
21世纪，人类已经进入了信息化时代，计算机在处理各种信息中发挥着重要作用。据统计，人类从自然界获取的信息中，视觉信息占75%~85%。俗话说“百闻不如一见”，有些场景或事物，不管花费多少笔墨都难以表达清楚，然而，若用一幅图像描述，可以做到一目了然。可见，在当代高度信息化的社会中，图形和图像在信息传播中所起的作用越来越大，在图像处理领域，数字图像处理得到了飞速发展。
早期由于图像处理领域涉及的数学理论较浅，尽管图像处理与分析与计算机科学有很强的联系，但在相当长的一段时间里一些在特定条件下的算法的正确性没有得到很好的证明，图像处理研究的进展不大。近年来由于该领域研究者数学功底的增强，同时，由于该领域的巨大市场需求吸引了越来越多的数学工作者的加入。使该领域得到了前所未有的发展。图像增强、图像恢复和图像分割是图像处理与分析中的主要问题，对图像进行平滑和边缘检测等处理是常用的方法；然而，图像的平滑和边缘的保持是一对矛盾的关系；图像的低通滤波在降噪的同时模糊的图像的边界。而人对图像的高频部分（边缘细节）是很敏感的，图像的大部分信息存在于边缘和轮廓部分。传统的滤波和边缘检测方法难以处理这类问题。由于基于PDEs的图像处理方法在平滑噪声的同时可以使边界得到保持，因此在图像处理中得到广泛的运用。
基于偏微分方程的图像处理是图像处理领域中的一个重要分支，这方面的研究工作可从Nagao,rudin等关于图像光滑和图像增强的研究以及Koenderink对于图像结构的探索。
图像处理中的两个分支直接影响到了这个学科的最终形成。第一是图像分割，它实际上的是为了把真实世界中的物体从图像中分离出来，同时得到真就的边界。其中Mumford-Shah模型是较为常用的方法。具体算法略。第二是图像滤波，它是所有图像处理方法的前奏。1984年，Koenderink发现了图像信号经过高斯滤波后的结果与热传导方程存在一定的联系。图像滤波需要两个限制条件：对比度不变和仿射不变，满足的偏微分方程只有一个，所谓的AMSS方程。
基于偏微分方程的图像处理应用范围几乎覆盖要整个图像处理领域，包括图像识别、图像分割、图像重建、图像边缘提取、图像检索、医学图像处理、彩色图像处理、动态图像分析等。有的研究甚至用到了视觉哲学等的一些结论。一方面，这个领域的发展在应用领域不断拓展，另一方面随着本学科的发展，人们试图用严格的数学理论对现存的图像处理方法进行改造。基于偏微分方程的图像处理在使用偏微分方程理论的同时也推动了偏微分方程理论的以展。
我国的研究人员在这个领域关注的比较晚，从20世纪90年代到现在也取得了很多骄人的研究成果。
1.2 图像平滑的研究现状
图像平滑也称为图像去噪，是图像处理中的重要环节，它极大地影响着后继处理的结果。抑制或消除这些噪声而改善图像质量的过程称为图像的平滑。图像平滑的目的是为了消除噪声。图像噪声的来源有三：一为在光电、电磁转换过程中引入的人为噪声；二为大气层电（磁）暴、闪电、电压、浪涌等引起的强脉冲性冲激噪声的干扰；三为自然起伏性噪声，由物理量的不连续性或粒子性所引起，这类噪声又可分成热噪声、散粒噪声等。一个较好的去除噪声的方法应该是既能消除噪声又不使图像的边缘轮廓和线条变模糊,即在抑制噪声的同时有效地保持空间分辨率。图像平滑作为图像处理的重要环节，平滑质量的好坏直接影响到后继处理和分析的结果。通过观察噪声图像、考察图像的噪声模型可以知道不必要的细节和一些不光滑的现象，图像平滑算法可以去除图像中原本没有的、由噪声所带来的细节。
图像平滑的方法有很多，亦可以分为空间域或频率域，亦可以分为全局处理或局部处理，亦可以按线性平滑、非线性平滑和自适应平滑来区别。下面介绍几种简单的图像平滑的方法.
1.2.1 领域邻域
平均法
邻域平均法是一种局部空间域处理的算法。设一幅图像为 的阵列，平滑处理后得到的图像为,由式（1.1）决定
(1.1)
式中的=0 , 1 , 2 ， ,点邻域中心点的坐标的集合，但不包括点，内坐标点的总数。平滑化的图像的每个像素的灰度值由包含在的预定邻域中的的几个像素的灰度值的平均值所决定。
以上方法简单，计算速度快，但它的主要缺点是在降低噪声的同时使图像产生模糊，邻域越大，模糊越厉害。
为了减少这种效应，可以采用阈值法。当一些点和它的邻域内点的灰度的平均值的差不超过规定的阈值时，就仍然保留其原灰度值不变，如果大于阈值时就用它们的平均值来代替该点的灰度值。这样平滑后的图像会比邻域平均法模糊度减少。
1.2.2 低通滤波法
这是一种频域处理法。在分析图像信号的频率特性时，对于一幅图像，它的边缘、跳跃部分以及噪声都代表图像的高频分量，而大面积的背景区和慢变部分则代表图像的低频分量，用频域低通滤波法除去其高频分量就能去掉噪声，从而使图像得到平滑。
利用卷积定理，可以写成以下形式
（1.2）
其中是含噪图像的傅里叶变换，是平滑后图像的傅里叶变换，是传递函数。利用使的高频分量得到衰减，得到后再经过反变换就得到所希望的平滑图像了。

线性滤波器

图 1-1 低通滤波平滑图像的处理框图
由于傅里叶变换的性质决定，这种平滑的方法在处理过程中会产生较严重的模糊和振铃现象。
1.2.3 多图像平均法
如果一幅图像包含有加性噪声，这些噪声对于每个坐标点是不相关的，并且其平均值为零，在这种情况下就可能采用多图像平均法来达到去掉噪声的目的。
设为有噪声图像 ，为噪声，为原始图像，可用（1.3）式表示：
（1.3）
多图像平均法是把一系列有噪声的图像{ }叠加起来，然后再取平均值以达到平滑的目的。
当做平均处理的含噪声图像数目增加时，其统计平均值就越接近原始无噪声图像。这种方法在实际应用中的最大困难在于把多幅图像配准起来，以便使相应的像素能正确地对应排列。
1.2.4 中值滤波法
（1）对某些输入信号中值滤波的不变性
对某些特定的输入信号，如在窗口内单调增加或减少的序列，中值滤波输出信号仍保持输入信号不变，即：或，则。
3×3方形窗口中值滤波

3×3方形窗口中值滤波

3×3方形中值滤波
(a) 原始图像 (b)中值滤波输出
图1.1 中值滤波不变性示例
二维中值滤波的不变性如图1.1所示。它不但与输入信号有关，而且还与窗口形状有关。一般与窗口对顶角连线垂直的边缘线保持不变性。利用这个特点，可以使中值滤波既能去除图像中的噪声，又能保持图像中一些物体的边缘。
对于一些周期性的数据序列，中值滤波对此序列保持不变性。例如，下列一维周期性的数序列

若设窗口长度为9，则中值滤波对此序列保持不变性。对于二维周期序列不变性，如周期网状结构图案，分析起来就更复杂了，可以通过试验改变窗口形状和尺寸来获取。
（2）中值滤波去噪声性能
对于零均值正态分布的噪声输入，中值滤波输出的噪声方差近似为

（1.4）

式中：为输入噪声功率（方差），为中值滤波窗口长度（点数），为输入噪声均值，为输入噪声密度函数。
而均值滤波的输出噪声方差为
（1.5）
比较两公式，可以看出，中值滤波的输出与输入噪声的密度分布有关。对随机噪声的抑制能力，中值滤波比均值滤波要差一些。但对脉冲干扰，特别是脉冲宽度小于m/2、相距较远的窄脉冲干扰，中值滤波的效果较好。
（3）中值滤波的频谱特性
设G为输入信号频谱，F为输出信号频谱，定义中值滤波的频率响应特性为

（1.6）
试验表明，中值滤波频谱特性起伏不大，其均值比较平坦。可以认为信号经中值滤波后，频谱基本不变。这一特点对设计和使用中值滤波器很有意义。
1.2.5 各向同性扩散方程
传统的图像平滑算法如均值滤波、中值滤波和高斯滤波等,由于不考虑图像的形状特征,其平滑结果等价于传导系数为常量的热扩散方程,属于各向同性扩散。
如果图像中存在某种杂质，并且期浓度分布不均匀，这时，杂质将从浓度较高的区域向浓度较低区域迁移，这种迁移过程在物理学了称之为扩散；类似地，当介质中的温度分布不均匀时，将发生热量从温度较高的区域向温度较区域的迁移过程，称之为热传导。若以函数表示浓度随空间和时间的变化，那么空间分布的不均匀性用梯度来刻画，于是可以将杂质在宏观上的定向迁移，看成是由梯度产生的作用力-所推动的，这里负号表示作用力指向u值减小的方向。
1.2.6 各向异性扩散方程
（1）P-M模型
为了达到去噪同时保护边缘，可以采用扩散过程中的传导系数依赖于图像的局部特征。具体来说，在图像比较平坦的区域，传导系数能自动增大。这可使平坦区域中较小的起伏被平滑；而在图像的边缘附近，传导系数能自动减小，可使边缘几乎不受影响。
Perona和Malik引入的各向异性扩散方程是这个领域最有影响的工作。他们提出用保边界的具有方向性的热扩散方程来代替高斯平滑滤波器。他们的研究开辟了图像处理中偏微分方程理论和应用的很多新领域。
（2）Catte模型
理想的扩散系数要使得式在图像均质区域内扩散程度大以利于噪声消除；在边缘区域内扩散程度小以利于保持边缘。Catte 等人指出P-M 方法是“病态”的，输入的微小变化会导致输出完全改变;Whitaker 证明P-M 方法处理所得的图像受“阶梯”效应干扰，视觉效果差。
1.3 本文的研究目标和主要内容
图像在获取和传输过程中，往往受到噪声的干扰，而降噪的目的是尽可能保持原始信号主要特征的同时，除去信号中的噪声。目前的图像去噪方法可以将图像的高频成分滤除，虽然能够达到降低噪声的效果，但同时破坏了图像细节。边缘特性是图像最为有用的细节信息，本文对邻域平均法、中值滤波法、维纳滤波法及偏微分方程的各向异性扩散方程方法和各向同性方程方法的图像去噪算法进行了研究分析和讨论。
本文共分为六部分，具体内容安排如下：
u 前言，介绍所研究课题的研究背景、意义，国内外研究现状，以及课题的研究思路、研究内容。
u 第二章，偏微分方程的基础知识，简单介绍了偏微分方程的概念和几种常见的偏微分方程，及偏微分方程在图像处理中的几个例子。
u 第三章，简单地介绍了图像的基本知识，介绍了图像的概念、分类、图像的采集、图像的模型和常见的图像的格式。
u 第四章，简单地介绍了数字图像处理的基本知识，介绍了数字图像处理的发展状况，说明了数字图像处理的流程以及图像增强算法和图像还原算法。
u 第五章，研究了基于偏微分方程图像平滑的方法，简单的介绍了各向同性扩散方程和各向异性扩散方程方法，用实验验证了偏微分方程的图像平滑方法。
u 第六部分给出了本文的研究结论，对比了传统的图像平滑方法和基于偏微分方程图像平滑方法。
第2章 偏微分方程基础知识
2.1 偏微分方程的导出与定解
2.1.1 偏微分方程的概念

如果一个微分方程中待求解的未知函数只有一个自变量，那么这个方程是常微分方程；如果未知函数有多个自变量，方程中出现多元函数对不同自变量的各阶偏导数，那么，这样的微分方程就称为偏微分方程。
偏微分方程概念的引入是科学家研究自然的一个必然结果，因为几乎所有的研究对象，包括天文学、物理学等领域的物体运动、状态变化等都不可能只受到一个 因素的影响，它们往往与位置、时间、温度等诸多因素相关，因此必须用偏微分方程才能描述并求解，需要指出的是，大多数的偏微分方程都与某个实际问题有密切的联系，或者就是从某个实际问题中导出的，在早期的研究过程中，这样的实际问题大多来源于物理学范畴，所以偏微分方程也经常被称为数学物理方程，因此偏微分方程从一开始就是一问应用性极强的数学分支。
与常微分方程的研究过程有所不同的是，数学家们在试图建立偏微分方程研究的一般性理论时一再受挫，最终不得不放弃了这种企图，偏微分方程是十分复杂的研究对象吗，即使是线性的方程，也可以复杂到很难处理的程度；至于非线性方程，人们更加感到，目前大体上还只能分别针对各种具体问题，提出个别的解决办法。在这个过程中，随着偏微分方程研究的内容越来越多、越来越难，各种新方法不断涌现，不断丰富和发展了偏微分方程的 研究内容，同时也促进了许多其它数学分支的发展。
2.1.2 几个典型的数学物理方程
一个物理量往往是空间位置（）和时间的函数，例如，某个区域中温度的分布和变化，就可以用来表示，有了这个函数，就能知道这个区域内各点在各个时刻的温度，在物体内部不具有热源的情况下，它的温度分布应该满足
（2.1）
这里，是传热系数，是热容量。
（2.1）被称为热传导方程，因为它表示了一种传热过程；其实一种化学物质在溶液中的浓度也同样满足（2.1），所以它有时也被称为扩散方程。
当物体处于热稳定状态时，也就是说，此时它的温度处于不随时间变化而改变的状态，那么温度就满足方程
（2.2）
方程（2.2）称为拉普拉斯（Laplace）方程，或称为调和方程，它除了表示热的平衡外，也可以用来表示真空中静止的电磁场、经典的引力场、或流体的某种稳态流动等。
类似地，当声波在空气中传播时，如果表示压强的小扰动，那么满足
(其中) （2.3）
这里是声音在空气中的传播速度，方程（2.3）不仅用来表示声波，也可以用来表示电磁波或其它的波动，一般称为波动方程。
上述三种方程是物理学中最早出现的偏微分方程，18世纪以来，它们就被认为是最典型的数学物理方程。对这三种方程的求解，能够解释许多重要的物理现象，因此有广泛而重要的应用。
2.1.3 初边值问题
对于波动方程，最典型的求解问题是初始值问题，或称为柯西问题，即：求波动方程（2.3）中的解，使其满足
(2.4)
上式称为初始条件，其中的和是已给的函数，他们分别表示在时刻=0时的波的形状和关于的变化率。
我们先考虑一维的情形，此时（2.3）化为弦振动方程
（2.5）
相应的初始条件为
作变换则方程（2.5）化为

从而（2.5）的通解为
(2.6)
这里和是任意的两个具有连续二阶导数的函数，（2.6）的含义是，弦的横振动是由一个向右传的波和一个向左传的波叠加而成的，之所以被称为向右传的波，是因为当取不同值时，的波形总是一样的，但以速度向右推移；含义类似。
代入初始条件，我们得到弦振动的达朗贝尔（d Alembert）公式：
= （2.7）
在高维的情形下，相应的求解过程要复杂的多，这时可以利用傅里叶（Fourier）变换求解，我们把记为x=()又记，定义
（2.8）
其中为向量内积，我们称为的傅里叶变换，当时具有连续偏导数的函数，且及其导数当时速降，则不仅有意义，而且
(2.9)
式（2.9）称为傅里叶逆变换，另外还有
(i=1,2,3) (2.10)
等公式，它表明求导运算经傅里叶变换后化为乘法运算.
用傅里叶变换求解偏微分方程（以波动方程为例）初始值问题的基本思路是：
第一步，对方程（2.3）的初始条件（2.4）作关于变量（）的傅里叶变换，并利用性质（2.10），从而得到含参数的关于t的常微分方程初始值问题：
（2.11）
（2.12）第二步，解常微分方程初值问题（2.11），（2.12），从而得出
（2.13）
其中.
第三步，作的傅里叶逆变换，得出所求的解，这一运算过程比较复杂，最后结果是：
（2.14）
这就是解波动方程初始值问题的“泊松（Poison）公式”，式中是用向量表示的积分变量，是球面的面积元素，特别地，在最后的表达式中，积分是在沿以为中心，为半径的球面上进行的。
上述用傅里叶变换求解偏微分方程的思想可归纳为下述图表：

解 傅里叶逆变换

解常微分方程
初始条件 傅里叶变换 初始条件
有时候我们考虑的偏微分方程求解问题与边界有关，比如我们来考虑有限物体的温度分布，设该物体占据三维空间的某个有界区域，他的边界有一定的光滑性，显然物体所处的环境肯定会对物体的温度分布产生影响，如果物体表面的温度是给定的，即
（2.15）
且当时的温度为
（x为向量） （2.16）
因此，我们要求的既要满足热传导方程（2.1），又要满足初始条件（2.16）和边界条件（2.15），求解这样的问题，称为偏微分方程的初边值问题.
初边值问题可用分离变量法（即傅里叶变换法）求解，这是法国数学家傅里叶提出的，对数学及其各个领域的应用产生了重要的影响。
2.2 热传导方程初值问题的求解
本节我们讲述如何利用傅里叶变换来求解这一类问题，为了方便用式子右上角叫ⅴ记号表示傅里叶的逆变换，于是

考虑以下初值问题

（2.17）
在上式两边关于变量作傅里叶变换，得到

解之得，

经傅里叶变换得到
（2.18）
其中
（2.19）
通常称（2.18）为泊松（Poisson）公式 ， 称为热传导方程的基本解。
定理2.1 若且有界，，则由泊松公式（2.18）确定的函数是初值问题（2.17）的解有界。
2.3 二阶偏微分方程的分类与化简
2.3.1 二阶偏微分方程的分类
前面介绍过三个典型的偏微分方程分别是：
（波动方程） （2.20）
（热传导方程） （2.21）
（位势方程） （2.22）
其中为Laplace算子，的函数，其中a是常数，（2.22）中当=0为调和方程，很显然，他们都是二阶线性偏微分方程。
二阶偏微分方程的一般形式是
（2.23）
其中的函数，因此上面提到的这三个方程都是它的特例。以A表示矩阵，对于波动方程，取m=n+1,,则

A=
对于热传导方程，取，则
A=
对于位势方程，取m=n,则

A=
由线性代数的知识可知，如果A是一个常数矩阵，由于它是对称阵，因此，一定存在一个正交矩阵，使得的转置）是对角矩阵，此时对角线上的元素就是A的特征值。
现在我们对一般的二阶方程（2.23）进行分类
设
定义1.1 若个特征值全是正（或负）的，称方程(2.23)在点是椭圆型的；若的特征值除了有一个为0以外，其他m-1个全是正（或）负的，称方程（2.23）在点是抛物型的；
方程（2.20）、（2.21）、（2.22）分别称为双曲型、抛物型和椭圆型方程的标准型。
定理1.2 如果方程（2.23）的二阶项系数是常数，即A是常数矩阵，且它属于椭圆型（双曲型，抛物型）方程，那么一定可以通过一个非奇异的自变量代换，把方程（2.23）的二阶项化为形如（（2.23）、（2.20）、（2.21））的标准形式。
2.3.2 二阶偏微分方程的化简
现在，我们在m维空间的某个区域上考察方程（2.23）。
定义1.2 称维空间的一张曲面为方程（2.23）的特征曲面，如果对曲面S的每一点，有
（2.24）
定义1.3 对于固定点，如果过该点的方向满足特征方程
（2.25）
则称为（2.23）在该点的特征方向。
2.4 与图像处理有关的偏微分方程的例子
在本节中，我们列出几个常用的与图像处理有关的非线性抛物型方程，并简单介绍它们在图像处理中的作用。
1.
这个方程所对应的滤波器具有锐化的作用，可以使模糊的图像，尤其是边缘部分变得比较明显，但这样也可能会制造出一些假的边缘。
2.
其中D是微分算子，这个方程与dilation算子或者erosion算子的迭代会产生一定的联系。
3.
这个方程被称为曲率流方程，它可以和中值滤波器的迭代产生的联系，同时，它本身也具有比较深刻的物理意义。
4.
这个方程导出了AMSS（affine morphological scale space）算子，它满足了平移不变、灰度平移不变、仿射不变、数学形态学不变灯多种不变性。

第3章 图像的基本知识
本章主要介绍图像的一些基础知识，首先，从两个不同的侧面对图像进行分类：第一种把图像分为灰度图像和彩色图像；第二种分类导致静态图像和动态图像两个范畴。对不同的图像，我们分别介绍他们的数学模型，作为重点，我们将主要介绍静态灰度图像的连续和离散的数学模型。在广泛应用的计算机图像处理领域，我们通常所指的图像就是基于离散模型的数字图像。
3.1 图像介绍
3.1.1 图像概述
简单来说，图像是自然界景物的客观反映，图像技术是人类认识世界和改造世界的重要工具，图像是用各种观测系统以不同形式和手段观测客观世界而获得的，可以直接或间接作用于人眼并进而产生视知觉的实体。具体来说，人的视觉系统就是一个观测系统，通过它得到的图像就是客观景物在人眼中形成的影像，图像信息不仅包含光通量分布，而且还包含人类视觉的主观感受，随着计算机技术的迅速发展，人们还可以人为地创造出色彩斑斓、千姿百态的各种图像。
人类社会已经进入了信息时代，对信息的获取、加工、传输等构成了现代社会的基础性工作，科学研究和统计表明，人类从外界获得的信息约有75%来自视觉系统，也就是从各种图像中获得的。这里图像的定义是比较广泛的，包括照片（photo）、图像（graphics）、视频（video）等等。
今天计算机和网络技术得到了空前的发展，我们所面对的图像绝大多数是离散化的，并且以数字的形式存储在计算机中，它们被称为数字图像。在计算机中对数字图像的处理和操作被称为数字图像处理。现在普遍采用image（或者digital image）代表离散化了的数字图像，数字图像处理用image processing(或者digital image processing)表示，伴随着计算机计算速度、大规模存储容量、网络和通信速度的飞速提高和显示系统的逐步成熟，数字图像处理已经发展成为一门重要的学科。
虽然数字图像处理的基础建立在数学 和概率统计表示的基础上，但人的直觉和分析在评价一种具体的图像处理技术的时候依然起着主题作用，这种评价常常是主观的视觉判定，在目前的许多情况中，由于图像处理技术还不很成熟，许多客观的图像评价标准有待完善，所以主观的视觉判定依然是图像处理中的一个重要组成部分。
3.1.2 图像分类
在介绍图像的数学模型之前，我们先对图像作一个分类，针对不同的分类标准，可能产生不同的分类方法，这里只介绍按颜色类型和运动类型的图像分类。
第一，按颜色类型分，图像可以分为灰度图像和彩色图像，也就是所谓的黑白照片和彩色照片，其主要区别是灰度图像仅仅使用了颜色的空间中比较特殊的一类颜色，但包含了丰富的亮度层次；而彩色图像则使用了颜色空间中的大量颜色，包含了亮度、颜色饱和度、颜色对比度等信息。
第二，按运动类型分，图像被分为动态图像和静态图像，简单的说，静态图像就是照片，动态图像就是电影，也称视频图像、活动图像、或者运动图像，是静态图像在时间轴上的排列。
综合起来，可以对图像作以下划分：
表3.1基于颜色类型和活动类型的图像分类

彩色
灰度
静态
静态彩色图像
静态灰度图像
动态
动态彩色图像
动态灰度图像
3.2 静态灰度图像的数学模型
在表3.1所列的图像分类中，静态灰度图像时最简单的一类图像，下面我们介绍灰度图像的数学模型，包括连续模型和离散模型，其中，建立图像的连续模型主要是因为理论研究的需要，本文的相关内容和偏微分方程有一定的联系，因而对图像模型有连续性或者可微的要求。
本文中，我们可以把数字图像（图像的离散模型）看作是由图像的连续模型经离散化后得到的。
3.2.1 静态灰度图像的连续模型
一般来说，一幅静态灰度图像是一个定义在矩形区域内的反映现实场景的灰度变化的组合，其中显示图像内容的那个区域被称为图像的支撑集(support)。
如图3.1，假设图像的支撑集为，如图3.1（a）所示，图像的物理模型是定义在上的一个映射，即
（3.1）
其中值域是所有灰度的集合，如图3.1（b）所示，它包含了所有从最暗到最亮的灰度，一幅图像对应了一个具体的映射规则，例图图2.1（c）所示的图像就是依据一个具体的映射规则得到的，依据不同的映射规则会得到不同的图像。
需要把物理模型转化为数学模型，这需要合适表示V，这样，式（3.1）中的就可以被认为是一个函数而加以研究，于是，需要建立一个V和之间所有实数的映射：图2.1（b）中，亮度最低的纯黑色对应0；亮度最高的纯白色对应1；其他的灰度根据亮度的不同而均匀地对应于之间的某个实数，这是个一一映射，借助以下关系：
（3.2）
建立图像的函数模型，即
（3.3）
这个模型即是灰度图像的连续模型。

y

0（0） 1（255）
x