导数Hardy空间上的广义Cesaro算子_林庆泽.pdf

第36卷第1期2023年3月Vol.36 No.1Mar.2023海南师范大学学报（自然科学版）Journal of Hainan Normal University（Natural Science）导数Hardy空间上的广义Cesaro算子林庆泽（中山大学 数学学院，广东 广州 510275）摘 要：本文利用加权复合算子在Hardy空间上的性质给出了广义Cesaro算子在导数Hardy空间上的有界性和紧性的完整刻画，接着刻画了广义Cesaro算子的伴随算子的泰勒展开式，最后研究了广义Cesaro算子在导数Hardy空间上的严格奇异性。关键词：广义Cesaro算子；导数Hardy空间；严格奇异性；有界性；紧性中图分类号：O177.2 文献标志码：A 文章编号：1674-4942（2023）01-0001-06Generalized Cesaro Operators on Derivative Hardy SpacesLIN Qingze（School of Mathematics，Sun Yat-sen University，Guangzhou 510275，China）Abstract:In this paper,by using the properties of weighted composite operators on Hardy spaces,the complete characterizations of the boundedness and compactness of the generalized Cesaro operators on derivative Hardy spaces are obtained.Then,the Taylor expansions of the adjoints of generalized Cesaro operators are described.Finally,the strict singularities of generalized Cesaro operator on derivative Hardy spaces are investigated.Keywords:generalized Cesaro operator;derivative Hardy space;strict singularity;boundedness;compactness对于0 p ，Hardy空间Hp的定义如下：Hp=f H():fHp(sup0 r 1|f(r)|pdm()1/p ，其中H()表示复平面单位圆盘:=z C:|z|1上所有解析函数f组成的函数空间，m是边界上的Lebesgue测度且m()=1。由文献1可知，上面的范数等于下面的范数定义：fHp(|f()|pdm()1/p，其中对于任意的 ，f()是f在边界上的径向极限。而当p=时，则用H表示单位圆盘上所有有界解析函数f组成的函数空间：H=f H():f:=supz|f(z)|。对于g H()，Volterra型算子Tg及其伴侣算子Sg（亦称为Cesaro型算子）的定义分别如下：(Tgf)(z)=0zf()g()d,(Sgf)(z)=0zf()g()d,其中，z ,f H()。Doi：10.12051/j.issn.1674-4942.2023.01.001收稿日期：2020-07-09基金项目：国家自然科学基金项目（11801094）作者简介：林庆泽（1994），男，广东揭阳人，博士研究生，研究方向为函数空间与算子理论。E-mail：2023年海南师范大学学报（自然科学版）在20世纪70年代，Pommerenke为了研究BMOA函数的增长性首次刻画了Tg算子在Hardy-Hilbert空间H2上的有界性2。在此工作基础上，Aleman、Siskakis和Cima系统地研究了Tg算子在Hardy空间Hp（0 p）上的有界性和紧性条件3-4。同时，Aleman和Siskakis也研究了Tg算子在Bergman空间上的有界性和紧性5。文献6-14进行了这类算子在其他一些函数空间（包括加权Dirichlet空间、加权Banach空间及Fock空间等）的一些研究。2018年，Lin等首次研究了Volterra型算子在导数Hardy空间上的有界性15.对于0 p ，导数Hardy空间Sp的定义如下：Sp=f H():fSp:=|f(0)|+f Hp。文献15-19在研究中使用到了导数Hardy空间Sp的一些基本结构性质。本文的研究需要用到加权复合算子的相关性质。对于给定的 H()以及的解析自映射，加权复合算子W,的定义如下：(W,f)(z)=(z)(f )(z),其中，z ,f H()。关于加权复合算子W,在Hardy空间、加权Bergman空间及加权Dirichlet空间上的相关研究可参考文献20-24。对于导数Hardy空间上的算子的研究可追溯到Roan的关于复合算子在导数Hardy空间上的有界性的研究工作25。随后，MacCluer用Carleson测度刻画了导数Hardy空间上的复合算子的有界性和紧性26。Contreras和Hernandez-Diaz将导数Hardy空间上的加权复合算子的有界性和紧性的研究转化为研究Hardy空间上的加权复合算子的有界性和紧性16。值得注意的是，Novinger和Oberlin证明了导数Hardy空间上的线性等距算子具有加权复合算子的形式27。在本文中，给定g H()，我们将继续研究作用在导数Hardy空间上的下面两类广义Cesaro算子：(Tgf)(z)=0()zf()g()d,(Sgf)(z)=0()zf()g()d,其中，z ,f H()。这两类算子（也称为广义Volterra型算子）由Li和Stevi所引进并很快吸引了大量学者的研究兴趣28-29。最近，Mengestie研究了广义Cesaro算子在加权Fock空间上的有界性和紧性30-31。受文献14和文献16的启发，本文利用加权复合算子在Hardy空间上的性质给出广义Cesaro算子在导数Hardy空间上的有界性和紧性的完整刻画，推广了文献15中的结果，接着刻画了广义Cesaro算子的伴随算子的泰勒展开式，最后研究了广义Cesaro算子在导数Hardy空间上的严格奇异性。在本文中，不失一般性，总是假定(0)=0。1 广义Cesaro算子在导数Hardy空间上的有界性和紧性 首先，研究广义Cesaro算子Tg:Sp Sq的有界性和紧性。定理1令1 p,q ，则算子Tg:Sp Sq是有界的当且仅当g Sq。证明首先，注意到(0)=0，有(W()g ,f)(z)=(g )(z)(f )(z)=ddz(0()zf()g()d)=(ddz Tg(f)(z)，反过来，也有(Tgf)(z)=0()zf()g()d=0 zf()()g()()d=(Tz W()g ,(f)(z)，由积分算子Tz:Hq Sq和微分算子ddz:Sq Hq的有界性，得到算子Tg:Sp Sq的有界性等价于加权复合算子W()g ,:Sp Hq的有界性。由文献16可知，加权复合算子W()g ,:Sp Hq是有界的当且仅当(g )Hq，亦即g Sq。证毕。通过上面的类似证明得到下面关于算子Tg,:Sp Sq的紧性的充要条件。定理2令1 p,q ，假定算子Tg:Sp Sq是有界的，则算子Tg:Sp Sq是紧的当且仅当2林庆泽：导数Hardy空间上的广义Cesaro算子第1期（1）g Sq（即Tg:Sp Sq是有界的），如果(p,q)(1,)；（2）H 1或者lim|()z 1-|(g )(z)|=0，如果g S且(p,q)=(1,)。接下来研究算子Sg:Sp Sq的有界性和紧性条件。定理3令1 p,q .则算子Sg:Sp Sq是有界的当且仅当（1）supa|()g ()()q(1-|a2|1-a()2)q/pdm()，如果1 p q ；（2）supz|()g ()z()zp1-|()z2，如果1 p q=；（3）(g )Hq，如果=p q 1；（4）02()()dg,()1-|2p/()p-qd ，其中dg,:=dg,-1是测度dg,():=|g()()|qdm()的拉回测度且()是实数的Stolz角：集合ei z:|z|p q 1。证明首先，有恒等式：(Sgf)(z)=0()zf()g()d=0 z(f )()(g )()()d=(Tz W()g ,ddz(f)(z)，反过来，可以验证下面的恒等式成立：(W()g ,f)(z)=(f )(z)(g )(z)(z)=(ddz Sg Tz(f)(z)，因此，算子Sg:Sp Sq的有界性等价于加权复合算子W()g ,:Hp Hq的有界性。由文献20-22可知，加权复合算子W()g ,:Hp Hq的有界性分别由定理中的条件（1）（4）所刻画。证毕。通过上面的类似证明得到下面关于算子Sg:Sp Sq的紧性的充要条件。定理4令1 p,q ，假定算子Sg:Sp Sq是有界的，则算子Sg:Sp Sq是紧的当且仅当（1）lim|a 1-|()g ()()q(1-|a2|1-a()2)q/pdm()=0，如果1 p q ；（2）lim|z 1-|()g ()z()zp1-|()z2=0或者H 1，如果1 p q 1；（4）lim|z 1-|(g )(z)(z)|=0或者H 1，如果p=q=。2 广义Cesaro算子在导数Hardy空间S2上的伴随算子 现在考虑导数Hardy空间S2的一个等价范数f2:=|f(0)|2+f 2H2，该范数可诱导出一个内积 S2:=f(0)-g()0+H2=f(0)-g()0+f()-g()dm()，使得空间S2构成一个Hilbert空间。这里主要研究广义Cesaro算子在导数Hardy空间S2上的伴随算子。定理5若算子Tg:S2 S2是有界的，则其伴随算子具有如下的级数展开式：32023年海南师范大学学报（自然科学版）(Tg)*f)(z)=f()-()g ()dm()+n=1()f()-()g ()-()nndm()zn，z 。证明首先，容易验证1,z,z22,znz,构成了Hilbert空间S2的一组标准正交基，从而可以得到空间S2的再生核表达式：kz():=1+n=1()z nn=1+log(11-z)，因此，对于任意的z ，得到(Tg)*f)(z)=S2=S2=H2=H2=f()-kz()()()g ()dm()=f()-()g ()(1+n=1()z-()nn)dm()=f()-()g ()dm()+n=1()f()-()g ()-()nndm()zn,从而定理得证。类似于定理5的证明，得到：定理6若算子Sg:S2 S2是有界的，则其伴随算子具有如下的级数展开式：(Sg)*f)(z)=f()-()g ()()()dm()+n=1()f()-()g ()()-()n+1dm()zn，其中z 。3 广义Cesaro算子在导数Hardy空间上的严格奇异性 如果一个有界线性算子T:X1 X2（其中X1和X2是Banach空间）限制在X1的任何一个无穷维闭子空间Y上所诱导出的线性算子T|Y:Y T(Y)都不可能是同构映射，则称算子T:X1 X2为严格奇异的。类似地，如果一个有界线性算子T:X1 X2（其中X1和X2是Banach空间）限制在X1的任何一个同构于lp空间的无穷维闭子空间Y上所诱导出的线性算子T|Y:Y T(Y)都不可能是同构映射，则称算子T:X1 X2为lp-奇异的。一个有界线性算子是紧的则必为严格奇异的，亦必为lp-奇异的，反之不然32-34。近年来，Miihkinen等证明了Tg算子在Hardy空间上的紧性与其严格奇异性的等价关系32-33，其证明思路来源于文献34中对于复合算子在Hardy空间上的严格奇异性的研究。最近，文献35将文献34中的结论推广到加权复合算子的情形。受这些研究工作的启发，林庆泽等研究了一些算子在Hardy空间上、Bergman空间和导数Hardy空间上的严格奇异性问题36-39。定理7令1 p ，若算子Tg:Sp Sp是有界的，则该算子必是严格奇异的。证明由定理1和定理2可知，算子Tg:Sp Sp是有界的当且仅当该算子是紧的，而紧算子必是严格奇异的。证毕。定理8令1 p 0，则算子Sg:Sp Sp不是l2-奇异的；4林庆泽：导数Hardy空间上的广义Cesaro算子第1期（3）如果m(:*()=0且算子Sg在Sp一个无穷维子空间M上下有界，则算子Sg:Sp Sp不是lp-奇异的。特别地，如果m(:*()=0且p 2，则算子Sg:Sp Sp是l2-奇异的。证明由定理3、定理4以及文献35可推出。证毕。定理9若算子Sg:S S是有界的，则该算子是严格奇异的当且仅当该算子是紧的。证明由文献40可知，H上的每一个弱紧线性算子都是紧的，而由文献41可知，H上的一个有界线性算子是弱紧的当且仅当该算子是l-奇异的，因此，由定理4可知，算子Sg:S S是紧的当且仅当该算子是l-奇异的。又因为紧算子必是严格奇异的，而且严格奇异的算子必是l-奇异的，故算子Sg:S S是紧的当且仅当该算子是严格奇异的。参考文献：1 DUREN P L.Theory of Hp spaces M.New York:Academic Press，1970.2 POMMERENKE CH.Schlichte funktionen und analytische funktionen von beschrnkter mittlerer oszillation J.Commentarii Mathematici Helvetici，1977，52（4）：591-602.3 ALEMAN A，CIMA J A.An integral operator on Hp and Hardys inequality J.Journal 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