初一数学一元一次方程复习.doc

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一元一次方程
一、等式和方程
　　本部分知识的重点是等式的性质和运用这两性质对等式进行变形；方程的有关概念及会检验一个数是不是方程的解。
　　（一)知识要点:
　　1．等式:用等号来表示相等关系的式子叫等式。如:+=，x+y=y+x, V=a3，3x+5=9都叫等式。而象
a+b, m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。
　　2．等式的性质:
　　等式性质1：等式两边都加上（或减去)同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式.
　　等式性质2:等式两边都乘以(或除以）同一个数(除数不能是0）所得的结果仍是等式。
　　如：x—5=4，两边都加5得x—5+5=4+5，即x=9仍是等式；在这个等式两边都乘以得，××x=9×，即x=，也仍是等式,这样我们就利用了等式的两个性质解方程。
　　3．方程的有关概念：
　　（1）方程:含有未知数的等式叫做方程。如5x-4=8，其中x是未知数;又如3x—2y=5其中x， y是未知数.
　　（2)未知数：在研究方程之前未知的数叫未知数。如5x-4=8中，x是未知数，而5,—4，8是已知数。
　　（3）方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫方程的解。只含有一个未知数的方程的解，也叫做根.例如方程2x+5=7，当x=1时，方程左边=2×1+5=7=右边，所以x=1是方程2x+5=7的解，或说x=1是方程的根。
　　（4)解方程：求得方程的解的过程。
　　4．会检验一个数是不是一个方程的解:将这个数分别代入方程的左边和右边，看是否使左边等于右边。
　　如,检验x=5和x=4是不是方程6x—5=2x+11的解.
　　当x=5时，左边=6×5-5=30—5=25，右边=2×5+11=10+11=21，∴左边≠右边,∴x=5不是原方程的解；
　　当x=4时，左边=4×6—5=24-5=19，右边=2×4+11=8+11=19，∴左边=右边，∴x=4是原方程的解。
　　5．会根据已知条件列出方程。
　　如：根据下列条件列出方程
　　（1）某数比它的4倍小8。
　　（2)代数式与x+1互为相反数。
　　解:(1）设某数为x，则所求方程为x=4x—8，或x+8=4x或4x—x=8.
　　（2)+x+1=0或=—x-1.
　　6．同解方程：
　　（1）同解方程:如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。如,2x+3=5的解是x=1，3x+15=x+17的解也是x=1，所以这两个方程是同解方程.
　　(2)方程同解原理
　　同解原理1：方程两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程.
　　同解原理2:方程两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，所得的方程与原方程是同解方程。
　　我们解方程的过程是同解过程，教材上所说的运用等式性质解方程，实质上是依据方程的同解原理解方程。
　　(二）例题：
　　例1．判断下列各式是不是方程,并说明理由:
　　（1） 3+5=4+4　　　　 （2） 2a+3b　　 　　（3） x+2y=5
　　(4） 3+（-2)=8-|7｜　　(5) x+6=3x—5
　　答:(1）不是方程.因为它是不含未知数的等式;
　　（2）不是方程。因为它不是等式，它是一个代数式；
　　（3）x+2y=5是方程，它是含有未知数x， y的等式.
　　(4）不是方程。因为它是不含未知数的等式。
　　（5）x+6=3x—5是方程，它是含有未知数x的等式。
　　注意：方程的概念有两点①是等式，②含有未知数，二者缺一不可。
　　例2．检验x=是不是下列方程的解：
　　（1）5x+2=2　　 （2） 3x+5=6　 （3）6x+=4
　　解：（1）当x=时，左边=5×+2=+2=5≠右边,
　　∴x=不是原方程的解。
　　（2）当x=时，左边=3×+5=2+5=7≠右边，
　　∴x=不是原方程的解。
　　（3）当x=时,左边=6×+=4+=4=右边，
　　∴x=是原方程的解.
　　检验某数是否是方程的解可以用来验证我们解方程的过程是否正确。
　　例3．根据下列条件列出方程
　　（1）某数的8倍减去5等于它的4倍加上3;
　　（2）某数比它的大7；
　　（3）某数与3的和的平方比它的平方大4；
　　（4）某数与5的差的3倍等于33；
　　（5）某数与-7的和的与某数加上的和互为相反数；
　　（6）某数的平方比它自身的2倍多8。
　　解:设某数为x，则根据条件列出方程为：
　　(1） 8x—5=4x+3　　 　　　 (2） x-x=7或x=x+7
　　（3） (x+3)2—x2=4　　　　　（4） 3（x—5)=33
　　（5) （x—7)+（x+）=0　　 （6） x2=2x+8
　　例4．说出下列变形的依据:
　　（1) 2x-5=3，2x=8
　　(2) 3x=27，x=9
　　(3) —3x=，x=—
　　（4) -x=4，x=-12
　　(5) =2,x+3=10
　　(6） =x+6,x-2=3x+18
　　解:（1)根据等式的基本性质1，2x—5+5=3+5，得2x=8
　　(2）根据等式的基本性质2，3x×=27×，得x=9
　　（3）根据等式的基本性质2，—3x×(-）=×（—)，得x=—
　　（4）根据等式的基本性质2，—x×(—3）=4×(-3),得x=—12
　　(5）根据等式的基本性质2，5×（）=2×5，得x+3=10
　　（6）根据等式的基本性质2，3×（）=3×（x+6），得x-2=3x+18
　　注意：①使用方程同解原理时注意方程两边同时进行相同的变化,不要只顾一边，忘记另一边. ②当方程某一边是多项式时，要注意使用分配律，避免出现这样的错误：如(6)小题=x+6两边同时乘以3得x-2=3x+6。
　　例5．已知x=—4是方程2x+3｜a｜=x-1的解,求a的值。
　　分析：已知x=-4是方程的解，所以把x=-4代入方程，左右两边相等，于是有2×(-4)+3|a|=—4—1，这是一个关于|a|的方程，可以把|a｜求出来,再进一步确定a的值。
　　解:∵ x=—4是方程2x+3|a｜=x-1的解，
　　∴ 2×(—4）+3｜a|=-4—1，
　　∴ -8+3|a|=—5，
　　由等式的基本性质1得：-8+8+3｜a|=-5+8，
　　即3|a｜=3，
　　由等式的基本性质2得:|a|=1，
∴ a=±1。
一元一次方程和它的解法
　　（一)知识要点：
　　1．一元一次方程的概念：
　　只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0的方程叫做一元一次方程.
　　一元一次方程的标准形式是：ax+b=0 (其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0），它的解是x=—.
　　我们判断一个方程是不是一元一次方程要看它化简后的最简形式是不是标准形式ax+b=0 （a≠0)。例如方程
3x2+5=8x+3x2，化简成8x—5=0是一元一次方程；而方程4x—7=3x—7+x表面上看有一个未知数x，且x的次数是一次,但化简后为0x=0，不是一元一次方程。
　　2．解一元一次方程的一般步骤：
　　（1)方程含有分母时要先去分母,使过程简便，具体做法为：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。要注意不要漏掉不含分母的项，如方程x+=3，去分母得10x+3=3就错了,因为方程右边忘记乘以6,造成错误。
　　（2）去括号：按照去括号法则先去小括号，再去中括号，最后去大括号。特别注意括号前是负号时，去掉负号和括号，括号里的各项都要变号。括号前有数字因数时要注意使用分配律。
　　（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边.注意移项要变号.
　　（4）合并同类项：把方程化成最简形式ax=b （a≠0）。
　　（5）把未知数的系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=。
　　解方程时上述步骤有些可能用不到，并且也不一定按照上述顺序,要根据方程的具体形式灵活安排求解步骤。
　　（二）例题：
　　例1．解方程(x-5)=3—（x-5）
　　分析：按常规此方程应先去分母，去括号,但发现方程左右两边都含有x—5项，所以可以把它们看作一个整体,移项，合并同类项,使运算简便。
　　解：移项得：（x—5)+（x—5)=3
　　合并同类项得：x-5=3
　　∴ x=8。
　　例2．解方程2x—=—
　　解：因为方程含有分母,应先去分母。
　　去分母：12x-3（x+1）=8-2(x+2)　 （注意每一项都要乘以6）
　　去括号：12x—3x-3=8—2x-4　 (注意分配律及去括号法则)
　　移项:12x—3x+2x=8—4+3
　　合并同类项:11x=7
　　系数化成1：x=。
　　例3．｛［（+4）+6］+8｝=1
　　解法1:从外向里逐渐去括号，展开求解：
　　去大括号得：[（+4)+6］+8=9
　　去中括号得：（+4)+6+56=63
　　整理得：（+4)=1
　　去小括号得：+4=5
　　去分母得：x+2+12=15
　　移项，合并同类项得：x=1.
　　解法2：从内向外逐渐去括号,展开求解:
　　去小括号得:{[ （++6]+8｝=1
　　去中括号得：｛+++8｝=1
　　去大括号得：+++=1
　　去分母得：x+2+3×4+2×45+8×105=945
　　　　　即：x+2+12+90+840=945
　　移项合并同类项得：∴x=1。
　　注意：从上面的两种解法可以看到,解一元一次方程并不一定要严格按照前面说的步骤一步一步来，可以按照具体的题目灵活运用方法。
　　例4．解方程[（—1)-2］—2x=3
　　分析：此方程含括号,因为×=1，所以先去中括号简便。
　　解：去中括号：（-1）--2x=3
　　去小括号:—1—-2x=3
　　去分母：5x-20-24-40x=60
　　移项:5x-40x=60+44
　　合并同类项：—35x=104
　　系数化成1得：x=—.
　　例5．解方程—-=0
　　分析：本方程分子、分母中都含有小数,如果直接去分母，会使运算繁琐.但如果利用分数的性质,即分子分母同乘以不等于零的数分数的值不变的性质，使方程左边前两项分子、分母中的小数都化成整数，就能使运算简便。
　　解：利用分数的性质(即左边第一项分子、分母同乘以10，第二项分子、分母同乘以100），原方程可化为：
　　—-=0
　　去分母：6(4x+9)-10（3-2x)-15(x-5）=0
　　去括号：24x+54—30+20x—15x+75=0
　　移项得：24x+20x-15x=—54+30—75
　　合并同类项得：29x=—99
　　系数化成1：x=—。
　　例6．在公式S=(a+b)h中，已知:a=5， S=44， h=8，求b的值.
　　分析：这是梯形面积公式，四个量S，a, b, h中知道任意3个量的值，都可以求出第四个量的值。
　　解法1:把a=5, S=44, h=8代入公式得
　　44=（5+b)×8　这是关于b的一元一次方程
　　化简得:b+5=11
　　移项，合并同类项得：b=6。
　　解法2：先把b看作未知数，把其它量都看作已知数，将公式变形,用其它三个量来表示b，然后再代入已知数的值求出b.
　　S=(a+b）h
　　去分母:2S=(a+b)h
　　去括号：2S=ah+bh
　　移项：2S—ah=bh　 即bh=2S-ah
　　系数化成1：∵ h≠0，∴ b=—a (一定不要忘记条件h≠0)
　　当a=5, S=44，h=8时，
　　b=-5=11-5=6
　　∴ b=6。
　　例7．若单项式3a4b2x与ba4是同类项，求x的值。
　　分析：这个问题是利用一元一次方程解决实际问题的一个例子,利用同类项的定义，建立关于x的方程，然后解方程求出x的值。
　　解：依题意，由同类项的概念知两个单项式中b的次数应相等，
　　所以有：2x=3(x—)
　　去括号：2x=3x—1
　　移项合并同类项得：x=1
　　∴ x的值为1。
　　例8．当x=2时,二次三项式x2+bx+4的值为0,求当x=3时,这个二次三项式的值。
　　分析：这仍是一元一次方程的应用的例子，要弄清二次三项式的值（即代数式的值）的概念，先求出b的值,也就确定了二次三项式，最后求当x=3时，二次三项式的值。
　　解：∵ 当x=2时,x2+bx+4的值为0,
　　∴ 4+2b+4=0 (得到关于b的一元一次方程)
　　解这个方程得2b=-8，∴ b=-4，
　　∴ 二次三项式为x2-4x+4，
　　当x=3时，x2-4x+4=32-4×3+4=9—12+4=1，
　　∴ 当x=3时，这个二次三项式的值为1.
　　例9．解绝对值方程：
　　（1) ｜2x-1｜=8　　　（2） =4　　（3） =4
　　（4） |3x—1｜+9=5　　（5) |1-|x｜|=2
　　说明：解绝对值方程也是一元一次方程的应用，它的解法主要是：①先把｜ax+b｜看作一个整体，把绝对值方程看作是以|ax+b|为未知数的一元一次方程，变形成|ax+b｜=c的形式；②对|ax+b|=c进行讨论,当c〉0时，正确去掉绝对值，得到ax+b=c或ax+b=-c两个一元一次方程，从而求出x的值；当c=0时，得到ax+b=0一个一元一次方程,从而求出x；当c<0时，由于绝对值是非负数，所以此方程无解。
　　(1）解：∵ ｜2x-1｜=8
　　∴ 2x-1=8或2x-1=-8
　　∴ 2x=9或2x=-7
　　∴ x=或x=—
　　∴ x=或x=-是原方程的解。
　　（2）解：∵=4
　　去分母得：|3x+2|=12
　　∴ 3x+2=12或3x+2=—12
　　∴ 3x=10或3x=—14
　　∴ x=或x=—
　　∴ x=或x=-是原方程的解。
　(3）解：∵ =4
　　去分母：2｜x|+5=12
　　移项，合并同类项：2|x｜=7
　　系数化为1:｜x｜=
　　∴ x=±
　　∴ x=或x=—为原方程的解。
　　(4)解：∵ |3x-1｜+9=5
　　∴ |3x-1|=—4
　　∵ 任何有理数的绝对值均为非负数,
　　∴ 此方程无解。
　　（5）解：∵ |1-|x｜｜=2，
　　∴ 1—|x｜=2 或 1-｜x|=—2，
　　∴ ｜x|=-1 或 ｜x｜=3，∴ x=±3，
　　由绝对值概念知，此方程无解；
　　∴ x=±3是原方程的解。
　　在第（5）个方程中，要处理两次绝对值，只要严格按规律办事就能顺利求出x的值.
　　（三）练习：
　　一、填空：
　　1．方程3（x-2）—5(2x-1)=4(1-2x)的解为___________。
　　2．若｜3x—2|=2，则x为____________。
　　3．当x=________时，代数式3x—2和3—x的值互为相反数。
　　4．关于x的方程2（x3m-2+3x）=3x3m—2+6x—2是一元一次方程，则m=_______。
　　5．若代数式+5的值是代数式的值的倒数，则x=__________。
　　6．若|2x+3｜+(x—3y+4)2=0,则x=_______， y=______。
　　二、解方程：
　　1．1—+=
　　2．{[（+1)-1］+x}=1
　　3．—=
　　练习参考答案:
　　一、填空：
　　1. x=5　　2. x=或x=0　　3。 x=—
　　4. m=1　　5。 x=92　　　　 6. x=-， y=
　　二、解方程：
　　1. x=　　2。 x=　　3. y= 文档为个人收集整理，来源于网络
综合检测题
（时间：45分钟　满分：100分）
　　一、填空题：（每小题4分）
　　1．当x=_______ 时，代数式的值为0？
　　2．若x=1是方程 2x—a=7的解，则a=_______。
　　3．若2a2b5n-2与3a1—mb3n+m是同类项，则m=_______,n=_______。
　　4．已知三个数的比是2:3：7,这三个数的和是144，则这三个数为_______。
　　5．若3x:2=4：0.8，则x=_______。
　　6．某化肥厂第一季度和第二季度共生产化肥4300吨。已知第二季度比第一季度增长15％，则第一季度的产量是_______。
　　二、选择题：（每小题4分）
　　(1)方程的解为(　).
　　A、0　　B、1　　C、2　　D、—2
　　（2）方程2m+x=1和3x—1=2x+1是同解方程，则m的值为（　）
　　A、0　　B、1　　C、-2　　D、—
　　（3）若使方程（m+2）x=n—1是关于x一元一次方程，则m取值是(　）。
　　A、m≠—2　　B、m≠0　　C、m≠2　　D、m>2
　　(4）ax-b=0， (a≠0)， a，b互为相反数，则x等于（　）。
　　A、1　　B、—1　　C、—1和+1　　D、任意有理数
　　(5）ax—b=bx-a（a≠b）时x等于（　）.
　　A、0　　B、-1　　C、+1　　D、任意有理数
　　（6）单项式2x2y3n+1与—3y1-2nx2是同类项,则n的值为（　）.
　　A、-1　　B、0　　C、1　　D、2
　　（7）水结成冰体积增大，冰化成水体积减少（　).
　　A、　　B、　　C、　　D、
　　(8）甲池有水xm3，乙池有水ym3,甲池每分钟流入乙池zm3, n分钟两池水水量相等，则n等于(　）。
　　A、　　B、　　C、　　D、
　　（9）在800米跑道上有两人练中长跑，甲每分钟跑320米,乙每分钟跑280米，两人同时同地同向出发跑，t分钟后第一次相遇，t等于（　)。
　　A、10分　　B、15分　　C、20分　　D、30分
　　（10)在梯形面积公式S=（a+b)h中，已知S=24cm2, a=3cm， h=6cm, 则b=(　）cm.
　　A、1　　B、5　　C、3　　D、4
　　三、解方程（每小题6分)
　　1。 =1。
　　2. （x—1)×30％-（x+2）×20%=2
　　3. 2［1-（x—)］=3［]
　　四、列方程解应用题：（每小题9分)
　　1．甲车在早上5时以每小时32千米的速度由A地向B地行驶，6时30分钟乙车才开始出发，结果在9时30分时乙车追上了甲车，问乙车的车速是多少？

　　2．一水池安有甲、乙、丙三个水管，甲独开12小时注满水池，乙独开8小时注满水池，丙独开24小时可排掉满池的水，如三管齐开多少小时后，刚好水池的水是满的？

　　答案： 　一、
　　1。 解：由题意，得=0，解方程得x=。
　　2．分析：因为x=1是方程2x—a=7的解，所以x=1满足2x—a=7，把x=1代入2x—a=7,从而求得a的值。
　　解:把x=1代入2x-a=7中， ∴ 2×1-a=7, ∴a=-5.
　　3．分析：根据同类项的概念:2=1—m①， 5n—2=3n+m②， 由①得m=-1,把m=—1代入②得5n—2=3n-1, n=，
　　∴m=—1， n=.
　　4．分析:因为2∶3∶7是三个数的比，所以可设每份为x.
　　解：设每份为x，则三个数分别为2x, 3x,7x,
　　2x+3x+7x=144, 解得 x=12。
　　∴ 2x=24， 3x=36, 7x=84,
　　∴ 这三个数为24，36，84。
　　5．分析：根据内项之积等于外项之积，得关于x的一元一次方程,即2.4x=9, x=.
　　6．分析：设第一季节产量是x吨，第二季节（1+15％）x吨，第一季度产量+第二季度产量=4300。
　　解：设第一季度产量是x吨，
　　x+(1+15%）x=4300
　　x=4300
　　x=2000.　 ∴第一季节的产量是2000吨。
　　二、　（1）解：去分母，得3x-2(x—1)=3
　　3x-2x+2=3 　　x=1， 选B.
　　（2）分析：因为2m+x=1①和3x—1=2x+1②是同解方程，
　　所以②的解x=2满足①，∴2m+2=1， m=-，选D。
　　（3)分析：根据一元一次方程概念ax=b（a≠0)，所以m+2≠0， ∴m≠-2,选A。
　　（4）分析：由a,b互为相反数，可得a=-b.
　　ax-b=0, ax=b， x=, x==—1， 选B。
　　(5)解：ax—b=bx—a
　　ax—bx=b-a
　　(a—b）x=—(a—b） , x=-1，选B.
　　（6）解:由题意得，3n+1=1—2n
　　5n=0, n=0,选B。
　　注意:相同字母的指数相同。
　　（7）分析：1升水结成冰后,体积增大升,此时冰的体积为（1+)升（把1升水的体积看作整体1），设1升冰化为水后为x升，则1:( 1+）=x:1，解得x=升，故体积减少为1—=升,故选C。
　　(8）分析：甲池有水xm3, n分流出nzm3，n分后甲池剩水（x—nz）m3, 同样,n分钟后乙池水为（y+nz）m3。
　　相等关系为:n分钟两池水量相等。
　　解：依题意,得x-nz=y+nz
　　解得 n=， 选C.
　　(9)分析:由两人同时同地同向出发跑，七分钟后第一次相遇可得：
　　甲t分钟跑的路程一乙t分钟跑的路程=800
　　解：依题意得320t-280t=800
　　解得 t=20分，故选C.
　　（10）分析：把S,a， h的值代入公式S=（a+b）h中，求出b的值.
　　解：依题意，得24=（3+b）×6 ，解得 b=5，选B.
　　三、解方程
　　1．解：去分母,得 2(2y-5)+3(3—y)=12
　　去括号，得4y—10+9—3y=12，
　　移项,合并同类项，得y=13。
　　2．解：(x-1）×-（x+2)×=2,
　　去分母，得30(x-1）—20（x+2)=200
　　去括号，30x—30-20x-40=200,
　　移项，合并同类项，得10x=270， ∴ x=27.
　　3．解:去中括号，得2-（x-)=(2x—)
　　去小括号，得2—，
　　去分母,得 36-12x+4(x+1)=9x—54x+90—63x
　　100x=50 　　x=.
　　四、列方程解应用题
　　1. 甲车5时出发,乙车6时30分出发，说明甲车先走了1小时；结果在9时30分乙车追上甲车,说明乙出发3小时后追上甲车，若设乙车的速度为x千米/时,则乙行驶的路程为3x千米，甲车先走1小时的路程为1×32千米，乙出发后，甲车走的路程为3×32千米。此题相等关系为：甲1小时的路程+甲3小时的路程=乙3小时的路程（如图）。 个人收集整理，勿做商业用途
　　解:设乙车的速度为x千米/时，依题意，得
　　1×32+3×32=3x。 解得x=48.
　　答:乙车的速度为48千米/时。
　　2．分析：若把满池水看作总工作量1，则甲的工作效率为,乙为，丙为,相等关系为：注入的水一排掉的水=1。
　　解:设三管齐开x小时后，刚了水池的水是满的依题意,得
　　， 解得x=6.
　　答：三管齐开6小时后，刚好水池的水是满的。