人教版八年级数学几何培优讲义设计第6讲夹半角模型无答案.doc

知识目标
第 6 讲 夹半角模型

模块一
夹半角的模型
例 1、例 2、例 3
难度：★★★
模块二
夹半角的应用
例 4、例 5、例 6
难度：★★★★
模块一 夹半角的模型
知识导航

夹半角，顾名思义，是一个大角夹着一个大小只有其一半的角，如下图所示。
这类题目有其固定的做法，当a取不同的值的时候，也会有类似的结论，下面我们就来看一看这一类问题。夹半角的常见分类：
（1）90 度夹 45 度
（2）120 度夹 60 度
（3）2α夹α
题型一 90 度夹 45 度
【例 1】 如图，正方形 ABCD 中， E 在 BC 上，F 在 CD 上，且∠EAF＝45°，求证：（1）BE＋DF＝EF

（2）∠AEB＝∠AEF
【练习】在例 1 的条件下，若 E 在 CB 延长线上，F 在 DC 延长线上，其余条件不变，证明：
（1）DF－BE＝EF

（2）∠AEB＋∠AEF＝180°

夹边角和勾股定理结合会产生很多有趣的结论，比如：
（1）已知△ABC 为等腰三角形，∠ACB＝90°，M、N 是 AB 上的点，∠MCN＝45°，求证：AM2＋BN2＝
MN2

（2）如图，正方形 ABCD 中， F 为 CD 中点，点 E 在 BC 上，且∠EAF＝45°，求证：点 E 为线段 BC 靠近 B 的三等分点．

题型二 120 度夹 60 度
【例 2】已知如图，△ABC 为等边三角形，∠BDC＝120°，DB＝DC，M、N 分别是 AB、AC 上的动点，且

∠MDN＝60°，求证：MB＋CN＝MN．
【练习】如图，四边形 ABCD 中，∠A＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，AB＝BC，E、F 分别在 AD、DC 延长线上，且∠EBF＝60°，求证：AE＝EF＋CF．

真题演练
在等边△ABC 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N．D 为△ABC 外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC
＝120°，BD＝DC．探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系以及
△AMN 的周长 Q 与等边△ABC 的周长 L 的关系．

（1）当点 M、N 在边 AB、AC 上，且 DM＝DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ；
Q
此时 ＝ ；（不必证明）
L
（2）当点 M、N 在边 AB、AC 上，且当 DM≠DN 时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN＝2，则 Q＝ （用含有 L 的式子表示）

题型三 2α夹α
【例 3】如图，在四边形 ABDC 中，M、N 分别为 AB、AC 上的点，若∠BAC＋∠BDC＝180°，BD＝DC，
1

∠MDN＝
2
∠BDC，求证：BM＋CN＝MN．

【练习】如图，在例 3 的条件下，若 M、N 分别为 BA 延长线、AC 延长线上的点，∠BAC＋∠BDC
1

＝180°，BD＝DC，∠MDN＝
2
∠BDC，探究：线段 BM、CN、MN 的数量关系．

模块二 夹半角模型的应用
a - b + a2 -144
【例 4】 如图，在直角坐标系中，A 点的坐标为（ a ，0），B 点的坐标为（ b ，0），且 a 、 b 满足

=

a +12
0，若 D（0，4），EB⊥OB 于 B，且满足∠EAD＝45°，试求线段 EB 的长度．

【例 5】点 A（ a，0）、B（0， b ）分别在 x 轴、 y 轴上，且 a - b + a2 - 6a + 9 = 0．
（1）求 a， b 的值
（2）如图 1，若线段 AB 的长为3 2 ，点 C 为 y 轴负半轴上的一点，且射线 CA 平分△AOB 的外角∠BA x ， 求点 C 的坐标．
（3）如图 2，取点 D（0,2）并连接 AD，将△AOD 沿直线 AD 折叠得到△ADE，过点 B 作 y 轴的垂线 BF
交射线 DE 的延长线于 F 点，连接 AF，求 BF 的长．

【例 6】如图，在平面直角坐标系中，点 A（0， b ），点 B（ a，0），点 D（ d ，0），且 a 、b 、 d 满
a +1
足 + b - 3 + (2 - d )2 = 0 ，DE⊥ x 轴且∠BED＝∠ABD，BE 交 y 轴于点 C，AE 交 x 轴于点 F．

（1）求点 A、点 B、点 D 的坐标；
（2）求点 E、点 F 的坐标；
（3）如图，过 P（0，－1）作 x 轴的平行线，在该平行线上有一点 Q（点 Q 在点 P 的右侧）使∠QEM＝
45°，QE 交 x 轴于点 N，ME 交 y 轴的正半轴于点 M，确定 AM - MQ 的值．
PQ

第 6 讲 【课后作业】 夹半角

1． 如图，E 是正方形 ABCD 中 CD 边上的任意一点，以点 A 为中心，把△ADE 顺时针旋转 90°得△AB E1 ，

∠EA E1 的平分线交 BC 边于点 F，求证：△CFE 的周长等于正方形 ABCD 的周长的一半．

2．如图△ABC 是边长为 3 的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以 D 为顶点作一个

60°的角，角的两边分别交 AB、AC 于 M、N，连接 MN，则△AMN 的周长为 ．
3．已知如图，五边形 ABCDE 中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠ABC＋∠AED＝180°． 求证：（1）AD 平分∠CDE； （2）∠BAE＝2∠CAD．

a -1
4．如图，平面直角坐标系中，已知 A（ a，4）、B（ b ，0），且满足
（1）求 A、B 两点的坐标
（2）若点 C 在第一象限内，且△ABC 为等腰直角三角形，求点 C 的坐标．
+ b2 - 6b + 9 = 0

（3）如图，点 N（1，0）、R（4，3），点 P 为线段 AN 上的一动点，连接 PR，以 PR 为一边作∠PRM＝

45°，交 x 轴于点 M，连 PM，请问点 P 在运动的过程中，线段 PM、AM、BM 直线有怎样的数量关系，证明你的结论．