沪科版八年级数学第15章轴对称图形与等腰三角形同步练习(有解析).doc

沪科版八年级数学 第15章 轴对称图形与等腰三角形 同步练习（有解析）

沪科版八年级数学第15章轴对称图形与等腰三角形
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 下列图形中不是轴对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2. 在一些美术字中，有些是轴对称图形．下列汉字字体中，可以看作轴对称图形的是（　　）
A. 最 B. 美 C. 温 D. 州
3. 如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交边AB于点D，连结CD．若∠A=50°，则∠BDC的大小为（　　）
A. 90∘
B. 100∘
C. 120∘
D. 130∘

4. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CD分别是ABC和ACB的平分线，EF过D点，且EF∥BC，图中等腰三角形共有（　　）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD=5，AB=18，则△ABD的面积是（　　）
A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
6. 如图．射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于M．PN⊥OB于N，当PM=2cm时，则PN是（　　）

A. 1cm B. 2cm C. 4cm D. 不确定
7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC=10cm，AD：CD=5：4，则点D到AB的距离为（　　）cm．
A. 5 B. 4 C. 509 D. 409

8. 下列条件中，不能判定直线MN是线段AB（M,N不在AB上）的垂直平分线的是
A. MA=MB，NA=NB B. MA=MB，MN⊥AB
C. MA=NA，MB=NB D. MA=MB，MN平分∠AMB
9. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④∆BED与∆CED全等中，一定正确的是()

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
10. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O、点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是（　　）
A. 60∘
B. 55∘
C. 50∘
D. 45∘

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=14，则该等腰三角形的顶角为______．
12. 一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为______．
13. 如图，∠C=90°，∠1=∠2，若BC=20，BD=15，则点D到AB的距离为______．

14. 如图，△ABC的三条角平分线交于点O，O到AB的距离为3，且△ABC的周长为18，则△ABC的面积为______．

三、计算题（本大题共3小题，共24.0分）
15. 如图，△ABC中，点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长．

16. 如图所示，在△ABC中，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，MP分别交AB、BC于M、P两点，NQ分别交AC、BC于N、Q两点，连接AP、AQ．
（1）若△APQ的周长为18，求BC的长；
（2）若∠BAC=110°，求∠PAQ的度数．

17. 如图，∆ABC中，AB=AC,D,E,F分别为AB,BC,CA上的点，且BD=CE,∠DEF=∠B
​
（1）求证：∆BDE≌∆CEF；
（2）若∠A=40°，求∠EDF的度数．

四、解答题（本大题共6小题，共66.0分）
18. 为了解决某贫困地区两村村民子女就近入学问题，某爱心企业捐资助学，计划新建一所学校，如图AB，AC表示两条公路，点M，N表示两个村庄，学校的位置需满足三个条件：①到两条公路的距离相等；②到两个村庄的距离相等；③在∠BAC的内部．请运用尺规作图确定学校的位置，不写作法，保留作图痕迹并写明结论．

19. 已知：如图，AC、BD相交于点O，AC=BD，AB=CD．
（1）求证：∠A=∠D；
（2）若OC=2，求OB的长．

20. 已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，且分别交CD、AC于点F、E．求证：CE=CF．

21. 如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：AD=BE；
（2）求∠AEB的度数．

22. 阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．
已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线．
求证：AM、BN、CP交于一点．
证明：如图，设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．
∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（______），
∴OE=OF（______）．
同理，OD=OF．
∴OD=OE（______）．
∵CP是∠ACB的平分线（______），
∴O在CP上（______）．
因此，AM，BN，CP交于一点．

23. 如图，在平面直角坐标系中，原点为O，点A（0，a），B(b，0)，且满足（a﹣6）2+|b﹣12|=0，分别过点A，B作坐标轴的平行线，交于点C，点P,Q是线段OA，OB上两个动点，点P从点O出发以每秒2个单位长度向点B运动，同时点Q从点A出发以每秒1个单位长度向点O运动，设运动时间为t秒0≤t≤6，四边形OPCQ的面积为S
（1）直接写出点A，B的坐标。
（2）当t=3时，△POQ的面积；
（3）当t为何值时，△POQ为等腰直角三角形。
（4）求证：无论t为何值，S均为定值。

答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：A是中心对称图形，不是轴对称图形，B、C、D都是轴对称图形，
故选：A．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是正确找出对称轴．
2.【答案】B
【解析】
解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．
3.【答案】B
【解析】
解：∵△ABC的边AC的垂直平分线DE交边AB于点D，交边AC于点E，
∴AD=DC，
∴∠A=∠ACD，
∵∠A=50°，
∴∠ACD=50°，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=50°+50°=100°，
故选：B．
根据线段垂直平分线的性质得出AD=DC，推出∠A=∠ACD=50°，根据三角形外角的性质得出即可．
本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质等知识点，能根据线段垂直平分线的性质得出AD=DC是解此题的关键．
4.【答案】D
【解析】
解：AB=AC，可知△ABC为等腰三角形；
∵FF∥BC，BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线
∴∠EDB=∠DBC，∠EBD=DBC
∴∠EDB=∠EBD，可知△EBD为等腰三角形；
同理可知△DFC为等腰三角形，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线
∴∠DBC=∠DCB，可知△DBC为等腰三角形，
可知△EBD与△DFC全等，所以BE=CF
∴AE=AF，故△AEF为等腰三角形．
故选：D．
根据等腰三角形的判定定理，判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等【等边对等角】可以计算出图中△ABC，△AEF，△DBC，△EBD，△FDC为等腰三角形．从而可以得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质；进行角的等量代换是正确解答本题的关键，找等腰三角形时要由易到难，不重不漏．
5.【答案】C
【解析】
解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=5，
∴△ABD的面积=×AB×DE=45，
故选：C．
根据角平分线的性质得到DE=DC=5，根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】
解：∵OC平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，
∴PN=PM=2cm，
故选：B．
根据角平分线的性质解答．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AC=10cm，AD：CD=5：4，
∴CD=10×=cm，
∵∠C=90°，BD平分∠ABC，
∴DE=CD=cm，
即点D到AB的距离为cm．
故选：D．
过点D作DE⊥AB于E，求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟记性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是线段的垂直平分线的判定，掌握线段垂直平分线的判定定理是解题的关键．根据线段垂直平分线的判定定理进行判断即可．
【解答】
解：∵MA=MB，NA=NB，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线；
∵MA=MB，MN⊥AB，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线；
当MA=NA，MB=NB时，直线MN不一定是线段AB的垂直平分线；
∵MA=MB，MN平分∠AMB ，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线，
故选C．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了基本作图及线段的垂直平分线，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，解题的关键是确定ED是为线段BC的中垂线．（1）由作图可得出直线ED为线段BC的中垂线，即可得出①ED⊥BC正确；（2）由直角三角形斜边中线相等可得AE=BE，∠A=∠EBA；故②正确；（3）利用假设法证明得出△ABE为等边三角形与△ABE为等腰三角形矛盾．故③错误；（4）利用ED是△ABC的中位线可得，故④正确．
【解答】
解：由题意可得直线ED为线段BC的中垂线，
∴ED⊥BC；故①正确；
∵∠ABC=90°，ED⊥BC，
∴DE∥AB，
∵点D是BC边的中点，
∴点E为线段AC的中点，
∴AE=BE，
∴∠A=∠EBA；故②正确；
如果EB平分∠AED，
∵∠A=∠EBA，DE∥AB，
∴∠A=∠EBA=∠AEB，
∴△ABE为等边三角形，
∵△ABE为等腰三角形．故③错误；
∵点D是BC边的中点，点E为线段AC的中点，
∴ED是△ABC的中位线，
∴，故④正确．
​故选B．

10.【答案】C
【解析】
解：如图，连接OB，
∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=∠BAC=×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠CEF=∠CEO=50°．
故选：C．
连接OB，OC，先求出∠BAO=25°，进而求出∠OBC=40°，求出∠COE=∠OCB=40°，最后根据等腰三角形的性质，问题即可解决．
该题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断．
11.【答案】20°
【解析】
解：如图．
∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，
∴∠A：∠B=1：4，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+4∠A+4∠A=180°，
即9∠A=180°，
∴∠A=20°，
故答案为：20°．
先根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，再根据三角形内角和定理得出9∠A=180°，即可求解．
本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，能根据等腰三角形性质、三角形内角和定理得出9∠A=180°是解此题的关键．
12.【答案】FM5379
【解析】
解：
F  M 5 3 7 9
∴该汽车牌照号码为FM5379．
易得所求的牌照与看到的牌照关于水面成轴对称，作出相应图形即可求解．
解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．
13.【答案】5
【解析】
解：作DE⊥AB于E，
∵BC=20，BD=15，
∴CD=20-15=5，
∵∠1=∠2，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=5，
故答案为：5．
作DE⊥AB，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等得到答案．
本题主要考查平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
14.【答案】27
【解析】
【分析】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到OF=OH=OE=3，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】
解：作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OH⊥AC于H，

∵△ABC的三条角平分线交于点O，OE⊥AB，OF⊥BC，OH⊥AC，
∴OF=OH=OE=3，
∴△ABC的面积=×（AB+BC+AC）×3=27，
故答案为27．

15.【答案】解：∵点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，
∴∠1=∠3，
∵DE∥BC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴DB=DO，
同理可得EO=CE，
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+DO+AE+OE=AD+BD+AE+CE=AB+AC，
∵△ABC的周长为15，
∴AB+AC+BC=15，
而BC的长为6，
∴AB+AC=9，
∴△ADE的周长为9．
【解析】

先利用角平分线的定义和平行线的性质得到∠1=∠2，所以DB=DO，同理可得EO=CE，利用等线段代换得到△ADE的周长=AB+AC，然后利用△ABC的周长为15得到AB+AC=9，从而得到△ADE的周长．
本题考查了等腰三角形的判定与性质：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．也考查了平行线的性质．
16.【答案】解：（1）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴PA=PB，QA=QC，
∵△APQ的周长为18，
∴AP+PQ+AQ=BP+PQ+QC=18，
∴BC=18；
（2）∵∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=70°，
∵PA=PB，QA=QC，
∴∠PAB=∠B，∠QAC=∠C，
∴∠PAB+∠QAC=∠B+∠C=70°，
∴∠PAQ=40°．
【解析】

（1）根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB，QA=QC，根据三角形周长公式计算；
（2）根据三角形内角和定理得到∠B+∠C=70°，根据等腰三角形的性质计算．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17.【答案】（1）证明：∵∠DEC=∠B+∠BDE=∠CEF+∠DEF，∠DEF=∠B，
∴∠CEF=∠BDE，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B．
又∵CE=BD，
∴△BDE≌△CEF；
（2）解：∵△BDE≌△CEF，
∴DE=FE，
∴△DEF是等腰三角形，
∴∠EDF=∠EFD，
又，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠B=70°，
已知∠DEF=∠B，
∴∠DEF=70°，
∴∠EDF=∠EFD=12×（180°-70°）=55°．
【解析】
本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的外角与内角的关系及全等三角形的判定及性质；证得三角形全等是正确解答本题的关键．
（1）由已知已知AB=AC，BD=CE，∠DEF=∠B，可证△BDE≌△CEF；
（2）由（1）可得DE=FE，即△DEF是等腰三角形，又由，△ABC中，AB=AC，∠A=40°可求出∠B=70°，即∠DEF=∠B=70°，从而求出∠EDF的度数．
18.【答案】解：尺规作图如图所示：   
点P的位置即为学校的位置 .

【解析】
本题考查了应用与设计作图，主要利用了作线段的垂直平分线与角的平分线，熟练掌握线段的垂直平分线的性质与角平分线的性质也比较重要.根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等，作出MN的垂直平分线与两条公路夹角∠AOB的平分线的交点就是要确定的点；根据线段垂直平分线的作法，角平分线的作法作出即可.
19.【答案】解：（1）在△ABC与△DCB中，
AB=DCAC=DBBC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SSS）；
∴∠A=∠D；
（2）由（1）知∠ACB=∠CBD，
则OB=OC=2.
【解析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，要注意对顶角相等的应用.
（1）利用“SSS”证明△ABC≌△DCB，再利用全等三角形的性质证明即可；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等得到：∠ACB=∠CBD，即可得出OB=OC=2.

20.【答案】证明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠CFE=∠BCD+∠CBE=∠A+∠ABE，
∵∠CEF=∠A+∠ABE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF．
【解析】

先判断出∠ACD+∠BCD=90°，再判断出∠A+∠ACD=90°，进而得出∠A=∠BCD，再用三角形的外角即可得出结论．
此题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形的高的意义，三角形的外角的性质，判断出∠A=∠BCD是解本题的关键．
21.【答案】证明：（1）∵△ACB和△ECD都是等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
又∵∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠BCE=∠DCE-∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE；
（2）在等边△ECD中，
∠CDE=∠CED=60°，
∴∠ADC=120°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠BEC=∠ADC=120°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°．
【解析】

（1）由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到对应边相等，即AD=BE；
（2）根据△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，由点A，D，E在同一直线上，可求出∠ADC=120°，从而可以求出∠AEB的度数；
主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等边三角形的性质的综合应用．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
22.【答案】已知   角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等   等量代换   已知   角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
【解析】
证明：设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．
∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（已知），
∴OE=OF（角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等）．
同理，OD=OF．
∴OD=OE（等量代换）．
∵CP是∠ACB的平分线（已知），
∴O在CP上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
因此，AM，BN，CP交于一点；
故答案为：已知；角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等；等量代换；已知；角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
根据角平分线的性质解答即可．
此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的两个性质解答．
23.【答案】（1）解：∵a−62+b−12=0，
∴a-6=0，b-12=0，
解得：a=6，b=12，
∴点A的坐标为（0，6），点B的坐标为（12，0）；
（2）解：当t=3时，AQ=t=3，OP=2t=6，
∴OQ=OA-AQ=6–3=3，
∴S∆POQ=12OP×OQ=12×6×3=9；
（3）解：当OP=OQ时，即6-t=2t时，△POQ是等腰三角形，
由6-t=2t，解得t=2，
∴当t=2时，△POQ为等腰直角三角形；
（4）证明：如图，连接OC，由题意，可知∠AOB=90°，

∵AC∥x轴，
∴∠CAO=180°- ∠AOB=180°- 90°=90°，
∴AC⊥OA，同理BC⊥OB，
S=S∆OCQ+S∆OCP
=12OQ·AC+12OP·BC
=126−t×12+12×2t×6=36，
∴无论t为何值，S均为定值.

【解析】
本题主要考查的是绝对值的非负性，偶次方的非负性，直角三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的面积等有关知识.
（1）由得到a-6=0，b-12=0，求出a，b即可求出点A，点B的坐标；
（2）直接三角形的面积公式进行求解即可；
（3）利用等腰直角三角形的判定及性质进行求解即可；
（4）连接OC，由题意，可知∠AOB=90°，利用进行求证即可.

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