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(完整版)函数的连续性
第四章 函数的连续性
§1 连续性的概念
（一) 教学目的:掌握函数连续性概念．
（二） 教学内容：
深刻理解函数连续，函数左右连续,区间上函数连续，间断点及其分类等概念.对一般的函数特别是初等函数可以讨论其间断点并且分类。
基本要求：
1)掌握函数连续性概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点，区间上的连续函数的定义．
2） 较高要求:讨论黎曼函数的连续性．
（三） 教学建议：
(1) 函数连续性概念是本节的重点．对学生要求懂得函数在一点和在区间上连续的定
义,间断点的分类．
(2) 本节的难点是用较高的分析方法、技巧证明函数的连续性，对较好学生布置有关习题．
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一 函数在一点的连续
先回顾一下函数在点的极限
设函数在的某个空心邻域内有定义， 是一个确定的数，若对，当 时，都有 ，则称在 时，以为极限。
这里可以有三种情况
1）无定义，比如上章讲过的特殊极限
2)，比如 ，

3)

对1，2两种情况，曲线在 处都出现了间断； 第3种情况与前两种情况不同，曲线在处连绵不断，我们称这种情况为，在处连续.
定义1 设函数在的某邻域内有定义,若

则称函数在点连续。
例如 函数 在点连续,因为

又如，函数 在 处连续.因为

若记 则 可等价的叙述为 ，于是函数在点连续的定义又可以叙述为
定义1（2） 设函数在的某邻域内有定义，若

则称在点连续。
另外，由于函数在点连续是用极限形式表述的,若将 改用语言叙述,则在点连续又可以定义为：
定义1（3） 设函数在的某邻域内有定义,若对,使得当时,都有
，
则称在点连续.
注意 函数在点连续，不仅要求在点有定义，而且要求时，
的极限等于，因此这里在极限的“” 语言叙述中把
“”换成了“ ”.最后，式又可表示为
，
可见“在连续”意味着极限运算对应法则的可交换性。
例1证明函数在点连续,其中为狄利克雷函数。
证明 由及，对于任意的,为使

只要取，即可按定义推得在连续。
相应于在的左、右极限的概念，我们给出左右连续的定一如下：
定义2 设函数在的某左（右)邻域内有定义,若
( ）
则称在点左（右）连续。
由极限与单侧极限的关系不难得出：
定理4。1 函数在点连续的充分必要条件为：在点既左连续又右连续.
例2 讨论函数 在的连续性.
2
－2
0
解 因为
所以 在右连续，但不左连续,从
而在不连续。

二 间断点及其分类
定义3 设函数在某内有定义。若
在点无定义，或在点有定义但不连续，则称点为函数的间断点或不连续点。
由连续的定义知，函数在点不连续必出现如下情形:
1),而在点无定义，或有定义但
2)左、右极限都存在，但不相等, 称 为跳跃度
3）左、右极限至少一个不存在
据此，函数的间断点可作如下分类：
1．可去间断点 情况1）称为
可去间断点（或可去不连续点）；
例 ,
是 的可去间断点。

例 ， 是的可去间断点。
2．跳跃间断点 情况2）称为可跳跃间断点；
情况1)，2)统称第一类间断点。
例 因为 ,所以 的整数点为跳跃间断点，跳跃度等1。
-2
-4
-4 -3 -2 -1
-1
-3
x
o
4
3
2
1

1 2 3 4 5

例 因为
所以 在处为跳跃间断点，跳跃度等2.
3．情况3）称为可第二类间断点;
例 不存在,所以是的第二类不连续点。
为了加强理解和记忆，我们画出两类不连续点的图象(c41）

subplot（2，2，1)
ezplot('sin(x）/x’,［—0.5，0。5])
hold on
plot（0,1,'r＊’)
subplot（2，2，2)
ezplot（’sin（x）+sign（x)',[-pi/3,pi/3])
hold on
plot（0，0，’r*’）,
subplot（2，2，3）
ezplot（’sin(1。/x)',［-0.5,0.5]）
hold on
plot(0，0，’r*'）
subplot（2,2,4)
ezplot('abs（1./（x+eps)）’,[—0。5，0。5])，
hold on
plot（0，28，'r＊')

三 区间上的连续函数
定义 若函数在区间I上每一点都连续，则称为I上的连续函数,对于区间端点上的连续性则按左、右连续来确定.
例如 ， 是内的连续函数，在的每一点都连续，在左连续性，在右连续性，因而是 上的连续函数（参见上章§1的例题）.
定义 如果在区间上仅有有限个第一类不连续点，则称函数在间上按段连续。
例如 是按段连续函数。
例 3 讨论黎曼函数
及内的无理数
，(p，q)为正整数,p/q为既约真分数

的连续性
证明 设为无理数，任给,满足正数显然只有有限个（但至少有有一个,如)，从而使的有理数只有有限个(至少有有一个,如),设为,取
，(显然）
则对任何当x为有理数时有，当x为无理数时。于是，对任何，总有

这就证明了在无理点处连续。
现设为内任一有理数，取,对任何正数（无论多么小）,在内总可取无理数，使得

所以在任何有理点处都不连续.
小结:1）函数在一点连续的三个等价定义;2)函数的左右连续性；
3）不连续的分类：可去不连续点；跳跃不连续；第二类不连续点；
4）区间上连续函数的定义。