数列分组求和法.doc

(完整版)数列分组求和法分组求和法典题导入例1（2011山东高考）等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1）求数列an的通项公式；(2）若数列bn满足：bnan（1)nln an，求数列bn的前2n项和S2n。自主解答(1)当a13时，不合题意；当a12时，当且仅当a26，a318时,符合题意；当a110时，不合题意因此a12，a26，a318.所以公比q3，故an23n1.(2)因为bnan(1）nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1）n（ln 2ln 3）（1）nnln 3，所以S2nb1b2b2n2（1332n1）111（1)2n(ln 2ln 3)123(1)2n2nln 32nln 332nnln 31。由题悟法分组转化法求和的常见类型(1）若anbncn，且bn,cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和（2)通项公式为an的数列,其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和以题试法1(2013威海模拟）已知数列xn的首项x13，通项xn2npnq（nN*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列求：（1）p，q的值;（2）数列xn前n项和Sn的公式解：（1)由x13，得2pq3，又因为x424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，解得p1，q1。(2) 由（1）,知xn2nn，所以Sn（2222n）（12n）2n12。2。数列1，3，5，7，的前n项和Sn为()An21 Bn22Cn21 Dn22解析由题意知已知数列的通项为an2n1，则Snn21.答案C3.已知等差数列an的前n项和为Sn，且a35，S15225.（1)求数列an的通项公式;(2)设bn2an2n,求数列bn的前n项和Tn.解析：(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，由题意，得解得an2n1。（2）bn2an2n4n2n，Tnb1b2bn（4424n）2（12n）n2n4nn2n.4。设an是公比为正数的等比数列,a12，a3a24。（1)求an的通项公式；(2）设bn是首项为1，公差为2的等差数列，求数列anbn的前n项和Sn.解析(1）设q为等比数列an的公比,则由a12，a3a24得2q22q4,即q2q20，解得q2或q1（舍去)，因此q2。所以an的通项为an22n12n（nN*）(2) Snn122n1n22.5.求和Sn1.解和式中第k项为ak12.Sn22(111()22n2。6.数列an的前n项和为Sn，a11，a22，an2an1(1）n (nN），则S100_。答案2 600解析由an2an1（1)n知a2k2a2k2，a2k1a2k10，a1a3a5a2n11，数列a2k是等差数列，a2k2k.S100（a1a3a5a99）(a2a4a6a100）50(246100）502 600.7。求和：(1）Sn;(2）Sn222。解(1)由于ann,Sn（123n）1.(2）当x1时，Sn4n。当x1时，Sn222(x2x4x2n）2n2n2n.Sn8.已知数列an中,a160，an1an3，则这个数列前30项的绝对值的和是_答案765解析由题意知an是等差数列，an603(n1）3n63，令an0，解得n21。a1a2a3a30|(a1a2a20)（a21a30）S302S20（606063)20765.9。数列an的前n项和Snn24n2,则a1|a2|a10_。答案66解析当n1时，a1S11。当n2时，anSnSn12n5。an。令2n50，得n，当n2时，an0，当n3时,an0，a1|a2|a10(a1a2)(a3a4a10)S102S266。10.数列an的通项公式为an(1）n1(4n3),则它的前100项之和S100等于(）A200 B200 C400 D400答案B解析S100（413）(423）（433)（41003）4(12)(34）（99100）4（50)200.11.（2012课标全国)数列an满足an1（1）nan2n1,则an的前60项和为_答案1 830解析an1(1)nan2n1，a21a1，a32a1,a47a1,a5a1，a69a1,a72a1，a815a1,a9a1,a1017a1,a112a1，a1223a1，,a57a1，a58113a1,a592a1，a60119a1,a1a2a60(a1a2a3a4）(a5a6a7a8)（a57a58a59a60)1026422341 830.12.已知数列2 008，2 009,1，2 008，2 009,这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2 013项之和S2 013等于 （）A1 B2 010 C4 018 D0答案C解析由已知得anan1an1 (n2），an1anan1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，2 008，2 009，1，2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S60.2 01363353,S2 013S34 018。13。设，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法,可求的值为A B C D解:由于，则原式，选A14。数列的前项和为 ，满足：,其中， 且(）求证：数列是等比数列；（）设数列的公比为，数列满足求的通项式。(）记求证:解（)当时， ，得： （）又，解得: ， 是首项为1，公比为的等比数列。（） ， 则(）15.的值是A2525 B5050 C10100 D20200解：原式,选B16.等差数列an的公差不为零,a47，a1,a2，a5成等比数列，数列Tn满足条件Tna2a4a8，则Tn_。解析：设an的公差为d0，由a1，a2，a5成等比数列，得aa1a5，即(72d）2（73d)(7d） d2或d0（舍去）an7(n4)22n1。 又22n12n11，Tn(221）(231)(241）(2n11）(22232n1)n2n2n4。