资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．天津市一足球场占地163000平方米，将163000用科学记数法表示应为（ ）
A．163×103 B．16.3×104 C．1.63×105 D．0.163×106
2．如图，双曲线的一个分支为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．如图，在中，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，菱形ABCD与等边△AEF的边长相等，且E、F分别在BC、CD，则∠BAD的度数是（ ）
A．80° B．90° C．100° D．120°
5．如图，经过原点的⊙与轴分别交于两点，点是劣弧上一点，则（ ）
A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．大小无法确定
6．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根
7．下列关系式中，属于二次函数的是（x是自变量）
A．y=x2 B．y= C．y= D．y=ax2+bx+c
8．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则sin∠BDE的值是 （ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是直线x＝－1，则ax2＋bx＋c＝0的解是( )
A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝1 C．x＝－3 D．x＝－2
10．用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与相切于点E．若的半径为5，且，则DE的长度为（ ）
A．5 B．6 C． D．
12．某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验；若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为( )
A．x+(x+1)x＝36 B．1+x+(1+x)x＝36
C．1+x+x2＝36 D．x+(x+1)2＝36
二、填空题（每题4分，共24分）
13．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，则正方形城池的边长为_____步．
14．已知，=________．
15．从，0，，，1.6中随机取一个数，取到无理数的概率是__________．
16．将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是_____cm1．
17．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，当y＜3时，x的取值范围是____．
18．已知正六边形的边长为4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm．（结果保留π）
三、解答题（共78分）
19．（8分）感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点P在BC边上，当∠APD＝90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）
探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B＝∠C＝∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．
拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，BC＝6，BD＝4，则DE的长为 ．
20．（8分）关于x的一元二次方程为（ｍ－1）x2－2ｍx＋ｍ＋1＝0
（1）求出方程的根；
（2）ｍ为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
21．（8分）解方程：
（1）x2+4x﹣21＝0
（2）x2﹣7x﹣2＝0
22．（10分）知识改变世界，科技改变生活。导航设备的不断更新方便了人们的出行。如图，某校组织学生乘车到蒲江茶叶基地C地进行研学活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正东方向，且距A地9.1千米，导航显示车辆应沿南偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏东53°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离（精确到个位）
（参考数据）
23．（10分）如图，O是所在圆的圆心，C是上一动点，连接OC交弦AB于点D．已知AB=9.35cm，设A，D两点间的距离为cm，O,D两点间的距离为cm，C，D两点间的距离为cm.小腾根据学习函数的经验，分别对函数,随自变量的变化而变化的规律进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了,与的几组对应值：
/cm
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.10
8.00
9.35
/cm
4.93
3.99
2.28
1.70
1.59
2.04
2.88
3.67
4.93
/cm
0.00
0.94
1.83
2.65
3.23
3.34
2.89
2.05
1.26
0.00
（2）①在同一平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（,）, （,）,并画出（1）中所确定的函数,的图象；
②观察函数的图象，可得 cm(结果保留一位小数)；
（3）结合函数图象，解决问题：当OD=CD时，AD的长度约为 cm（结果保留一位小数）．
24．（10分）计算：（1）；（2）解方程
25．（12分）小明和小亮两同学做游戏，游戏规则是：有一个不透明的盒子，里面装有两张红卡片，两张绿卡片，卡片除颜色外其他均相同，两人先后从盒子中取出一张卡片（不放回），若两人所取卡片的颜色相同，则小明获胜，否则小亮获胜．
（1）请用画树状图或列表法列出游戏所有可能的结果；
（2）请根据你的计算结果说明游戏是否公平，若不公平，你认为对谁有利？
26．佩佩宾馆重新装修后,有间房可供游客居住，经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满，当每间房每天的定价每增加元时,就会有一间房空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每间房每天支出元的各项费用．设每间房每天的定价增加元，宾馆获利为元．
(1)求与的函数关系式(不用写出自变量的取值范围) ;
(2)物价部门规定，春节期间客房定价不能高于平时定价的倍,此时每间房价为多少元时宾馆可获利元?
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：将163000用科学记数法表示为：1.63×105 ．
故选：C．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2、D
【解析】∵在中，k=8＞0，
∴它的两个分支分别位于第一、三象限，排除①②；
又当=2时，=4，排除③；
所以应该是④．
故选D．
3、A
【解析】分析：先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．
详解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，
∴BC=，
∴sinA=.
故选：A．
点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．
4、C
【解析】试题分析：根据菱形的性质推出∠B=∠D，AD∥BC，根据平行线的性质得出∠DAB+∠B=180°，根据等边三角形的性质得出∠AEF=∠AFE=60°，AF=AD，根据等边对等角得出∠B=∠AEB，∠D=∠AFD，设∠BAE=∠FAD=x，根据三角形的内角和定理得出方程x+2（180°﹣60°﹣2x）=180°，求出方程的解即可求出答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AD∥BC，
∴∠DAB+∠B=180°，
∵△AEF是等边三角形，AE=AB，
∴∠AEF=∠AFE=60°，AF=AD，
∴∠B=∠AEB，∠D=∠AFD，
由三角形的内角和定理得：∠BAE=∠FAD，
设∠BAE=∠FAD=x，
则∠D=∠AFD=180°﹣∠EAF﹣（∠BAE+∠FAD）=180°﹣60°﹣2x，
∵∠FAD+∠D+∠AFD=180°，
∴x+2（180°﹣60°﹣2x）=180°，
解得：x=20°，
∴∠BAD=2×20°+60°=100°，
故选C．
考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
5、B
【分析】根据圆周角定理的推论即可得出答案．
【详解】∵和对应着同一段弧 ，
∴，
∴是直角．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理的推论，掌握圆周角定理的推论是解题的关键．
6、C
【解析】试题分析：利用根的判别式进行判断.
解：∵
∴此方程无实数根.
故选C.
7、A
【详解】A. y=x2，是二次函数，正确；
B. y=，被开方数含自变量，不是二次函数，错误；
C. y=，分母中含自变量，不是二次函数，错误；
D. y=ax2+bx+c，a=0时，，不是二次函数，错误．
故选A．
考点：二次函数的定义.
8、C
【分析】由矩形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，可得BE＝CE＝BC＝AD，由全等三角形的性质可得AE＝DE，由相似三角形的性质可得AF＝2EF，由勾股定理可求DF的长，即可求sin∠BDE的值．
【详解】∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC
∵点E是边BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝AD，
∵AB＝CD，BE＝CE，∠ABC＝∠DCB＝90°
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴AE＝DE
∵AD∥BC
∴△ADF∽△EBF
∴＝2
∴AF＝2EF，
∴AE＝3EF＝DE，
∴ sin∠BDE＝，
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的运用，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．
9、A
【解析】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是直线x＝－1，由此可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3,0），所以方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝－3，x2＝1，故选A.
10、A
【分析】将方程的一次项移到左边，两边加上4变形后，即可得到结果．
【详解】解：方程移项得：x2−4x=1，
配方得：x2−4x+4=1，
即(x−2)2=1．
故选A．
【点睛】
本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟记完全平方公式.
11、B
【分析】连接OE，OF，OG，根据切线性质证四边形ABCD为正方形，根据正方形性质和切线长性质可得DE=DF.
【详解】连接OE，OF，OG，
∵AB，AD，DE都与圆O相切，
∴DE⊥OE，OG⊥AB，OF⊥AD，DF=DE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=11，∠A=90°，
∴∠A=∠AGO=∠AFO=90°，
∵OF=OG=5，
∴四边形AFOG为正方形，
则DE=DF=11-5=6，
故选：B
【点睛】
考核知识点：切线和切线长定理.作辅助线，利用切线长性质求解是关键.
12、B
【分析】设1人每次都能教会x名同学，根据两节课后全班共有1人会做这个实验，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】设1人每次都能教会x名同学，
根据题意得：1+x+(x+1)x＝1．
故选B．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1．
【分析】设正方形城池的边长为步, 根据比例性质求.
【详解】解：设正方形城池的边长为步,
即正方形城池的边长为1步．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用：构建三角形相似，利用相似比计算对应的线段长．
14、
【分析】先去分母，然后移项合并，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【点睛】
本题考查了解二元一次方程，解题的关键是掌握解二元一次方程的方法.
15、
【分析】由题意可得共有5种等可能的结果，其中无理数有：，共2种情况，则可利用概率公式求解．
【详解】∵共有5种等可能的结果，无理数有：，共2种情况，
∴取到无理数的概率是：．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了概率公式的应用与无理数的定义．此题比较简单，注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16、
【解析】∵等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，
∵∠CAC′=15°，
∴∠C′AB=∠CAB﹣∠CAC′=45°﹣15°=30°，AC′=AC=5，
∴阴影部分的面积=×5×tan30°×5=．
17、－1＜x＜3
【分析】根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，
故答案为：－1＜x＜3.
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
18、8π
【解析】试题分析：先求得正多边形的每一个内角，然后由弧长计算公式．
解：方法一：
先求出正六边形的每一个内角==120°，
所得到的三条弧的长度之和=3×=8π（cm）；
方法二：先求出正六边形的每一个外角为60°，
得正六边形的每一个内角120°，
每条弧的度数为120°，
三条弧可拼成一整圆，其三条弧的长度之和为8πcm．
故答案为8π．
考点：弧长的计算；正多边形和圆．
三、解答题（共78分）
19、探究：见解析；拓展：.
【分析】感知：先判断出∠BAP＝∠DPC，进而得出结论；
探究：根据两角相等，两三角形相似，进而得出结论；
拓展：利用△BDP∽△CPE得出比例式求出CE，结合三角形内角和定理证得AC⊥AB且AC＝AB；最后在直角△ADE中利用勾股定理来求DE的长度．
【详解】解：感知：∵∠APD＝90°，
∴∠APB+∠DPC＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠DPC，
∵AB∥CD，∠B＝90°，
∴∠C＝∠B＝90°，
∴△ABP∽△PCD；
探究：∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠CPD，
∴∠BAP+∠B＝∠APD+∠CPD．
∵∠B＝∠APD，
∴∠BAP＝∠CPD．
∵∠B＝∠C，
∴△ABP∽△PCD；
拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，
∴，
∵点P是边BC的中点，
∴BP＝CP＝3，
∵BD＝4，
∴，
∴CE＝，
∵∠B＝∠C＝45°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
即AC⊥AB且AC＝AB＝6，
∴AE＝AC﹣CE＝6﹣＝，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，
在Rt△ADE中，DE＝＝＝．
故答案是：．
【点睛】
此题是相似综合题．主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．解本题的关键是判断出△ABP∽△PCD．
20、（1）∴．
（2）ｍ=2或3 ．
【解析】（1）利用一元二次方程求根根式解方程．
（2）利用（1）中x的值来确定m的值．
【详解】解：（1）根据题意得ｍ≠1，
△＝（–2ｍ）2－4（ｍ－1）（ｍ＋1）＝4 ，
∴．
（2）由（1）知，
∵方程的两个根都是正整数，∴是正整数．
∴ｍ－1=1或2. ．∴ｍ=2或3 ．
考点：公式法解一元二次方程，一元二次方程的解．
21、（1）x1＝3，x2＝﹣7；（2）x1＝，x2＝
【分析】（1）根据因式分解法解方程即可；
（2）根据公式法解方程即可．
【详解】解：（1）x2+4x﹣21＝0
（x﹣3）（x+7）＝0
解得x1＝3，x2＝﹣7；
（2）x2﹣7x﹣2＝0
∵△＝49+8＝57
∴x＝
解得x1＝，x2＝．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，其方法有直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据一元二次方程特点选择合适的方法是解题的关键.
22、5千米
【分析】作BD⊥AC，设AD＝x，在Rt△ABD中求得BD，在Rt△BCD中求得CD，由AC＝AD＋CD建立关于x的方程，解之求得x的值，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：如图，作BD⊥AC于点D，则∠DAB＝30°、∠DBC＝53°，
设BD＝x，
在Rt△ABD中，AD＝＝
在Rt△BCD中，CD＝BDtan∠DBC＝x·tan53° =x
由AC＝AD＋CD可得＋x=9.1
解得：x=
则在Rt△BCD中，BC＝=
即BC两地的距离约为5千米．
【点睛】
此题考查了方向角问题．解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．
23、（2）① 见解析；② 3.1 (3) 6.6cm或2.8cm
【分析】（2）①根据画函数图象的步骤：描点、连线即可画出函数图象；②根据题意，利用图象法解答即可；
（3）根据题意：就是求当时对应的x的值，可利用函数图象，观察两个函数的交点对应的x的值即可.
【详解】解：（2）① 如 图所示 ：
②观察图象可得：当x=2时，y1=3.1，∴m=3.1；
故答案为：3.1；
(3) 当OD=CD时，即y1=y2时，如图，x约为6.6或2.8，即AD的长度约为6.6cm或2.8cm.
故答案为：6.6cm或2.8cm.
【点睛】
本题是圆与函数的综合题，主要考查了圆的有关知识和动点问题的函数图象，熟练运用图象法、灵活应用数形结合的思想是解题的关键.
24、（1）；（2）
【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入原式，然后再计算；
（2）利用配方法求解即可．
【详解】解：（1）原式
（2）∵，
∴，即，
则，
∴．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值以及用因式分解法解方程．记住特殊角的三角函数值是解题关键，
25、（1）见解析；（2）不公平，对小亮有利，见解析.
【解析】（1）采用树状图法或者列表法解答均可；
（2）列举出所有情况，看两人所取卡片的颜色相同和不同的情况占总情况的多少即可判断．
【详解】解：（1）画树状图如下：
（2）不公平，理由如下：
由树状图知共有12种等可能结果，其中两种颜色相同的有4种结果，两种颜色不同的有8种结果，
所以小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为，
因为 ＞，
所以小亮获胜的可能性大，
故此游戏不公平．
【点睛】
本题考查游戏的公平性，解题的关键是正确的列出表格或树状图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
26、（1）；（2）每间房价为元时，宾馆可获利元
【分析】(1)根据题意表示出每间房间的利润和房间数，进而求得答案；
(2)代入(1)求出的函数式，解方程即可，注意要符合条件的.
【详解】解：由题意得
答: 与的函数关系式为：
由可得：
令，即
解得
解得
此时每间房价为: (元)
答:每间房价为元时，宾馆可获利元。
【点睛】
本题考查的是盈利问题的二次函数式及二次函数的最值问题，通常做法是先列出二次函数式，然后利用y最值或化成顶点式进行求解.用代数表示每间房间的利润和房间数是关键.
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