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2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．已知函数，当时．方程表示的直线是（）
A. B.
C. D.
2．若，则下列说法正确的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若且，则 D.若，则
3．已知定义域为的函数满足：，且，当时，，则等于
A. B.
C.2 D.4
4．毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程．已知我国四个南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约，把南极附近的地球表面看作平面，则地球每自转，昆仑站运动的路程约为（）
A. B.
C. D.
5．下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数是（ ）
A. B.
C. D.
6．函数的零点所在的区间是（ ）
A. B.
C. D.
7．同时掷两枚骰子，所得点数之和为的概率为
A. B.
C. D.
8．已知直线，直线，则与之间的距离为（）
A. B.
C. D.
9．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则=
A.{1} B.{3，5}
C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}
10．直线的倾斜角为
A. B.
C. D.
11．若函数则下列说法错误的是（ ）
A.是奇函数
B.若在定义域上单调递减，则或
C.当时，若，则
D.若函数有2个零点，则
12．函数的定义域为（）
A.R B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．计算：__________．
14．当时，函数的值总大于，则的取值范围是________
15．幂函数的图象过点，则______
16．已知函数对于任意实数x满足．若，则_______________
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知函数，，
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求在区间上的最大值和最小值
18．
（1）求a值以及函数的定义域；
（2）求函数在区间上的最小值；
（3）求函数的单调递增区间
19．知，.
（Ⅰ）若为真命题，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若为成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.
20．某兴趣小组在研究性学习活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以天计）的日销售价格（元）与时间（天）的函数关系近似满足（为常数）.该商品的日销售量（个）与时间（天）部分数据如下表所示：
（天）
（个）
已知第天该商品日销售收入为元.
（1）求出该函数和的解析式；
（2）求该商品的日销售收入（元）的最小值.
21．已知函数，.
（1）若函数在为增函数，求实数的取值范围；
（2）若函数为偶函数，且对于任意，，都有成立，求实数的取值范围.
22．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界，已知函数.
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、C
【解析】先利用对数函数的性质得到所以，再利用直线的斜率和截距判断.
【详解】因为时，，
所以
则直线的斜率为，
在轴上的截距
故选：C
2、D
【解析】根据选项举反例即可排除ABC，结合不等式性质可判断D
【详解】对A，取，则有，A错；
对B，取，则有，B错；
对C，取，则有，C错；
对D，若，则正确；
故选：D
3、D
【解析】由得，
又由得函数为偶函数，
所以
选D
4、C
【解析】利用弧长公式求解.
【详解】因为昆仑站距离地球南极点约，地球每自转，
所以由弧长公式得：，
故选：C
5、C
【解析】是非奇非偶函数，在定义域内为减函数；
是奇函数，在定义域内不单调；
y=－x 3是奇函数，又在定义域内为减函数；
非奇非偶函数，在定义域内为减函数；
故选C
6、B
【解析】根据函数零点存在性定理判断即可
【详解】，，，故零点所在区间为
故选：B
7、A
【解析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是同时掷两枚骰子，共有6×6种结果，而满足条件的事件是两个点数之和是5，列举出有4种结果，根据概率公式得到结果.
【详解】由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是同时掷两枚骰子，共有6×6=36种结果，而满足条件的事件是两个点数之和是5，列举出有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1），共有4种结果，根据古典概型概率公式得到P=.
【点睛】古典概型要求能够列举出所有事件和满足条件的事件发生的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体
8、D
【解析】利用两平行线间的距离公式即可求解.
【详解】直线的方程可化为，
则与之间的距离
故选：D
9、C
【解析】根据补集的运算得．故选C.
【考点】补集的运算.
【易错点睛】解本题时要看清楚是求“”还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误
10、B
【解析】设直线x﹣y+3=0的倾斜角为θ
由直线x﹣y+3=0化为y=x+3，
∴tanθ=，
∵θ∈[0，π），∴θ=60°
故选B
11、D
【解析】A利用奇偶性定义判断；B根据函数的单调性，列出分段函数在分段区间的界点上函数值的不等关系求参数范围即可；C利用函数单调性求解集；D将问题转化为与直线的交点个数求参数a的范围.
【详解】由题设，当时有，则；当时有，则，故是奇函数，A正确
因为在定义域上单调递减，所以，得a≤－4或a≥－1，B正确
当a≥－1时，在定义域上单调递减，由，得：x＞－1且x≠0，C正确
的零点个数即为与直线的交点个数，由题意得，解得－3＜a＜，D错误
故选：D
12、B
【解析】要使函数有意义，则需要满足即可.
【详解】要使函数有意义，则需要满足
所以的定义域为，
故选：B
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、4
【解析】
故答案为4
14、或，
【解析】由指数函数的图象和性质可得即可求解.
【详解】因为时，函数的值总大于，
根据指数函数的图象和性质可得，解得：或，
故答案为：或，
15、64
【解析】由幂函数的图象过点，求出，由此能求出
【详解】幂函数的图象过点，
，解得，
，
故答案为64
【点睛】本题考查幂函数概念，考查运算求解能力，是基础题
16、3
【解析】根据得到周期为2，可得结合可求得答案.
【详解】解：∵，所以周期为2的函数，
又∵，∴
故答案为：3
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）1；（2）
（3）最大值为2，最小值为-1.
【解析】(1)直接利用函数的关系式求出函数的值；
(2)利用整体代换发即可求出函数的单调增区间；
(3)结合(2)，利用函数的定义域求出函数的单调性，进而即可求出函数的最大、小值.
【小问1详解】
由，
得；
【小问2详解】
令，
整理，得，
故函数的单调递增区间为；
【小问3详解】
由，得，
结合(2)可知，函数的单调递增区间为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，函数取得最小值，且最小值为，
当时，函数取得最大值，且最大值为.
18、（1），；
（2）；
（3）﹒
【解析】(1)由f(1)＝－2解得a，由1＋x＞0且3－x＞0解得定义域；
(2)化简f(x)解析式，根据x范围求出真数部分范围，即可求其最值；
(3)根据复合函数单调性判断方法“同增异减”即可﹒
【小问1详解】
，
解得；
故，由，
解得：，故函数的定义域是；
【小问2详解】
由(1)得，
令
得，则原函数为，
由于该函数在上单调递减，∴，
因此，函数在区间上的最小值是；
【小问3详解】
由(1)得：，
令的对称轴是，
故在递增，在递减，
∴在递增，在递减，
故函数单调递增区间为
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）解不等式即得；
（Ⅱ）再求出不等式的解，由充分不必要条件与集合包含的关系得出不等关系，可求得结论
【详解】（Ⅰ）若为真命题，解不等式得，
实数的取值范围是.
（Ⅱ）解不等式得，
为成立的充分不必要条件，是的真子集.
且等号不同时取到，得.
实数的取值范围是.
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含
20、（1），
（2）最小值为元
【解析】（1）利用可求得的值，利用表格中的数据可得出关于、的方程组，可解得、的值，由此可得出函数和的解析式；
（2）求出函数的解析式，利用基本不等式、函数单调性求得在且、且的最小值，比较大小后可得出结论.
【小问1详解】
解：依题意知第天该商品的日销售收入为，
解得，所以，.
由表格可知，解得.
所以，.
【小问2详解】
解：由（1）知，
当且时，，
当且时，.
，
当时，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，即.
当时，因为函数、均为减函数，则函数为减函数，
所以当时，取得最小值，且.
综上所述，当时，取得最小值，且.
故该商品的日销售收入的最小值为元.
21、（1）
（2）
【解析】（1）利用定义法证明函数的单调性，依题意可得，即，参变分离可得对恒成立，再根据指数函数的性质计算可得；
（2）由函数为偶函数，得到，即可求出的值，从而得到的解析式，再利用基本不等式得到，依题意，可得对任意恒成立，即对任意恒成立，①由有意义，求得；②由，得，即可得到对任意恒成立，从而求出，从而求出参数的取值范围；
【小问1详解】
解：设，且，
则
∵函数在上为增函数，
∴恒成立
又∵，∴，
∴恒成立，即对恒成立
当时，的取值范围为，
故，即实数取值范围为.
【小问2详解】
解：∵为偶函数，∴对任意都成立，
又
∵上式对任意都成立，
∴，∴，
∴，当且仅当时等号成立，
∴的最小值为0，
∴由题意，可得对任意恒成立，
∴对任意恒成立
①由有意义，得在恒成立，
得在恒成立，
又在上值域为，
故
②由，得，得，
得，得，得，
∴对任意恒成立，
又∵在的最大值为，
∴，
由①②得，实数的取值范围为.
22、（1）值域为，不是有界函数；（2）
【解析】（1）把代入函数的表达式，得出函数的单调区间，结合有界函数的定义进行判断；（2）由题意知，对恒成立，令，对恒成立，设，，求出单调区间，得到函数的最值，从而求出的值.
试题解析：（1）当时，，令，∵，∴，；∵在上单调递增，∴，即在上的值域为，故不存在常数，使成立．∴函数在上不是有界函数
（2）由题意知，对恒成立，即：，令，∵，∴．∴对恒成立，∴，设，，由，由于在上递增，在上递减，在上的最大值为，在上的最小值为，∴实数的取值范围为
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