资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．某校数学课外小组，在坐标纸上为某湿地公园的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk（xk，yk）处，其中x1＝1，y1＝1，且k≥2时，，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.3]＝2，，[1.5]＝1．按此方案，第2119棵树种植点的坐标应为（ ）
A．(6，2121) B．(2119，5) C．(3，413) D．(414，4)
2．在同一坐标系中，二次函数的图象与一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知是关于的一元二次方程的两个根，且满足，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
6．如图，是的弦，半径于点，且的长是（ ）
A． B． C． D．
7．涞水县某种植基地2018年蔬菜产量为100吨，预计2020年蔬菜产量达到120吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点、、和、、，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，的直径垂直于弦，垂足是点，，，则的长为( )
A． B． C．6 D．12
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，已知点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函的图象上，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=5，CD=4，AB与CD的距离为6，则a−b的值是_______.
12．已知线段a，b，c，d成比例线段，其中a=3cm，b=4cm，c=6cm，则d=_____cm；
13．某班主任将其班上学生上学方式（乘公汽、骑自行车、坐小轿车、步行共4种）的调查结果绘制成下图所示的不完整的统计图，已知乘坐公汽上学的有12人，骑自行车上学的有24人，乘家长小轿车上学的有4人，则步行上学的学生人数在扇形统计图对应的扇形所占的圆心角的度数为_____．
14．已知一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝的图象相交于A(4，2)，B(－2，m)两点，则一次函数的表达式为____________．
15．已知是一张等腰直角三角形板，，要在这张纸板中剪取正方形(剪法如图1所示)，图1中剪法称为第次剪取，记所得的正方形面积为；按照图1中的剪法，在余下的和中，分别剪取两个全等正方形，称为第次剪取，并记这两个正方形面积和为，(如图2) ；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第次剪取，并记这四个正方形的面积和为，(如图3)；继续操作下去···则第次剪取后， ___________．
16．已知直线:交x轴于点A，交y轴于点B；直线:经过点B，交x轴于点C，过点D（0，-1）的直线分别交、于点E、F，若△BDE与△BDF的面积相等，则k=____.
17．若a是方程x2－x－1＝0的一个根，则2a2－2a＋5＝________．
18．一个4米高的电线杆的影长是6米，它临近的一个建筑物的影长是36米，则这个建筑物的高度是__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）一次函数与反比例函数的图象相交于A（﹣1，4），B（2，n）两点，直线AB交x轴于点D．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）过点B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC交x轴于点E，求△AED的面积S．
20．（6分）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，点P从点A出发，以每秒一个单位的速度沿A→B→C的方向运动；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿B→C→D的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停止运动．设两点运动的时间为t秒．
（1）当t＝ 时，两点停止运动；
（2）设△BPQ的面积面积为S（平方单位）
①求S与t之间的函数关系式；
②求t为何值时，△BPQ面积最大，最大面积是多少？
21．（6分）如图，抛物线y＝﹣x2+4x+m﹣4（m为常数）与y轴交点为C，M(3，0)、N(0，﹣2)分别是x轴、y轴上的点．
（1）求点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）若抛物线与x轴有两个交点A、B，是否存在这样的m，使得线段AB＝MN，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线与线段MN有公共点，求m的取值范围．
22．（8分）如图①，若抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点在抛物线上，（点与点不重合），我们把这样的两条抛物线和，互称为“友好”抛物线．
（1）一条抛物线的“友好”抛物线有 条；
（2）如图②，已知抛物线与轴相交于点，点关于抛物线的对称轴的对称点为点，求以点为顶点的的“友好”抛物线的表达式；
（3）若抛物线的“友好”抛物线的解析式为，请直接写出与的关系式．
23．（8分）如图，在正方形中，为边的中点，点在边上，且，延长交的延长线于点．
（1）求证：△∽△．
（2）若，求的长．
24．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=20cm，两只小虫P和Q同时分别从A、B出发沿AB、BC向终点B、C方向前进，小虫P每秒走1cm，小虫Q每秒走2cm。请问：它们同时出发多少秒时，以P、B、Q为顶 点的三角形与以A、B、C为顶点的三角形相似？
25．（10分）随机抽取某小吃店一周的营业额(单位: 元)如下表:
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
合计
（1）分析数据，填空:这组数据的平均数是 元，中位数是 元，众数是 元.
（2）估计一个月(按天计算)的营业额,星期一到星期五营业额相差不大，用这天的平均数估算合适么?简要说明理由.
26．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线：沿轴翻折得到抛物线.
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
① 当时，求抛物线和围成的封闭区域内(包括边界)整点的个数；
② 如果抛物线C1和C2围成的封闭区域内(包括边界)恰有个整点，求m取值范围．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据已知分别求出1≤k≤5时，P点坐标为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5），当6≤k≤11时，P点坐标为（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5），通过观察得到点的坐标特点，进而求解．
【详解】解：由题可知1≤k≤5时，P点坐标为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5），
当6≤k≤11时，P点坐标为（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5），
……
通过以上数据可得，P点的纵坐标5个一组循环，
∵2119÷5＝413…4，
∴当k＝2119时，P点的纵坐标是4，横坐标是413+1＝414，
∴P（414，4），
故选：D．
【点睛】
本题考查点的坐标和探索规律；能够理解题意，通过已知条件探索点的坐标循环规律是解题的关键．
2、C
【分析】根据二次函数、一次函数图像与系数的关系，对每个选项一一判断即可．
【详解】A．由一次函数图像可得：a>0，b>0；由二次函数图像可得：a>0，b<0，故A选项不可能．
B．由一次函数图像可得：a>0，b<0；由二次函数图像可得：a>0，b>0，故B选项不可能．
C．由一次函数图像可得：a<0，b>0；由二次函数图像可得：a<0，b>0，故C选项可能．
D．由一次函数图像可得：a>0，b>0；由二次函数图像可得：a<0，b<0，故D选项不可能．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查一次函数、二次函数图像与系数的关系，根据一次函数、二次函数图像判断系数的正负是解题关键．
3、B
【解析】反比例函数的图象是中心对称图形,则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称.
【详解】解:点A与B关于原点对称,点坐标为
A点的坐标为(2,3).
所以B选项是正确的.
【点睛】
本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性,要求同学们要熟练掌握.
4、C
【解析】试题解析：设正方形网格每个小正方形边长为1，则BC边上的高为2，则 ， .
故本题应选C.
5、B
【分析】根据根与系数的关系，即韦达定理可得，易求,从而可得,解可求,再利用根的判别式求出符合题意的.
【详解】由题意可得，a=1，b=k，c=-1，
∵ 满足，
∴ ①
根据韦达定理 ②
把②式代入①式，可得：k=-2
故选B.
【点睛】
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题.
6、C
【分析】利用勾股定理和垂径定理即可求解．
【详解】∵，
∴AD=4cm
在Rt△AOD中，OA2＝OD2＋AD2，
∴25＝（5−DC）2＋16，
∴DC＝2cm．
故选：C．
【点睛】
主要考查了垂径定理的运用．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．
7、A
【分析】根据2020年的产量=2018年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【详解】解：设该种植基地蔬菜产量的年平均增长率（百分数）为x，
根据题意，得，
故选A.
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2020年的产量的代数式，根据条件找准等量关系，列出方程．
8、D
【解析】过点A作，垂足为D，在中可求出AD，CD的长，在中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正弦的定义可求出的值．
【详解】解：过点A作，垂足为D，如图所示．
在中，，
；
在中，，
，
．
故选：D．
【点睛】
考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，AB的长是解题的关键．
9、C
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【详解】∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，得出是解答本题的关键．
10、A
【分析】先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理得到，可得为等腰直角三角形，所以，从而得到的长．
【详解】∵，AB为直径，
∴，
∵∠BOC和∠A分别为所对的圆心角和圆周角，∠A=22.5°，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵OC=6，
∴，
∴.
故选A．
【点睛】
本题考查了垂径定理及圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径，平分这条弦且平分这条弦所对的两条弧．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】利用反比例函数k的几何意义得出a-b=4•OE，a-b=5•OF，求出=6，即可求出答案．
【详解】如图，
∵由题意知：a-b=4•OE，a-b=5•OF，
∴OE=，OF=，
又∵OE+OF=6，
∴=6，
∴a-b=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能求出方程=6是解此题的关键．
12、3．
【详解】根据题意得：a：b=c：d，
∵a=3cm，b=4cm，c=6cm，
∴3：4=6：d，
∴d=3cm．
考点：3．比例线段；3．比例的性质．
13、90°
【分析】先根据骑自行车上学的学生有12人占25%，求出总人数，再根据步行上学的学生人数所对应的圆心角的度数为所占的比例乘以360度，即可求出答案．
【详解】解：根据题意得：
总人数是：12÷25%＝48人，
所以乘车部分所对应的圆心角的度数为360°×＝90°；
故答案为：90°．
【点睛】
此题主要考查了扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息，列出算式是解决问题的关键．
14、y＝x－1
【详解】解：把（4，1）代入，得k＝8，
∴反比例函数的表达式为，
把（－1，m）代入，得m＝－4，
∴B点的坐标为（－1，－4），
把（4，1），（－1，－4）分别代入y＝ax＋b，得
解得，
∴直线的表达式为y＝x－1．
故答案为：y＝x－1．
15、
【分析】根据题意可求得△ABC的面积，且可得出每个正方形是剩余三角形面积的一半，即为上一次剪得的正方形面积的一半，可得出与△ABC的面积之间的关系，可求得答案．
【详解】∵AC=BC=2，
∴∠A=∠B=45°，
∵四边形CEDF为正方形，
∴DE⊥AC，
∴AE=DE=DF=BF，
∴，
同理每次剪得的正方形的面积都是所在三角形面积的一半，
∴，
同理可得，
依此类推可得，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了正方形与等腰直角三角形的性质，根据条件找到与之间的关系是解题的关键．注意规律的总结与归纳．
16、
【分析】先利用一次函数图像相关求出A、B、C的坐标，再根据△BDE与△BDF的面积相等，得到点E、F的横坐标相等，从而进行分析即可.
【详解】解：由直线:交x轴于点A，交y轴于点B；直线:经过点B，交x轴于点C，求出A、B、C的坐标分别为，
将点D（0，-1）代入得到，又△BDE与△BDF的面积相等，即知点E、F的横坐标相等，且直线分别交、于点E、F，可知点E、F为关于原点对称，即知坡度为45°，斜率为.
故k=.
【点睛】
本题考查一次函数图像性质与几何图形的综合问题，熟练掌握一次函数图像性质以及等面积三角形等底等高的概念进行分析是解题关键.
17、1
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=a代入方程x2-x-1=0，列出关于a的一元二次方程，通过解方程求得a2-a的值后，将其整体代入所求的代数式并求值即可．
【详解】根据题意，得a2-a-1=0，即a2-a=1；
∴2a2-2a+5=2（a2-a）+5=2×1+5=1，即2a2-2a+5=1．
故答案是：1．
【点睛】
此题主要考查了方程解的定义．此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
18、1米
【分析】设建筑物的高度为x，根据物高与影长的比相等，列方程求解．
【详解】解：设建筑物的高度为x米，由题意得，
，解得x=1．
故答案为：1米．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
三、解答题(共66分)
19、（1），；（2）．
【分析】（1）把A（﹣1，4）代入反比例函数可得m的值，再把B（2，n）代入反比例函数的解析式得到n的值；然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）由BC⊥y轴，垂足为C以及B点坐标确定C点坐标，可求出直线AC的解析式，进一步求出点E的坐标，然后计算得出△AED的面积S．
【详解】解：（1）把A（﹣1，4）代入反比例函数得，
m=﹣1×4=﹣4，
所以反比例函数的解析式为，
把B（2，n）代入得，2n=﹣4，
解得n=﹣2，
所以B点坐标为（2，﹣2），
把A（﹣1，4）和B（2，﹣2）代入一次函数，
得：，解得：，
所以一次函数的解析式为；
（2）∵BC⊥y轴，垂足为C，B（2，﹣2），
∴C点坐标为（0，﹣2）．
设直线AC的解析式为，∵A（﹣1，4），C（0，﹣2），
∴，解得：，
∴直线AC的解析式为，
当y=0时，﹣6x﹣2=0，解答x=，
∴E点坐标为（，0），
∵直线AB的解析式为，
∴直线AB与x轴交点D的坐标为（1，0），
∴DE=，
∴△AED的面积S==．
【点睛】
本题考查1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题，利用数形结合思想解题是关键．
20、（1）1；（2）①当0＜t＜4时，S＝﹣t2+6t，当4≤t＜6时，S＝﹣4t+2，当6＜t≤1时，S＝t2﹣10t+2，②t＝3时，△PBQ的面积最大，最大值为3
【分析】（1）求出点Q的运动时间即可判断．
（2）①的三个时间段分别求出△PBQ的面积即可．
②利用①中结论，求出各个时间段的面积的最大值即可判断．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝6cm，
∴BC+AD＝14cm，
∴t＝14÷2＝1，
故答案为1．
（2）①当0＜t＜4时，S＝•（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t．
当4≤t＜6时，S＝•（6﹣t）×8＝﹣4t+2．
当6＜t≤1时，S＝（t﹣6）•（2t﹣8）＝t2﹣10t+2．
②当0＜t＜4时，S＝•（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+3，
∵﹣1＜0，
∴t＝3时，△PBQ的面积最大，最小值为3．
当4≤t＜6时，S＝•（6﹣t）×8＝﹣4t+2，
∵﹣4＜0，
∴t＝4时，△PBQ的面积最大，最大值为8，
当6＜t≤1时，S＝（t﹣6）•（2t﹣8）＝t2﹣10t+2＝（t﹣5）2﹣1，
t＝1时，△PBQ的面积最大，最大值为3，
综上所述，t＝3时，△PBQ的面积最大，最大值为3．
【点睛】
本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，涉及了分类讨论的数学思想，灵活的利用二次函数的性质求三角形面积的最大值是解题的关键.
21、（1）(0，m﹣4)；（1）存在，m＝；（3）﹣≤m≤1
【分析】（1）由题意得：点C的坐标为：(0，m﹣4)；
（1）存在，理由：令y=0，则x=1，则AB=1MN，即可求解；
（3）联立抛物线与直线MN的表达式得：方程﹣x1+4x+m﹣4x﹣1，即x1x﹣m+1=0中△≥0，且m﹣4≤﹣1，即可求解．
【详解】（1）由题意得：点C的坐标为：(0，m﹣4)；
（1）存在，理由：
令y=0，则x=1，则AB=1MN，
解得：m；
（3）∵M(3，0)，N(0，﹣1)，
∴直线MN的解析式为yx﹣1．
∵抛物线与线段MN有公共点，则方程﹣x1+4x+m﹣4x﹣1，即x1x﹣m+1=0中△≥0，且m﹣4≤﹣1，
∴()1﹣4(﹣m+1)≥0，
解得：m≤1．
【点睛】
本题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式、一元二次方程等，其中（3），确定△≥0，且m﹣4≤﹣1是解答本题的难点．
22、（1）无数；（2）；（3）
【分析】(1)根据题目给的定义即可判断一条抛物线有无数条”友好”抛物线.
(2)先设出L4的解析式,求出L3的坐标轴和顶点坐标,再将顶点坐标代入L4的解析式中即可求解.
(3)根据两个抛物线的顶点都在对方抛物线上,列式求解即可.
【详解】（1）根据“友好”抛物线的定义,只需要确定原函数顶点和抛物线任意一点做“友好”抛物线的顶点即可作出“友好”抛物线,因此有无数条.
∴答案为:无数.
（2）把化为顶点式，得
顶点坐标为，
对称轴为
点坐标为，
点关于对称轴的对称点的坐标为，
设的解析式为，
把代入，得
.
解得.
的“友好”抛物线的表达式为：.
（3）由题意可得:,整理得,(a1+a2)(m-h)2=0,
∵顶点不重合,∴m≠h,
∴.
【点睛】
本题考查二次函数的性质运用,关键在于根据题意规定的方法代入求解.
23、（1）详见解析；（2）1．
【分析】（1）先根据正方形的性质、直角三角形的性质得出，再加上一组直角相等，根据相似三角形的判定定理即可得证；
（2）先根据正方形的性质、中点的性质求出AE的长，再根据勾股定理求出BE的长，最后根据相似三角形的性质、线段的和差即可得．
【详解】（1）∵四边形ABCD为正方形，且
；
（2）∵四边形ABCD为正方形，
点E为AD的中点
在中，
由（1）知，
，即
故的长为1．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），由题（1）的结论联系到利用相似三角形的性质是解题关键．
24、2秒或者5
【分析】由题意可知要使以P、B、Q为顶点的三角形与以A、B、C为顶点的三角形相似，则要分两种情况进行分析从而解得所需的时间．
【详解】解：设他们行走的时间为x秒
由题意得：AP=xcm, BQ=2x, BP=(10-x)
因为∠PBQ=∠ABC,分两种情况：
当时，，解得，
当时，，解得，
答：出发2秒或者5秒时相似.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定及矩形的性质等知识点的综合运用，运用数形结合思维分析是解题的关键，注意分情况讨论求解．
25、（1）780,680,640；（2）不合适，理由见解析
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义，即可得解；
（2）根据数值和平均数之间的差距即可判定.
【详解】(1)这组数据的平均数是元，
从小到大排列为:540、640、640、680、780、1070、1110，则其中位数是680元，
众数是640元．
（2）不合适
理由：星期一到星期五的日平均营业额相差不大，但是与周六和周日差距较大，
平均数受极端值影响较大，所以不合适.
【点睛】
此题主要考查统计的相关概念，数据波动以及离散程度的相关知识，熟练掌握，即可解题.
26、（1）（-1，-1）；（2）①整点有5个．②≤．
【分析】（1）可先求抛物线的顶点坐标，然后找到该店关于x轴对称的点的坐标即为抛物线的顶点坐标.
（2）① 先求出当时，抛物线和的解析式并画在同一个直角坐标系中即可确定整点的个数；
②结合整点的个数，确定抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围，从而代入抛物线解析式中确定m的取值范围.
【详解】（1）∵
∴的顶点坐标为
∵抛物线：沿轴翻折得到抛物线.
∴的顶点坐标为（，）
（2）①当时，，．
根据图象可知，和围成的区域内(包括边界)整点有5个．
②抛物线在和围成的区域内 (包括边界) 恰有个整点，结合函数图象，可得抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围为 ≤．
将（1，）代入，得到 ，
将（2，）代入，得到 ，
结合图象可得 ≤．
【点睛】
本题主要考查二次函数，掌握二次函数的图象和性质及整点的定义是解题的关键.
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