鲁教版2018八年级数学上册第五章平行四边形单元练习题四(附答案详解).doc

鲁教版2018八年级数学上册第五章平行四边形单元练习题四（附答案详解）
1．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为（　　）
A． 12cm B． 9cm C． 6cm D． 3cm
2．在□ABCD中，对角线 AC与 BD 相交于点O ， AC=10， BD= 6，则下列线段不可能是□ABCD 的边长的是( )
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
3．用三种正多边形镶嵌成一个平面时，若前两种是正方形和正六边形，则第三种是(　　)
A． 正十二边形 B． 正十边形 C． 正八边形 D． 正三角形
4．如图，在▱ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF=（　　）
A． 2cm B． 3cm C． 4cm D． 5cm
5．四边形ABCD中，分别给出以下条件：①AB∥CD；②AB=CD；③AD∥BC；④AD=BC；⑤∠A=∠C．则下列条件组合中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A． ①② B． ①④ C． ①③ D． ①⑤
6．一个多边形最少可分割成五个三角形，则它是（ 　）边形
A． 8 B． 7 C． 6 D． 5
7．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=∠EDC+∠BCD+140°，DF，CF分别平分∠EDC和∠BCD，则∠F的度数为（　　）
A． 100°                               B． 90°                             C． 80°                               D． 70°
8．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A． 3 B． 4 C． 4.5 D． 5
9．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，连接DE、EF,若∠B=70°，∠C=42°,则∠DEF的度数为

A． 75° B． 80° C． 78° D． 68°
10．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（　　）

A． B． 2 C． D． 3
11．如图，在平行四边行 ABCD 中，AD＝8，点 E、F 分别是BD、CD 的中点， 则 EF 等于（ ）

A． 3.5 B． 4 C． 4.5 D． 5
12．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠D=40°，则∠B+∠C为__________．

13．如图，在▱ABCD中，∠C的角平分线交AD于点E，AB=3，BC=5，则AE=_____．

14．已知，如图，在□ABCD中，AB=5cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF=_____cm．

15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，AG＝2.5，则△CEF的周长为

16．如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，其中一个角为65°，则另一个角为___度．
17．如图，小明用三个等腰三角形（图中①②③）拼成了一个平行四边形ABCD，且，则=_____ 度．

18．如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3，∠BAD=120°，AE平分∠BAD，交BC于点E，过点C作CF∥AE，交AD于点F，则四边形AECF的面积为________．

19．在平行四边形ABCD中，∠A=110°，则∠D=________．
20．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：四边形AFCE是平行四边形．

21．求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程）

22．在一个平行四边形中若一个角的平分线把一条边分成长是2cm和3cm的两条线段，求该平行四边形的周长是多少？

23．如图，中，，，在AB的同侧作正、正和正，求四边形PCDE面积的最大值．

24．如图，在□ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且EF⊥AE．求证：AE平分∠DAF．
小林同学读题后有一个想法，延长FE，AD交于点M，要证AE平分∠DAF，只需证△AMF是等腰三角形即可．请你参考小林的想法，完成此题的证明．

25．已知△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，AE⊥CD，垂足是E,F是BC的中点，试说明BD=2EF。

26．多边形的每一个内角都相等，它的一个外角等于正十边形的一个内角的，求这个多边形的边数．

27．如图1，已知□ABCD，AB//x轴，AB=6，点A的坐标为（1，-4），点D的坐标为（-3,4），点B在第四象限，点P是□ABCD边上的一个动点.

（1）若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标.
（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x-1上，求点P的坐标.
（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标（直接写出答案）.

28．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上
（1）给出以下条件；①OB=OD，②∠1=∠2，③OE=OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；
（2）在（1）条件中你所选条件的前提下，添加AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．

答案
1．C
【解析】分析：
由已知易得点O是线段AC的中点，结合点E是线段BC的中点可得OE是△ABC的中位线，由此可得AB=2OE=6cm.
详解：
∵四边形ABCD是平行四边形，点O是对角线AC、BD的交点，
∴OA=OC，
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AB=2OE=6cm,
故选C.
点睛：熟悉“平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分和三角形中位线定理的内容”是解答本题的关键.
2．D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质求出OA、OB，根据三角形的三边关系定理得到OA-OB＜AB＜OA+OB，代入求出即可．
【详解】
如图：
，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=10，BD=6，
∴OA=OC=5，OD=OB=3，
在△OAB中，OA−OB<AB<OA+OB，
∴5−3<AB<5+3，
即2<AB<8.
同理可得AD、CD、BC的取值范围和AB相同.
故选D.
【点睛】
本题主要考查三角形的三边关系和平行四边形的性质.牢记三角形的三边关系和平行四边形的性质是解题的关键.
3．A
【解析】分析：分别求出各正多边形的每个内角的度数，再根据围绕一点拼在一起的多边形内角和加在一起恰好组成一个周角进行判断即可.
详解：这三角形的内角为60°，
正方形的内角为90°，
正六边形的内角为120°，
正八边形的内角为135°，
正十边形的内角为144°，
正十二边形的内角为150°.
所以前两个为90°+120°=210°
所以第三和为360°-210°=150°.
所以第三个正多边形为正十二边形.
故选：A.
点睛：此题考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角和加起来等于360°.
4．B
【解析】分析：由角平分线和平行线的关系可得到△ABE是等腰三角形，进而可得△DEF也是等腰三角形.
详解：因为BF平分∠ABC，所以∠ABF＝∠CBF，
因为AD∥BC，AB∥CF，
所以∠AEB＝∠CBF，∠DEF＝∠CBF，∠F＝∠ABF，
所以∠ABE＝∠AEB，∠DEF＝∠DFE，所以AB＝AE，DE＝DF.
因为AB＝4，AD＝7，所以DF＝DE＝AD－AB＝7－4＝3cm.
故选B.
点睛：解题的关键是要理解基本图形“角平分线＋平行线→等腰三角形”，把“角平分线”，“平行线”，“等腰三角形”，这三个中的任意两个作为题设，另一个作为结论所得的命题都是真命题.
5．B
【解析】解：根据平行四边形的判定定理，选项A、C、D可以判定四边形ABCD为平行四边形．B中AB∥CD，AD=BC，即一组对边相等，另一组对边平行，也有可能是等腰梯形，不能判定．故选B．
6．B
【解析】∵一个多边形最少可分割成五个三角形，
∴这个多边形的边数为5+2=7，
那么它是七边形．
故选B．
点睛： 本题主要考查了多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为（n-2）．
7．C
【解析】根据五边形的内角和为540°，由∠A+∠B+∠E=∠EDC+∠BCD+140°，可求出2（∠BCD+∠CDE）=540°-140°=400°，然后根据角平分线的性质可求得∠FDC+∠FCD=（∠BCD+∠CDE）=100°，然后根据三角形的内角和为180°可得∠F=80°.
故选：C.
8．A
【解析】分析：根据三角形中位线定理可知EF=DN，求出DN的最大值即可．
详解：如图，连结DN．∵DE=EM，FN=FM，∴EF=DN，当点N与点B重合时，DN的值最大即EF最大．在Rt△ABD中，∵∠A=90°，AD=3，AB=3，∴BD===6，∴EF的最大值=BD=3．
故选A．

点睛：本题考查了三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是中位线定理的灵活应用，学会转化的思想，属于中考常考题型．
9．D
【解析】分析:由点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，可得EF、DE分别是△ABC的中线，从而根据平行线的性质求出∠BED和∠CEF的度数，然后可求∠DEF的度数.
详解: ∵D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
∴EF、DE分别是△ABC的中线，
∴DE∥AC,EF∥AB,
∴∠BED=∠C=42°, ∠CEF=∠B=70°,
∴∠DEF=180°-70°-42°=68°.
故选D.
点睛:本题考查了三角形额中位线，平行线的性质，根据点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，得到EF、DE分别是△ABC的中线是解答本题的关键.
10．C
【解析】分析：证明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
详解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，
在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE，
∴BA=BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，
∴DE=BE+CD-BC=5，
∴MN=DE=．
故选：C．
点睛：本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
11．B
【解析】分析：由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC=AD=8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8．
∵点E、F分别是BD、CD的中点，∴EF=BC=×8=4．
故选B．
点睛：本题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
12．230°
【解析】
∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4-2）×180°=360°，
∠A=90°，∠D=40°，
∴∠B+∠C=360°-90°-40°=230°，
故答案为：230°.
【点睛】本题考查了四边形的内角和，熟记四边形的内角和是360度是解题的关键.
13．2
【解析】分析：只要证明DE=DC=3，AD=BC=5，即可解决问题．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD=3，AD=BC=5，
∴∠DEC=∠BCE，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠ECD，
∴∠DEC=∠ECD，
∴DE=CD=3，
∴AE=AD-DE=2．
故答案为2．
点睛：本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
14．2
【解析】分析：根据平行四边形的对边相等且平行和利用平行四边形的性质以及平行线的基本性质求解即可．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE=∠CFE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE=∠CBF，
∴∠CBF=∠CFB，
∴CF=CB=7，
∴DF=CF-CD=7-5=2，
故答案为：2．
点睛：本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
15．
【解析】试题解析：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE；
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD=AB=6，BC=AD=10，
∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，
∴AB=BE=6，
同理；DF=AD=10，
∴CE=BC-BE=4，CF=DF-CD=4，BE：CE=6：4=3：2．
∵BG⊥AE，垂足为G，
∴AG=EG=2.5，
∴AE=5，
∵AB∥FC，
∴△ABE∽△FCE，
∴AE：EF=BE：CE=3：2，
∴EF=AE=×5=，
∴△CEF的周长=CE+CF+EF=4+4+=.
故答案为： ．
16．65°或115°
【解析】解：如图所示，设∠1=65°，则∠1和∠2，∠1和∠3两对角符合条件．
根据平行线的性质，得到∠1=∠2=65°．
结合邻补角的定义，得∠1+∠3=∠2+∠3=180°，得到∠3=115°．
故另一个角为65或115度．

点睛：解决本题时要联想到平行线的性质定理，正确认识其基本图形，就不会忽视互补的情况．熟记结论：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．
17．72或
【解析】分析：分两种情况讨论，分别构建方程即可解决问题．
详解：由题意可知：AD=DE，∴∠DAE=∠DEA，设∠DAE=∠DEA=x．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∠C=∠DAB，∴∠DEA=∠EAB=x，∴∠C=∠DAB=2x．
①AE=AB时，若BE=BC，则有∠BEC=∠C，即（180°﹣x）=2x，解得：x=36°，∴∠C=72°；
若EC=EB时，则有∠EBC=∠C=2x．
∵∠DAB+∠ABC=180°，∴4x+（180°﹣x）=180°，解得：x=，∴∠C=，
②EA=EB时，同法可得∠C=72°．
综上所述：∠C=72°或．
故答案为：72°或．
点睛：本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
18．
【解析】【分析】如图所示，过点A作AM⊥BC，垂足为M，先证明△ABE是等边三角形，从而求得BE=AB=2，继而求得AM长，再证明四边形AECF是平行四边形，继而根据平行四边形的面积公式进行计算即可求得.
【详解】如图所示，过点A作AM⊥BC，垂足为M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠B=180°-∠BAD=180°-120°=60°，
∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，∠BAD=120°，
∴∠DAE=60°，
∴∠AEB=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2，
∴BM=1，AM=，
又∵CF//AE，∴四边形AECF是平行四边形，
∵CE=BC-BE=3-2=1，
∴S四边形AECF=CE•AM=，
故答案为：.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等，正确添加辅助线、熟练应用相关的定理与性质是解题的关键.
19．70°
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=110°，
∴∠D=70°，
故答案为：70°．

20．证明见解析
【解析】试题分析：连接AF、CE，Rt△ADE≌Rt△CBF，证明AE,CF平行且相等.
试题解析：
试题解析：
证明：连接AF、CE,

∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，AE∥CF，
∵BE=DF，
∴DE=BF，
在Rt△ADE后Rt△CBF中，
,
∴Rt△ADE≌Rt△CBF，
∴AE=CF，∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
21．见解析
【解析】分析：题设作为已知条件，结论作为求证，画出图形，写出已知，求证，然后证明即可．
详解：
已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：连结AC

在ΔABC和ΔCDA中．
∵AB=CD，BC=DA，AC=CA，
∴ ΔABC≌ΔCDA，
∴ ∠BAC=∠DCA，∠ACB=∠CAD，
∴ AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
点睛：本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握命题的证明方法，学会写已知求证，属于中考常考题型．
22．14cm或16cm
【解析】如图，因为AE平分∠DAB，所以∠DAE=∠BAE；因为CD∥AB，所以∠DEA=∠BAE，所以∠DAE=∠DEA，则△ADE是等腰三角形，DA=DE.
①当DE=2时，AD=DE=2，EC=3，所以CD=5，则平行四边形的周长为5+5+2+2=14；
②当DE=3时，AD=DE=3，EC=2，所以CD=5，则平行四边形的周长为5+5+3+3=16.
答：该平行四边形的周长是14cm或16cm.

23．四边形PCDE面积的最大值为1．  
【解析】
【分析】
先延长EP交BC于点F，得出，再判定四边形CDEP为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积，最后根据，判断的最大值即可．
【详解】
延长EP交BC于点F，

，，
，
，
平分，
又，
，
设中，，，则
，，
和都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，
同理可得：≌，
，
四边形CDEP是平行四边形，
四边形CDEP的面积，
又，
，
，
即四边形PCDE面积的最大值为1．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．
24．证明见解析.
【解析】分析：延长FE，AD交于点M，要证AE平分∠DAF，只需证△AMF是等腰三角形即可．
详解：证明：延长AD，FE交于M．

在□ABCD中，AD∥BC，
所以∠MDE=∠FCE，∠EMD=∠EFC,
又E是CD的中点，所以DE= CE，
所以△EDM≌△ECF，
所以EM= EF．
又因为EF⊥AE,
所以AF=AM，即△AMF是等腰三角形，
又AE⊥FM，所以AE平分∠DAF．
点睛：此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
25．证明见解析.
【解析】试题分析：根据三角形的中位线定理，在三角形中准确应用，并且求证E为CD的中点，再求证EF为△BCD的中位线．
试题解析：
∵AD=AC，AE⊥CD，
∴CE=DE
∵CE=DE，F是BC的中点
∴BD=2EF
26．6
【解析】分析：先求出正十边形的一个内角，再根据n边形的一个外角等于正十边形的一个内角的，求出n边形的一个外角，用360÷n边形的一个外角即可求解.
本题解析：
正10边形的内角：(10-2)×180°÷10=144°
多边形的外角：144°×5/12=60°
多边形的内角：180°-60°=120°
正多边形的边数为n
(n-2)×180°/n=120°
(180°-120°)n=360°
n=6
27．（1）点P的坐标为（3,4）.（2）点P的坐标为（-3,4）或（-1,0）或（5，-4）或（3，-4）.（3）点P的坐标为（2，-4）或（，3）或（，4）或（，4）.
【解析】试题分析：（1）点P在BC上，要使PD=CD，只有P与C重合；
（2）首先要分点P在边AB，AD上时讨论，根据“点P关于坐标轴对称的点Q”，即还要细分“点P关于x轴的对称点Q和点P关于y轴的对称点Q”讨论，根据关于x轴、y轴对称点的特征（关于x轴对称时，点的横坐标不变，纵坐标变成相反数；关于y轴对称时，相反；）将得到的点Q的坐标代入直线y=x-1，即可解答；
（3）在不同边上，根据图象，点M翻折后，点M’落在x轴还是y轴，可运用相似求解．
试题解析：解：（1）∵CD=6，∴点P与点C重合，∴点P的坐标是（3，4）．
（2）①当点P在边AD上时，由已知得，直线AD的函数表达式为： ，设P（a，-2a-2），且-3≤a≤1．
若点P关于x轴对称点Q1（a，2a+2）在直线y=x-1上，∴2a+2=a-1，解得a=-3，此时P（-3，4）．
若点P关于y轴对称点Q2（-a，-2a-2）在直线y=x-1上，∴-2a-2=-a-1，解得a=-1，此时P（-1，0）．
②当点P在边AB上时，设P（a，-4），且1≤a≤7．
若点P关于x轴对称点Q3（a，4）在直线y=x-1上，∴4=a-1，解得a=5，此时P（5，-4）．
若点P关于y轴对称点Q4（-a，-4）在直线y=x-1上，∴-4=-a-1，解得a=3，此时P（3，-4）．
综上所述，点P的坐标为（-3，4）或（-1，0）或（5，-4）或（3，-4）．
（3）因为直线AD为y=-2x-2，所以G（0，-2）．
①如图，当点P在CD边上时，可设P（m，4），且-3≤m≤3，则可得M′P=PM=4+2=6，M′G=GM=|m|，易证得△OGM′∽△HM′P，则，即，则OM′=，在Rt△OGM′中，由勾股定理得， ，解得m=-或 ，则P（ -，4）或（ ，4）；

②如下图，当点P在AD边上时，设P（m，-2m-2），则PM′=PM=|-2m|，GM′=MG=|m|，易证得△OGM′∽△HM′P，则，即，则OM′=，在Rt△OGM′中，由勾股定理得， ，整理得m= -，则P（-，3）；

如下图，当点P在AB边上时，设P（m，-4），此时M′在y轴上，则四边形PM′GM是正方形，所以GM=PM=4-2=2，则P（2，-4）．

综上所述，点P的坐标为（2，-4）或（-，3）或（-，4）或（，4）．
28．（1）见解析；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）选取①②，利用ASA判定△BEO≌△DFO；也可选取②③，利用AAS判定△BEO≌△DFO；还可选取①③，利用SAS判定△BEO≌△DFO；
（2）根据△BEO≌△DFO可得EO＝FO，BO＝DO，再根据等式的性质可得AO＝CO，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论．
试题解析：
证明：（1）选取①②，
∵在△BEO和△DFO中，
∴△BEO≌△DFO（ASA）；
（2）由（1）得：△BEO≌△DFO，
∴EO＝FO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
点睛：此题主要考查了平行四边形的判定，以及全等三角形的判定，关键是掌握两条对角线互相平分的四边形是平行四边形