资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如果关于的方程没有实数根，那么的最大整数值是（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．0
2．若直线与半径为5的相离，则圆心与直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．下列是一元二次方程有（ ）
①；②；③；④.
A． B． C． D．
4．△ABC中，∠C=90°，内切圆与AB相切于点D，AD=2，BD=3，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．无法确定
5．下列方程是一元二次方程的是 （ ）
A． B．x2+5=0 C．x2+=8 D．x（x+3）=x2﹣1
6．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（ ）
A．3m B． m C． m D．4m
7．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠BOD等于（ ）
A．20° B．30° C．40° D．60°
8．一个不透明的口袋中放着若干个红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，袋中的球已经搅匀，从口袋中随机取出一个球，取出红球的概率是．如果袋中共有32个小球，那么袋中的红球有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
9．抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，则朝上一面的数字为2的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在一个不透明的口袋中，装有4个红球和若干个白球，这些球除颜色外其余都相同，如果摸到红球的概率是，那么口袋中有白球_____个
12．抛物线的顶点坐标是_______．
13．化简: -2a2+(a2-b2)=______.
14．近日，某市推出名师公益大课堂.据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次.如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，则这个增长率是______.
15．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB＝3，则△AEC的面积为_____．
16．计算：________．
17．有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．
18．分解因式____________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(﹣1，1)、B(0，﹣2)、C(1,0)，点P(0，2)绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，
（1）在图中画出点P1、P2、P3；
（2）继续将点P3绕点A旋转180°得到点P4，点P4绕点B旋转180°得到点P5，…，按此作法进行下去，则点P2020的坐标为 ．
20．（6分）如图，在△ABC中，BC＝12，tanA＝，∠B＝30°，求AC的长和△ABC的面积．
21．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆O上，BE⊥CD垂足为E，CB平分∠ABE，连接BC
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若cos∠CAB＝，CE＝，求AD的长．
22．（8分）如图1是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂长可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，.
（1）在旋转过程中：
①当三点在同一直线上时，求的长；
②当三点在同一直角三角形的顶点时，求的长.
（2）若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，连结，如图2，此时，，求的长.
23．（8分）在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且DC=AE，AD与BE交于点P，连接PC．
(1)证明：ΔABE≌ΔCAD．
(2)若CE=CP，求证∠CPD=∠PBD．
(3)在(2)的条件下，证明：点D是BC的黄金分割点.
24．（8分）已知AB∥CD，AD、BC交于点O．AO＝2，DO＝3，CD＝5，求AB的长．
25．（10分）阅读下列材料：
小辉和小乐一起在学校寄宿三年了，毕业之际，他们想合理分配共同拥有的三件“财产”：一个电子词典、一台迷你唱机、一套珍藏版小说.他们本着“在尊重各自的价值偏好基础上进行等值均分”的原则，设计了分配方案，步骤如下（相应的数额如表二所示）：
①每人各自定出每件物品在心中所估计的价值；
②计算每人所有物品估价总值和均分值（均分：按总人数均分各自估价总值）；
③每件物品归估价较高者所有；
④计算差额（差额：每人所得物品的估价总值与均分值之差）；
⑤小乐拿225元给小辉，仍“剩下”的300元每人均分.
依此方案，两人分配的结果是：小辉拿到了珍藏版小说和375元钱，小乐拿到的电子词典和迷你唱机，但要付出375元钱.
（1）甲、乙、丙三人分配A，B，C三件物品，三人的估价如表三所示，依照上述方案，请直接写出分配结果；
（2）小红和小丽分配D，E两件物品，两人的估价如表四所示（其中0＜m-n＜15）.按照上述方案的前四步操作后，接下来，依据“在尊重各自的价值偏好基础上进行等值均分”的原则，该怎么分配较为合理？请完成表四，并写出分配结果.（说明：本题表格中的数值的单位均为“元”）
26．（10分）我校数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度(图中线段MN的长)．直线MN垂直于地面，垂足为点P，在地面A处测得点M的仰角为60°，点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为30°，AB＝5米．且A、B、P三点在一直线上，请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．(结果保留根号)
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】先根据根的判别式求出k的取值范围，再从中找到最大整数即可．
【详解】
解得
∴k的最大整数值是-2
故选：B．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，掌握根的判别式与根的个数的关系是解题的关键．
2、B
【分析】直线与圆相离等价于圆心到直线的距离大于半径，据此解答即可.
【详解】解：∵直线与半径为5的相离，
∴圆心与直线的距离满足：.
故选：B.
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，属于应知应会题型，若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d<r时，直线与圆相交.
3、A
【解析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式是一元二次方程．然后对每个方程作出准确的判断．
【详解】解：①符合一元二次方程的定义，故正确；
②方程二次项系数可能为0，故错误；
③整理后不含二次项，故错误；
④不是整式，故错误，
故选：A.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的定义，根据定义对每个方程进行分析，然后作出准确的判断．
4、B
【分析】易证得四边形OECF是正方形，然后由切线长定理可得AC=2+r，BC=3+r，AB=5，根据勾股定理列方程即可求得答案．
【详解】如图，设⊙O分别与边BC、CA相切于点E、F，
连接OE，OF，
∵⊙O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，
∴DE⊥BC，DF⊥AC，AF=AD=2，BE=BD=3，
∴∠OEC=∠OFC=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形OECF是矩形，
∵OE=OF，
∴四边形OECF是正方形，
设EC=FC=r，
∴AC=AF+FC=2+r，BC=BE+EC=3+r，AB=AD+BD=2+3=5，
在Rt△ABC中，=+，
∴=+，
∴，
即
解得：或（舍去）．
∴⊙O的半径r为1,
∴．
故选：B
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆的性质、正方形的判定与性质、切线长定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
5、B
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A、方程x+2y=1是二元一次方程，故本选项错误；
B、方程x2+5=0是一元二次方程，故本选项正确；
C、方程x2+=8是分式方程，故本选项错误；
D、方程x（x+3）=x2-1是一元一次方程，故本选项错误．
故选B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．
6、B
【解析】因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求出∠CAB，进而得出∠C′AB′的度数，然后可以求出鱼线B'C'长度．
【详解】解：∵sin∠CAB＝
∴∠CAB＝45°．
∵∠C′AC＝15°，
∴∠C′AB′＝60°．
∴sin60°＝，
解得：B′C′＝3．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题．
7、C
【解析】试题分析：由线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，根据垂径定理的即可求得：，然后由圆周角定理可得∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°．
故选C．
考点：圆周角定理；垂径定理．
8、C
【解析】根据概率公式列方程求解即可.
【详解】解：设袋中的红球有x个，
根据题意得：，
解得：x＝8，
故选C．
【点睛】
此题考查了概率公式的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
9、A
【解析】直接得出２的个数，再利用概率公式求出答案．
【解答】∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，
∴朝上一面的数字是２的概率为：
故选Ａ．
【点评】考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.
10、D
【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．
详解：∵方程有两个不相同的实数根，
∴
解得：m＜1．
故选D．
点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】设白球有x个，根据摸到红球的概率为 列出方程，求出x的值即可．
【详解】设白球有x个，根据题意得：
解得：x＝1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了概率的基本计算，根据题意列出方程就可以得出答案．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12、 (5,3)
【分析】根据二次函数顶点式的性质直接求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是（5，3）
故答案为：（5，3）．
【点睛】
本题考查二次函数性质其顶点坐标为（h，k），题目比较简单．
13、-a2-b2
【分析】去括号合并同类项即可.
【详解】原式=-2a2+a2-b2=-a2-b2.
故答案为：-a2-b2.
【点睛】
本题考查了整式的加减，即去括号合并同类项.去括号法则：当括号前是“+”号时，去掉括号和前面的“+”号，括号内各项的符号都不变号；当括号前是“-”号时，去掉括号和前面的“-”号，括号内各项的符号都要变号.
14、
【分析】设增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解.
【详解】设增长率为x，根据题意，得
2(1+x)2=2.42，
解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%．
∴增长率为10%．
故答案为：10%．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
15、
【分析】先求出∠ACD=30°，进而可算出CE、AD，再算出△AEC的面积．
【详解】如图，
由旋转的性质可知：AC=AC'，
∵D为AC'的中点，
∴AD=，
∵ABCD是矩形，
∴AD⊥CD，
∴∠ACD=30°，
∵AB∥CD，
∴∠CAB=30°，
∴∠C'AB'=∠CAB=30°，
∴∠EAC=30°，
∴AE=EC，
∴DE=，
∴CE=，
DE=，
AD=，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、矩形的性质、直角三角形中30度角的性质，三角形面积计算等知识点，难度不大．清楚旋转的“不变”特性是解答的关键．
16、
【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可．
【详解】
故答案为：．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键．
17、
【分析】根据题意，使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．
【详解】根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5，2、4、5，三种，得P=.
故其概率为：．
【点睛】
本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18、
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式即可求解．
【详解】
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2） (﹣2，﹣2)
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点P1、P2、P3即可；
（2）画出P1～P6，寻找规律后即可解决问题．
【详解】解：（1）点P1、P2、P3如图所示，
（2）（﹣2，﹣2）
解析：
如图所示：P1（﹣2，0），P2（2，﹣4），P3（0，4），P4（﹣2，﹣2）P5（2，﹣2），P6（0，2）
∵6次一个循环
∴2020 ÷ 6 = 336... 4
∴P2020（﹣2，﹣2）
【点睛】
本题考查坐标与图形的性质、点的坐标等知识，解题的关键是循环探究问题的方法，属于中考常考题型．
20、10，24+18
【分析】作CD⊥AB于D，根据直角三角形的性质求出CD，根据余弦的定义求出BD，根据正切的定义求出AD，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式求出△ABC的面积．
【详解】解：作CD⊥AB于D，
在Rt△CDB中，∠B＝30°，
∴CD＝BC＝6，BD＝BC•cosB＝12×＝，
在Rt△ACD中，tanA＝，
∴，即，
解得，AD＝8，
由勾股定理得，AC＝，
△ABC的面积＝×AB×CD＝×（8+6）×6＝24+18．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义、勾股定理是解题的关键．
21、（1）见解析；（2）AD=．
【分析】（1）连接OC，根据等边对等角，以及角平分线的定义，即可证得∠OCB＝∠EBC，则OC∥BE，从而证得OC⊥CD，即CD是⊙O的切线；
（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】证明：（1）连接OC．
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB，
又∵∠EBC＝∠ABC，
∴∠OCB＝∠EBC，
∴OC∥BE，
∵BE⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）设AB＝x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴直角△ABC中，AC＝AB•cos∠CAB＝，
∴BC＝＝＝x，
∵∠BCE+∠BCO＝∠CAB+∠ABC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠CAB＝∠BCE，
∵∠E＝∠ACB＝90°，
∴△ACB∽△CEB，
∴＝，
∴ ＝ ，
∴x＝，
∴AB＝，BC＝5，
∵△ACB∽△CEB，
∴∠CAB =∠ECB= cos∠CAB=
∴BE＝2，
∵OC∥BE，
∴△DOC∽△DBE，
∴＝，
∴＝，
∴AD＝．
【点睛】
本题考查了切线的判定，三角函数以及圆周角定理，相似三角形的判定及性质等，证明切线的问题常用的思路是转化成证明垂直问题．
22、（1）①，或；②或；（2）.
【分析】（1）①分两种情形分别求解即可．
②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，根据AM2=AD2-DM2，计算即可，当∠ADM=90°时，根据AM2=AD2+DM2，计算即可．
（2）连接CD．首先利用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性质证明BD2=CD1即可．
【详解】（1）①，或.
②显然不能为直角，
当为直角时，
，∴.
当为直角时，
，∴.
（2）连结，
由题意得，，
∴，，
又∵，∴，
∴.
∵，
∴，
即.
又∵，，∴，
∴.
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
23、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）因为△ABC是等边三角形，所以AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，又AE=CD，即可证明ΔABE≌ΔCAD；
（2）设则由等边对等角可得可得以及，故；
（3）可证可得，故由于可得，根据黄金分割点可证点是的黄金分割点；
【详解】证明：
(1) ∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，
在ΔABE与ΔCDA中，AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD，
∴△AEB≌△CDA；
（2）由（1）知，
则，
设，
则，
∵，
∴，
∴，
又，
∴；
（3）在和中，
，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴点是的黄金分割点；
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键.
24、．
【分析】根据已知条件证明△AOB∽△DOC，再根据相似三角形的对应边成比例的性质列出等式，从而求得AB的长．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△AOB∽△DOC，
∴，
即，
∴AB＝．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定及性质，掌握有两角对应相等的两个三角形相似及相似三角形的三边对应成比例是关键．
25、（1）甲：拿到物品C和200元；乙：拿到:450元；丙：拿到物品A、B，付出650元；（2）详见解析.
【分析】（1）按照分配方案的步骤进行分配即可；
（2）按照分配方案的步骤进行分配即可.
【详解】解:（1）如下表：
故分配结果如下:
甲:拿到物品C和现金: 元.
乙:拿到现金元.
丙:拿到物品A，B,付出现金：元.
故答案为：
甲:拿到物品C和现金: 200元.
乙:拿到现金450元.
丙:拿到物品A，B,付出650元.
（2）
因为0<m-n<15
所以
所以
即分配物品后，小莉获得的“价值"比小红高.高出的数额为:
所以小莉需拿（）元给小红.
所以分配结果为:小红拿到物品D和（）元钱，小莉拿到物品E并付出（）元钱.
【点睛】
本题考查了代数式的应用，正确读懂题干，理解分配方案是解题的关键.
26、米
【分析】设AP=NP=x，在Rt△APM中可以求出MP=x，在Rt△BPM中，∠MBP=30°，求得x，利用MN＝MP－NP即可求得答案．
【详解】解：∵在Rt△APN中，∠NAP＝45°，
∴PA＝PN，
在Rt△APM中，tan∠MAP＝，
设PA＝PN＝x，
∵∠MAP＝60°，
∴MP＝AP·tan∠MAP＝x，
在Rt△BPM中，tan∠MBP＝，
∵∠MBP＝30°，AB＝5，
∴=，
∴x＝，
∴MN＝MP－NP＝x－x＝．
答：广告牌的宽MN的长为米．
【点睛】
本题考查解直角三角形在实际问题中的应用，将实际问题抽象为数学问题，选用适当的锐角三角函数解直角三角形是解题的关键，属于中考的必考点．
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