资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．有人预测2020年东京奥运会上中国女排夺冠的概率是80%，对这个说法正确的理解应该是（ ）.
A．中国女排一定会夺冠 B．中国女排一定不会夺冠
C．中国女排夺冠的可能性比较大 D．中国女排夺冠的可能性比较小
3．如图，为线段上一点，与交与点，，交与点，交与点，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是( )
A．△ABC∽△A'B'C' B．点C、点O、点C'三点在同一直线上 C．AO：AA'=1∶2 D．AB∥A'B'
6．如果双曲线y＝经过点（3、﹣4），则它也经过点（ ）
A．（4、3） B．（﹣3、4） C．（﹣3、﹣4） D．（2、6）
7．如图，点在以为直径的内，且，以点为圆心，长为半径作弧，得到扇形，且，．若在这个圆面上随意抛飞镖，则飞镖落在扇形内的概率是( )
A． B． C． D．
8．如图，在矩形中，于F，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，若∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，则旋转角度是（ ）
A．10° B．30° C．40° D．70°
10．如图，是的直径，、是弧（异于、）上两点，是弧上一动点，的角平分线交于点，的平分线交于点．当点从点运动到点时，则、两点的运动路径长的比是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，矩形的对角线交于点，已知，，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
12．用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（ ）
A．cm B．3cm C．4cm D．4cm
二、填空题（每题4分，共24分）
13．设分别为一元二次方程的两个实数根，则______．
14．在平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点，，，其中为常数，令，则的值为_________．（用含的代数式表示）
15．抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A、B，与y轴交于C，则△ABC的面积＝__．
16．一张矩形的纸片ABCD中，AB=10，AD=8.按如图方式折，使A点刚好落在CD上。则折痕（阴影部分）面积为_________________.
17．一元二次方程x2=3x的解是：________．
18．某班级准备举办“迎鼠年，闹新春”的民俗知识竞答活动，计划A、B两组对抗赛方式进行，实际报名后，A组有男生3人，女生2人，B组有男生1人，女生4人，若从两组中各随机抽取1人，则抽取到的两人刚好是1男1女的概率是__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）在△ABC中，P为边AB上一点．
（1）如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB；
（2）若M为CP的中点，AC＝2，
① 如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；
② 如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．
20．（8分）如图，点A．B．C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）求PD的长．
21．（8分）如图,在△ABC中,D为BC边上的一点,且∠CAD=∠B,CD=4，BD=2,求AC的长
22．（10分）有一枚均匀的正四面体，四个面上分别标有数字1，2，3，4，小红随机地抛掷一次，把着地一面的数字记为x；另有三张背面完全相同，正面上分别写有数字－2，－1，1的卡片，小亮将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，把卡片正面上的数字记为y；然后他们计算出S=x+y的值．
(1)用树状图或列表法表示出S的所有可能情况；
(2)分别求出当S=0和S<2时的概率．
23．（10分）为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，如图，A，B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．
(1)开通隧道前，汽车从A地到B地要走多少千米？
(2)开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走多少千米？(结果保留根号)
24．（10分）如图，已知△ABO中A（﹣1，3），B（﹣4，0）．
（1）画出△ABO绕着原点O按顺时针方向旋转90°后的图形，记为△A1B1O；
（2）求第（1）问中线段AO旋转时扫过的面积．
25．（12分）中华人民共和国《城市道路路内停车泊位设置规范》规定：
米以上的，可在两侧设停车泊位，路幅宽米到米的，可在单侧设停车泊位，路幅宽米以下的，不能设停车泊位；米，车位宽米；米.
根据上述的规定，在不考虑车位间隔线和车道间隔线的宽度的情况下，如果在一条路幅宽为米的双向通行车道设置同一种排列方式的小型停车泊位，请回答下列问题：
（1）可在该道路两侧设置停车泊位的排列方式为 ；
（2）如果这段道路长米，那么在道路两侧最多可以设置停车泊位 个.
(参考数据：，)
26．已知与成反比例，当时，，求与的函数表达式.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解析】根据配方的正确结果作出判断：
．
故选D．
2、C
【分析】概率越接近1，事件发生的可能性越大，概率越接近0，则事件发生的可能性越小，根据概率的意义即可得出答案.
【详解】∵中国女排夺冠的概率是80%，
∴中国女排夺冠的可能性比较大
故选C.
【点睛】
本题考查随机事件发生的可能性，解题的关键是掌握概率的意义.
3、A
【分析】先根据条件证明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明△APD∽△PGD，进而证明△APG∽△BFP再证明时注意图形中隐含的相等的角，故可进行判断.
【详解】∵∠CPD=∠B，∠C=∠C，
∴△PCF∽△BCP.
∵∠CPD=∠A，∠D=∠D，
∴△APD∽△PGD.
∵∠CPD=∠A=∠B，∠APG=∠B+∠C，∠BFP=∠CPD+∠C
∴∠APG=∠BFP，
∴△APG∽△BFP.
故结论中错误的是A，故选A.
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.
4、C
【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为1．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】A、是分式方程，故A不符合题意；
B、是二元二次方程，故B不符合题意；
C、是一元二次方程，故C符合题意；
D、是二元二次方程，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是(且a≠1)．特别要注意a≠1的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
5、C
【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【详解】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，
∴ △ABC∽△A'B'C' ，点O、C、C'共线，AO：OA'=BO：OB '=1:2，
∴AB∥A'B'，AO：OA'=1:1．
∴A、B、D正确，C错误．
故答案为：C．
【点睛】
本题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题的关键．
6、B
【解析】将（3、﹣4）代入即可求得k，由此得到答案.
【详解】解：∵双曲线y＝经过点（3、﹣4），
∴k＝3×（﹣4）＝﹣12＝（﹣3）×4，
故选：B．
【点睛】
此题考查反比例函数的性质，比例系数k的值等于图像上点的横纵坐标的乘积.
7、C
【分析】如图，连接AO，∠BAC＝120，根据等腰三角形的性质得到AO⊥BC，∠BAO＝60，解直角三角形得到AB＝，由扇形的面积公式得到扇形ABC的面积＝，根据概率公式即可得到结论．
【详解】如图，连接AO，∠BAC＝120，
∵AB＝AC，BO＝CO，
∴AO⊥BC，∠BAO＝60，
∵BC＝2，
∴BO＝1，
∴AB＝BO÷cos30°=，
∴扇形ABC的面积＝，
∵⊙O的面积＝，
∴飞镖落在扇形ABC内的概率是=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了几何概率，扇形的面积的计算，等腰三角形的性质，解直角三角形的运用，正确的识别图形是解题的关键．
8、C
【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出，再由面积法求出的长即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，
的面积，
；
故选：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理、直角三角形的面积，熟练掌握矩形的性质，熟记直角三角形的面积求法是解题的关键．
9、D
【分析】由旋转的性质可得旋转角为∠AOC＝70°．
【详解】解：∵∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝70°，
∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，
∴旋转角为∠AOC＝70°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是熟练掌握旋转的意义和性质，能够有旋转的性质得到相等的角.
10、A
【解析】连接BE，由题意可得点E是△ABC的内心，由此可得∠AEB＝135°，为定值，确定出点E的运动轨迹是是弓形AB上的圆弧，此圆弧所在圆的圆心在AB的中垂线上，根据题意过圆心O作直径CD，则CD⊥AB，在CD的延长线上，作DF＝DA，则可判定A、E、B、F四点共圆，继而得出DE＝DA＝DF，点D为弓形AB所在圆的圆心，设⊙O的半径为R，求出点C的运动路径长为，DA＝R，进而求出点E的运动路径为弧AEB，弧长为，即可求得答案.
【详解】连结BE，
∵点E是∠ACB与∠CAB的交点，
∴点E是△ABC的内心，
∴BE平分∠ABC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠AEB＝180°－(∠CAB+∠CBA)＝135°，为定值，，
∴点E的轨迹是弓形AB上的圆弧，
∴此圆弧的圆心一定在弦AB的中垂线上，
∵，
∴AD=BD，
如下图，过圆心O作直径CD，则CD⊥AB，
∠BDO＝∠ADO＝45°，
在CD的延长线上，作DF＝DA，
则∠AFB＝45°，
即∠AFB+∠AEB＝180°，
∴A、E、B、F四点共圆，
∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，
∴DE＝DA＝DF，
∴点D为弓形AB所在圆的圆心，
设⊙O的半径为R，
则点C的运动路径长为：，
DA＝R，
点E的运动路径为弧AEB，弧长为：，
C、E两点的运动路径长比为：，
故选A.
【点睛】
本题考查了点的运动路径，涉及了三角形的内心，圆周角定理，四点共圆，弧长公式等，综合性较强，正确分析出点E运动的路径是解题的关键.
11、B
【分析】根据矩形的性质得对角线相等且互相平分，再结合三角函数的定义，逐个计算即可判断.
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD,AO=CO,BO=DO, ∠ADC=∠BCD=90°
∴AO=CO=BO=DO,
∴∠OCD=∠ODC=β,
A、,故A选项正确；
B、在Rt△ADC中，cos∠ACD= , ∴cosβ=,∴AO=，故B选项错误；
C、在Rt△BCD中，tan∠BDC= , ∴ tanβ=∴BC=atanβ，故C选项正确；
D、在Rt△BCD中，cos∠BDC= , ∴ cosβ=∴，故D选项正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查矩形的性质及三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解答此题的关键.
12、C
【解析】利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长；根据扇形的弧长=圆锥的底面周长，让扇形的弧长除以2π即为圆锥的底面半径，利用勾股定理可得圆锥形筒的高：
∵扇形的弧长=cm，圆锥的底面半径为4π÷2π=2cm，
∴这个圆锥形筒的高为cm．故选C．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】先根据m是的一个实数根得出 ，利用一元二次方程根与系数的关系得出 ，然后对原式进行变形后整体代入即可得出答案．
【详解】∵m是一元二次方程的一个实数根，
∴，
即．
由一元二次方程根与系数的关系得出，
∴．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
14、
【分析】根据题意由二次函数的性质、反比例函数的性质可以用含m的代数式表示出W的值，本题得以解决．
【详解】解：∵两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，
∴其中有两个点一定在二次函数图象上，且这两个点的横坐标互为相反数，第三个点一定在反比例函数图象上，
假设点A和点B在二次函数图象上，则点C一定在反比例函数图象上，
∴m=，得x3=，
∴=x1+x2+x3=0+x3=；
故答案为：.
【点睛】
本题考查反比例函数的图象和图象上点的坐标特征、二次函数的图象和图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数和二次函数的性质解答．
15、1
【分析】先根据题意求出AB的长。再得到C点坐标，故可求解．
【详解】解：y＝0时，0＝x2﹣4x+1，
解得x1＝1，x2＝1
∴线段AB的长为2，
∵与y轴交点C（0，1），
∴以AB为底的△ABC的高为1，
∴S△ABC＝×2×1＝1，
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知函数与坐标轴交点的求解方法．
16、25
【分析】根据折叠利用方程求出AE的长即可
【详解】设，则
∵折叠
∴
∴
∴
∴DF=4
∴
解得
∴
故答案为25
【点睛】
本题考查了折叠与勾股定理，利用折叠再结合勾股定理计算是解题关键。
17、x1=0，x2=1
【分析】先移项，然后利用因式分解法求解．
【详解】x2=1x
x2-1x=0，
x(x-1)=0，
x=0或x-1=0，
∴x1=0，x2=1．
故答案为x1=0，x2=1
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解
18、
【分析】利用列表法把所有情况列出来，再用概率公式求解即可．
【详解】列表如下
根据表格可知共有25种可能的情况出现，其中抽取到的两人刚好是1男1女的有14种情况
∴抽取到的两人刚好是1男1女的概率是
故答案为：．
【点睛】
本题考查了概率的问题，掌握列表法和概率公式是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）证明见解析；（2）①BP＝；②BP＝．
【解析】试题分析：（1）根据已知条件易证△ACP∽△ABC，由相似三角形的性质即可证得结论；（2）①如图，作CQ∥BM交AB延长线于Q，设BP＝x，则PQ＝2x，易证△APC∽△ACQ，所以AC2＝AP·AQ，由此列方程，解方程即可求得BP的长；②如图：作CQ⊥AB于点Q，作CP0＝CP交AB于点P0，再证△AP0C∽△MPB，（2）的方法求得AP0的长，即可得BP的长．
试题解析：（1）证明：∵∠ACP＝∠B，∠BAC＝∠CAP，
∴△ACP∽△ABC，
∴AC：AB＝AP：AC，
∴AC2＝AP·AB；
（2）①如图，作CQ∥BM交AB延长线于Q，设BP＝x，则PQ＝2x
∵∠PBM＝∠ACP，∠PAC＝∠CAQ，
∴△APC∽△ACQ，
由AC2＝AP·AQ得：22＝（3－x）（3＋x），∴x＝
即BP＝；
②如图：作CQ⊥AB于点Q，作CP0＝CP交AB于点P0，
∵AC＝2，∴AQ＝1，CQ＝BQ＝ ，
设AP0=x，P0Q＝PQ＝1－x，BP＝－1＋x，
∵∠BPM＝∠CP0A，∠BMP＝∠CAP0，
∴△AP0C∽△MPB，∴，
∴MP∙P0C＝AP0∙BP＝x（－1＋x），
解得x＝
∴BP＝－1＋＝．
考点：三角形综合题.
20、（1）证明见解析；（2）PD =．
【分析】（1）连接OA，由∠B=60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，又由OA=OC，即可求得∠OAC与∠OCA的度数，利用三角形外角的性质，求得∠AOP的度数，又由AP=AC，利用等边对等角，求得∠P，则可求得∠PAO=90°，则可证得AP是⊙O的切线．
（2）由CD是⊙O的直径，即可得∠DAC=90°，然后利用三角函数与等腰三角形的判定定理，即可求得PD的长．
【详解】（1）证明：连接OA．
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°．
又∵OA=OC，
∴∠ACP=∠CAO=30°．
∴∠AOP=60°．
∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°．
∴∠OAP=90°．
∴OA⊥AP．
∴AP是⊙O的切线．
（2）解：连接AD．
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD=90°．
∴AD=AC•tan30°=3×．
∵∠ADC=∠B=60°，
∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°．
∴∠P=∠PAD．
∴PD=AD=．
21、
【分析】根据相似三角形的判定定理可得△CAD∽△CBA，列出比例式即可求出AC.
【详解】解：∵CD=4，BD=2,
∴BC=CD＋BD=6
∵∠CAD=∠B,∠C=∠C
∴△CAD∽△CBA
∴
∴
解得：或（舍去）
即.
【点睛】
此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握有两组对应角相等的两个三角形相似和相似三角形的对应边成比例是解决此题的关键.
22、（1）答案见解析；（2），
【解析】试题分析：列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
解：(1)画树状图,
(2)由图可知，所有可能出现的结果有12种，其中S=0的有2种，S<2的有5种，
∴P(S=0)=,
P(S<2)= .
23、 (1)开通隧道前，汽车从A地到B地要走(80+40)千米；(2)汽车从A地到B地比原来少走的路程为[40+40(﹣)]千米．
【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；
（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程．
【详解】(1)过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
∵AB⊥CD，sin30°＝，BC＝80千米，
∴CD＝BC•sin30°＝80×＝40(千米)，
AC＝(千米)，
AC+BC＝80+(千米)，
答：开通隧道前，汽车从A地到B地要走(80+)千米；
(2)∵cos30°＝，BC＝80(千米)，
∴BD＝BC•cos30°＝80×(千米)，
∵tan45°＝，CD＝40(千米)，
∴AD＝(千米)，
∴AB＝AD+BD＝40+(千米)，
∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB＝80+﹣40﹣＝40+40(千米)．
答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为 [40+40]千米．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
24、（1）如图所示，△A1B1O即为所求；见解析；（2）线段AO旋转时扫过的面积为．
【分析】（1）根据题意，画出图形即可；
（2）先根据勾股定理求出AO，再根据扇形的面积公式计算即可.
【详解】解：（1）根据题意，将△OAB绕点O顺时针旋转90°，如图所示，△A1B1O即为所求；
（2）根据勾股定理：
线段AO旋转时扫过的面积为：＝．
【点睛】
此题考查的是图形的旋转和求线段旋转时扫过的面积，掌握图形旋转的性质和扇形的面积公式是解决此题的关键.
25、（1）平行式或倾斜式．（2）1．
【分析】（1）对应三种方式分别验证是否合适即可；
（2）分别按照第（1）问选出来的排列方式计算停车泊位，进行比较取较大者即可.
【详解】（1）除去两车道之后道路宽
因为要在道路两旁设置停车泊位，所以每个停车泊位的宽必须小于等于3m，所以方式3垂直式不合适，排除；方式1平行式满足要求，对于房市，它的宽度为，要满足要求，必须有，即，所以当时，方式2倾斜式也能满足要求.
故答案为平行式或倾斜式
（2）若选择平行式，则可设置停车泊位的数量为（个）
若选择倾斜式，每个停车泊位的宽度为 ，要使停车泊位尽可能多，就要使宽度尽可能小，所以取，此时每个停车位的宽度为 ，所以可设置停车泊位的数量为（个）
故答案为1
【点睛】
本题主要考查理解能力以及锐角三角函数的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.
26、
【分析】根据反比例的定义，设，再将代入求出k，即可求得.
【详解】由题意设，
将代入得 ，
解得，
∴
即.
【点睛】
本题考查了反比例的定义，利用代入法求解未知数，要注意的是，与的函数表达式指的是形式，如本题最后结果不可写成.
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